工程力学 截面的几何性质

工程力学截面的几何性质2023/8/71第1页，课件共29页，创作于2023年2月§A-1截面的静矩和形心一、截面的静矩和形心1.基本概念OxdAyyxC——微面积对y轴的静矩——微面积对x轴的静矩——整个平面图形对y轴的静矩——整个平面图形对x轴的静矩常用单位：m3

或mm3

。数值：可为正、负或0。2023/8/72第2页，课件共29页，创作于2023年2月2.形心坐标公式3.静矩与形心坐标的关系推论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。2023/8/73第3页，课件共29页，创作于2023年2月1.组合截面的静矩

根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即：二、组合截面的静矩和形心2023/8/74第4页，课件共29页，创作于2023年2月组合截面静矩组合截面面积组合截面的形心坐标公式为：2.组合截面的形心坐标公式2023/8/75第5页，课件共29页，创作于2023年2月例A-1试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。解：取平行于x轴的狭长条，所以对x轴的静矩为Ozyb(z)ydyhb2023/8/76第6页，课件共29页，创作于2023年2月例A-2试计算图示截面形心C的位置。解：将截面分为1、2两个矩形。建立坐标系如图示。各矩形的面积和形心坐标如下：Oxyy112010xx8010yC(y,x)ⅠⅡⅡⅠⅡ矩形I矩形II2023/8/77第7页，课件共29页，创作于2023年2月代入组合截面的形心坐标公式解得：2023/8/78第8页，课件共29页，创作于2023年2月设任意形状截面如图所示。1.极惯性矩（或截面二次极矩）2.惯性矩（或截面二次轴矩）（为正值，单位m4或mm4)所以（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）OzyyzrdA§A-2截面的极惯性矩、惯性矩、惯性积2023/8/79第9页，课件共29页，创作于2023年2月3.惯性积（其值可为正、负或0，单位:m4或mm4)截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。结论：4.惯性半径（单位m

或mm）OzyyzrdA2023/8/710第10页，课件共29页，创作于2023年2月5.主惯性轴:当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积=0时，则坐标轴y0、z0称为主惯性轴。7.形心主惯性轴:过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。8.形心主惯性矩:平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。6.主惯性矩:平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。推论：具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。2023/8/711第11页，课件共29页，创作于2023年2月例A-3试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩。

解：取平行于x轴的狭长条，则dA=bdy同理yhCx

dyyb(a)2023/8/712第12页，课件共29页，创作于2023年2月

若截面是高度为h的平行四边形（图b），则其对形心轴x的惯性矩同样为hxyb(b)C2023/8/713第13页，课件共29页，创作于2023年2月例A-4试计算图示圆截面对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩。

zDyyz解：由于圆截面有极对称性，所以所以2023/8/714第14页，课件共29页，创作于2023年2月§A-3平行移轴公式1.平行移轴公式推导

左图是一面积为A的任意形状的平面，c为其形心，yc，zc为形心坐标轴。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为xy,形心c在oxy坐标系下的坐标为(a,b)

任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：aycyzczCObdAzcycyx2023/8/715第15页，课件共29页，创作于2023年2月同理，有：注：式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。2023/8/716第16页，课件共29页，创作于2023年2月例A-5：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴Zc的惯性矩。（1）求形心坐标解：zyb(y)ycCdzcy（2）求对形心轴xc的惯性矩由平行移轴公式得：

2023/8/717第17页，课件共29页，创作于2023年2月思考题A-1：O为直角三角形ABD斜边上的中点，y、z轴为过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案(已知b>a)：（A）Iyz＞０（B）Iyz<０

(C)Iyz=０（D）Iz=Iy

zABDyOab（思考题A-1）思考题A-2：等腰直角三角形如图所示，y、z轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中为任意值），该图形的:(1)惯性积Iyz＝＿＿(2)惯性矩Iz＝＿＿、Iy＿＿＿。yzaa（思考题A-2）目录2023/8/718第18页，课件共29页，创作于2023年2月一、转轴公式任意面元dA

在旧坐标系ozy和新坐标系oz1y1的关系为：代入惯性矩的定义式：zyOzyazya11ABCDEdAzy11§A-4转轴公式、截面的主惯性轴和主惯性矩2023/8/719第19页，课件共29页，创作于2023年2月

利用二倍角函数代入上式，得转轴公式：2023/8/720第20页，课件共29页，创作于2023年2月注：上式中的

的符号为：从旧轴z至新轴z1逆时针为正，顺时针为负。（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩）将前两式相加得2023/8/721第21页，课件共29页，创作于2023年2月

由惯性积的转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性积将随着角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度0，使截面对于新坐标轴x0、y0的惯性积等于零。二、截面的主惯性轴和主惯性矩(1)

主惯性轴:截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。(2)

主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。(3)形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。(4)形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。2023/8/722第22页，课件共29页，创作于2023年2月(5)确定主惯性轴的位置

设0是旧轴x逆时针转向主惯性轴x0的角度，则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得可改写为（注：将负号置于分子上有利于确定20角的象限）2023/8/723第23页，课件共29页，创作于2023年2月(5)由上面tan20的表达式求出cos20、sin20后，再代入惯性矩的转轴公式，化简后可得主惯性矩的计算公式：极大值Imax极小值Imin2023/8/724第24页，课件共29页，创作于2023年2月(6)几个结论若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。2023/8/725第25页，课件共29页，创作于2023年2月zyC10b10b40120a2080CCaⅠⅡⅠⅡⅠⅡ

例：试计算截面的形心主惯性矩。解：作与上、左边平行的形心坐标轴xcyc

。（1）求形心坐标：（2）求对自身形心轴的惯性矩。（3）由平行移轴公式求整个截面的2023/8/726第26页，课件共29页，创作于2023年2月xc0yc0°a=113.8（4）由转轴公式得zyC10b10b40120a2080CCaⅠⅡⅠⅡⅠⅡ

2023/8/727第27页，课件共29页，创作