第一节　平面向量的概念及线性运算

第一节平面向量的概念及线性运算第七章内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和相等向量的含义,理解向量的几何表示.2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解其几何意义.3.通过实例,掌握向量的数乘运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.4.理解向量的线性运算性质及其几何意义.强基础固本增分1.向量的有关概念

名称定义备注相等向量大小

相等

、方向

相同

的向量

两向量只有相等或不相等,不能比较大小两个向量平行(共线)如果两个

非零

向量的方向相同或相反,则称这两个向量平行.两个向量平行也称为两个向量共线

规定零向量与任一向量平行(共线)相反向量给定一个向量,把与这个向量方向

相反

、大小

相等

的向量称为它的相反向量

零向量的相反向量仍是零向量微点拨1.注意0与0的区别,0是一个向量,0是一个实数,且|0|=0,一个向量是零向量的充要条件是其模等于0.2.单位向量有无数个,它们的模相等,都等于1,但方向不一定相同.微思考

向量平行与直线平行有何不同?提示

向量平行与向量共线是完全相同的一个概念,指两个向量的方向相同或相反,亦即向量所在的直线可以平行,也可以重合;但直线平行不包含直线重合的情况.2.向量的加法

(2)向量求和的法则

(3)向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.(4)向量加法的运算律①交换律:a+b=

b+a

.②结合律:(a+b)+c=

a+(b+c)

.

(5)多个向量相加已知n个向量,依次把这n个向量

首尾相接

,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量,称为这n个向量的和向量.

3.向量的减法(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,则称x为向量a与b的差,并记作

x=a-b

.

4.数乘向量(1)数乘向量的定义一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个

向量

,记作λa,其中:

(ⅰ)当λ≠0且a≠0时,λa的模为

|λ||a|

,而且λa的方向如下:

①当λ>0时,与a的方向

相同

;

②当λ<0时,与a的方向

相反

.

(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa=

0

.

实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.(2)数乘向量的定义说明如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.(3)数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.(4)数乘向量的运算律设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).5.向量的运算律一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有(1)λ(μa)=

(λμ)a

;(2)λa+μa=

(λ+μ)a

;(3)λ(a+b)=

λa+λb

.

6.共线向量基本定理如果a≠0且b∥a,则存在唯一一个实数λ,使得

b=λa

.

微点拨

三点共线的几个等价关系

微思考

共线向量定理中为什么规定a≠0?提示

(1)若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线;(2)当a=0时,若b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa,但此时向量a与b共线;(3)当a=0时,若b=0,则对任意实数λ,都有b=λa,与有唯一一个实数λ矛盾.常用结论

自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)√××题组二

双基自测4.

已知e1,e2是两个不共线的向量,a=e1-2e2,b=2e1+ke2.若a与b是共线向量,则实数k的值为

.

答案

-4研考点精准突破考点一平面向量的概念题组(1)(2023·山东烟台高三月考)下列说法正确的是(

)A.若a,b都是单位向量,则a=bB.若存在实数λ,μ,使得a=λb,c=μb,则a∥cC.与非零向量a共线的单位向量是唯一的D.若存在实数λ,μ满足λa=μb,则a与b共线(2)(多选)(2023·河南郑州高三月考)若a,b均为非零向量,则

成立的一个充分条件是(

)A.a∥b

B.b=-2aC.|a-b|=|a|+|b| D.a·b=-|a||b|答案

(1)B

(2)BCD规律方法

关于平面向量概念的几个注意点(1)单位向量不一定相等.(2)向量的相等具有传递性,非零向量的平行(共线)具有传递性.(3)表示与a同向的单位向量.(4)向量可以任意平移,平移后的向量与原向量是相等向量.考点二平面向量的线性运算(多考向探究预测)考向1线性运算

A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3nA.1 B.2 C.3 D.4答案

(1)B

(2)C规律方法

平面向量的线性运算的求解策略

答案

D考向2线性运算的几何意义

答案

D引申探究(变条件变结论)本例中,其他条件不变,将“x=-”变为“y=”,则x的取值范围是

.

规律方法

对点训练(2023·福建厦门高三月考)若a,b为非零向量,且满足|2a+3b|=|2a-3b|,则(

)A.3|a|=2|b| B.a∥bC.a⊥b

D.2|a|=3|b|答案

C解析

由于|2a+3b|=|2a-3b|,作

,则以OA,OB为邻边的平行四边形的两条对角线长度相等,所以该平行四边形为矩形,所以2a⊥3b,因此a⊥b.故选C.考点三共线向量基本定理及其应用答案

(1)A

(2)D规律方法

利用共线向量基本定理解题的方法(1)若b≠0,则a∥b⇔a=λb是判断两个向量共线的主要依据,注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C