第8节　函数与方程

第八节函数与方程第二章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程的根的联系.2.理解函数零点的判定过程,并能简单应用.3.了解二分法是求方程近似解的常用方法.1.判断函数零点所在的区间2.判断函数零点的个数3.函数零点的应用1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算强基础增分策略1.函数的零点(1)函数零点的定义把函数y=f(x)的图像与

的交点的横坐标称为这个函数的零点.

(2)与函数零点有关的等价关系

方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与

有交点⇔函数y=f(x)有

.

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)横轴

x轴

零点

连续不断的

f(a)·f(b)<0f(c)=0微点拨1.函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点,而是y=f(x)与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数.2.零点一定在定义域内.3.零点存在性定理只能判断零点存在,不能确定零点的个数.若函数在某区间上是单调函数,则该函数在该区间上至多有一个零点.微思考若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点,是否一定能推出f(a)·f(b)<0?提示:不一定.如图所示,函数有2个零点,但f(a)·f(b)>0.2.二次函数图像与零点的关系

微点拨判断二次函数f(x)的零点个数就是判断一元二次方程ax2+bx+c=0的实根个数,一般由判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0判断.3.二分法对于在区间[a,b]上连续不断且

的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间

,按需要留下其中一个小区间,使区间的两个端点逐步逼近

,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.

微点拨连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.常用结论1.若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(x)的图像是连续不断的一条曲线,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a,b]上只有一个零点.2.连续不断的函数图像通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.3.周期函数如果存在零点,则必有无数个零点.f(a)·f(b)<0一分为二

零点

增素能精准突破考点一判断函数零点所在的区间典例突破例1.(1)函数f(x)=2x+lnx-1的零点所在的区间为(

)(2)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(

)A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)答案:(1)D

(2)A

解析:(1)函数f(x)=2x+ln

x-1在(0,+∞)上是增加的,(2)∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又f(x)是二次函数,最多有两个零点.因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选A.突破技巧判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的方法

解方程法当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上利用函数零点存在定理首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点图像法通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断对点训练1(1)设函数y=x3与y=

的图像交点为(x0,y0),则x0所在的区间是(

)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)(2)已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=

.

答案:(1)B

(2)2

(2)对于函数y=logax,当x=2时,可得y<1,当x=3时,可得y>1,在同一坐标系中画出函数y=logax,y=-x+b的图像,判断两个函数图像的交点的横坐标在(2,3)内,∴函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)时,n=2.考点二判断函数零点的个数典例突破

A.1 B.2C.3 D.4(2)(2021贵州铜仁模拟)函数f(x)=3-x+ln|x|零点的个数是(

)A.1 B.2C.3 D.4答案:(1)B

(2)C

所以f(x)的零点有-2和3,共2个.(2)令f(x)=3-x+ln|x|=0,即x-3=ln|x|,所以函数f(x)=3-x+ln|x|零点的个数即为y=x-3与y=ln|x|的交点个数,在同一坐标系中作出两函数的图像,如图:由图可知,两函数的交点个数为3,所以函数f(x)=3-x+ln|x|零点的个数是3.突破技巧判断函数零点个数的方法

直接法令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个不同的解就有几个零点利用函数的零点存在性定理利用函数的零点存在性定理时,不仅要求函数的图像在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图像法画出函数f(x)的图像,函数f(x)的图像与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数;或将函数f(x)拆分成两个函数h(x)和g(x)的差,根据f(x)=0⇔h(x)=g(x),则函数f(x)的零点个数就是函数y=h(x)和y=g(x)的图像的交点个数利用函数性质若能确定函数的单调性,则其零点个数不难得到;若所考查的函数是周期函数,则只需求出在一个周期内的零点个数,根据周期性则可得函数的零点个数对点训练2(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(

)A.1 B.2

C.3

D.4(2)(2021西藏拉萨中学高三月考)已知函数f(x)=

则函数y=f(f(x))的零点个数为(

)A.1 B.2

C.3

D.4答案:(1)B

(2)C

解析:(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,因为两个函数的图像有两个交点,所以f(x)有两个零点.则y=f(f(x))的零点个数为3.考点三函数零点的应用(多考向探究)考向1.根据函数零点个数求参数典例突破A.[-2,0] B.[-2,0)C.{-3}∪[-2,0) D.(-∞,-3]∪[-2,0)答案:C

从而得到f(x)-m=1和f(x)-m=3共有3个根,即f(x)=m+1,f(x)=m+3共有3个根,突破技巧根据函数零点(方程的根)个数求参数取值范围的方法

直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,再数形结合求解对点训练3(2021天津红桥一模)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=

若关于x的方程f(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是(

)A.(-ln2,0] B.[0,ln2)C.(-2-ln2,0] D.[0,2+ln2)答案:A

解析:设h(x)=f(x)+m,作出函数f(x)和g(x)的图像如图.则h(x)是f(x)的图像上下平移得到,由图像知,h(1)=f(1)+m=ln

1+m=m,g(2)=0,当x=2时,h(2)=ln

2+m,又g(1)=0,要使方程f(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解,则等价为h(x)与g(x)的图像有三个不同的交点,所以实数m的取值范围是(-ln

2,0].

考向2.根据函数零点的范围求参数范围典例突破例4.(1)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(

)A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)(2)已知函数f(x)=若在区间[-1,1]上方程f(x)=1只有一个解,则实数m的取值范围为

.

因为f(x)的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,解得0<a<3,故选C.则问题转化为g(x)与h(x)=x2+m的图像在[-1,1]上只有一个交点.画出g(x)与h(x)在[-1,1]上的图像如图所示,结合图像可知,当h(0)=1,即m=1时,两个函数的图像只有一个交点;突破技巧已知函数零点所在范围求参数范围的方法若已知函数在所给区间上连续且单调,则由零点存在性定理列出含参数的不等式,求出参数的范围;若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图像,利用数形结合法求参数的范围.对点训练4(1)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是

.

(2)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是

.

解析:(1)依题意,结合函数f(x)的图像分析可知,(2)因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,考向3.求函数多个零点(方程的根)的和典例突破例5.(2021山西太原五中高三二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=

则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为(

)A.2a-1 B.2-a-1C.1-2a

D.1-2-a答案:C

当x∈[1,3]时,f(x)=x-2;当x∈(3,+∞)时,f(x)=4-x;画出当x≥0时y=f(x)的图像,再利用奇函数的对称性,画出当x<0时y=f(x)的图像,如图所示:直线y=a与y=f(x)共有5个交点,则方程f(x)-a=0共有五个实根,最左边两根之和为-6,最右边两根之和为6,∵x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),∴中间的一个根满足log2(1-x)=a,即1-x=2a,得x=1-2a,∴所有根的和为1-2a.解题心得求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图像的多个交点横坐标)的和时,应考虑函数的性质,尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称,直线的对称等).对点训练5已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0的实根之和为6,则a的取值范围为(

)A.(1,3] B.[1,3] C.(1,4] D.(3,4)