高考解答题专项五　第2课时　圆锥曲线中的定点(或定值)问题

第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题高考解答题专项五考情分析纵观历年高考真题,定点、定值问题是一类综合性强、能力要求高的问题,也是近几年高考对解析几何考查的一个重点和热点内容.这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解.对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求.增素能精准突破突破点一

圆锥曲线中的定点问题(一题多解)例1.已知抛物线y2=4x,过定点(-4,0)作直线交抛物线于A,B两点,过B作x轴的垂线,交抛物线于C点,求证:直线AC过定点.设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(x2,-y2),因为直线AB与抛物线相交于点A,B,由上述结论得y1y2=-4×(-4)=16,又直线AC与抛物线相交于点A,C,所以y1(-y2)=-4t'=-16,所以t'=4,所以直线AC过定点(4,0).突破步骤证明直线或曲线过定点的解题步骤

第一步引进参数引进的参数一般为点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等第二步列关系式根据题设条件表示出对应的动态直线或曲线方程第三步探求定点若是动直线,将方程转化为y-y0=k(x-x0)的形式,则k∈R时直线恒过定点(x0,y0)若是动曲线,将动态的曲线方程转化为形如f(x,y)+λg(x,y)=0,则λ∈R时曲线恒过的定点是f(x,y)=0与g(x,y)=0的交点(1)求椭圆C的标准方程;(2)过F2的直线交椭圆C于A,B两点,其中A点关于x轴的对称点为A'(异于点B),证明:A'B所在直线恒过定点.(2)证明:由(1)知,F2(1,0),直线A'B的斜率不可能为0,因此设直线A'B为x=my+t(m≠0),与椭圆C联立,得关于y的一元二次方程(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0,设A'(x1,y1),B(x2,y2),则A(x1,-y1),将①式代入,得2m(3t2-12)-(t-1)6mt=0,化简得t=4,直线A'B为x=my+4,因此直线A'B恒过定点(4,0).点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.解法2

设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3<n<3.(通过直线方程y=kx+m消元后得2kx1x2-9kx1-mx1+3mx2-3kx2-12m=0,不好用韦达定理消元,可以用曲线消元)突破技巧1.圆锥曲线中定点问题的常见解法(1)要证明直线或曲线过定点,可以根据已知条件直接求直线或曲线的方程,方程一旦求出,即能找到直线或曲线过的定点,也就证明了过定点;(2)对于直线或曲线是否过定点问题,一般先假定过定点,并假设出定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点;(3)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.对点训练2(2021广东佛山一模)已知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且过点A(-2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)点P,Q分别在椭圆C和直线x=4上,OQ∥AP,M为AP的中点,求证:直线OM与直线QF的交点在某定曲线上.(1)解:依题意知A(-2,0)为椭圆C的左顶点,故a=2,又F(1,0)为C的右焦点,所以a2-b2=1,于是b2=3,突破点二

圆锥曲线中的定值问题(一题多解)例3.(2021山东潍坊一模)在平面直角坐标系中,A1,A2两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线A1M,A2M相交于点M且它们的斜率之积是-,记动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,Q两点,且点P位于x轴上方,记直线A1Q,A2P的斜率分别为k1,k2.②设点Q关于x轴的对称点为Q1,求△PFQ1面积的最大值.若直线l斜率存在,设直线l为y=k(x-1)=kx-k(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1>0,y2<0),即直线PQ1恒过点D(4,0),突破技巧1.求或证明某个量为定值的常见方法(1)从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.对点训练3(2021江苏盐城一模)设F为椭圆C:

+y2=1的右焦点,过点(2,0)的直线与椭圆C交于A,B两点.(1)若点B为椭圆C的上顶点,求直线AF的方程;(1)解:若B为椭圆的上顶点,则B(0,1).又AB过点(2,0),故直线AB:x+2y-2=0,又F(1,0),故直线AF:y=x-1,即x-y-1=0.(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),解法1

设直线AB:x=ty+2,代入椭圆方程可得(2+t2)y2+4ty+2=0,Δ=16t2-4×2(2+t2)=8t2-16>0,解法2

设直线AB:x=ty+2,代入椭圆方程可得(2+t2)y2+4ty+2=0,Δ=16t2-4×2(2+t2)=8t2-16>0,解法3

设直线AB:x=ty+2,代入椭圆方程可得(2+t2)y2+4ty+2=0,Δ=16t2-4×2(2+t2)=8t2-16>0,(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于A,B两点,若以OA,OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上,求证:平行四边形OAPB的面积为定值.突破技巧定值问题的求法很多定值问题就是求某个变量的值,通常由条件列出的独立方程个数少于变量的个数,但由于其形式的特殊性,通过消元恰好能求出某个(或多个)变量的值.常见的能出现定值的几种形式:(1)消去:t=5