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文档简介
工程力学能量方法1第1页,课件共33页,创作于2023年2月§13.1
概述§13.2杆件应变能的计算§13.3应变能的普遍表达式§13.4互等定理§13.5卡氏定理§13.6虚功原理§13.7单位载荷法莫尔积分§13.8计算莫尔积分的图乘法能量方法第十三章能量方法2第2页,课件共33页,创作于2023年2月§13.2杆件应变能的计算一、能量原理:二、杆件变形能的计算:1.轴向拉压杆的变形能计算:能量方法弹性体内部所贮存的变形能,在数值上等于外力所作的功,即利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形和内力的方法称为能量方法。3第3页,课件共33页,创作于2023年2月2.扭转杆的变形能计算:3.弯曲杆的变形能计算:能量方法4第4页,课件共33页,创作于2023年2月变形能与加载次序无关;相互独立的力(矢)引起的变形能可以相互叠加。细长杆,剪力引起的变形能可忽略不计。能量方法§13.3应变能的普遍表达式5第5页,课件共33页,创作于2023年2月MN
[例1]图示半圆形等截面曲杆位于水平面内,在A点受铅垂力P的作用,求A点的垂直位移。解:用能量法(外力功等于应变能)①求内力能量方法APROQMTAAPNBjTO6第6页,课件共33页,创作于2023年2月③外力功等于应变能②变形能:能量方法7第7页,课件共33页,创作于2023年2月[例2]用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解:外力功等于应变能应用对称性,得:思考:分布荷载时,可否用此法求C点位移?能量方法qCaaAPBf8第8页,课件共33页,创作于2023年2月§13.4互等定理求任意点A的位移fA。一、定理的证明:能量方法aA图fAq(x)图c
A0P=1q(x)fA图b
A=1P09第9页,课件共33页,创作于2023年2月
莫尔定理(单位力法)二、普遍形式的莫尔定理能量方法10第10页,课件共33页,创作于2023年2月三、使用莫尔定理的注意事项:④M0(x)与M(x)的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立。⑤莫尔积分必须遍及整个结构。②M0——去掉主动力,在所求广义位移点,沿所求广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力。①M(x):结构在原载荷下的内力。③所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲。能量方法11第11页,课件共33页,创作于2023年2月[例3]用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解:①画单位载荷图②求内力能量方法BAaaCqBAaaC0P=1x12第12页,课件共33页,创作于2023年2月③变形能量方法BAaaC0P=1BAaaCqx()13第13页,课件共33页,创作于2023年2月④求转角,重建坐标系(如图)
能量方法qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1
d)()(
)()()(00)(00òò+=aBCaABxEIxMxMdxEIxMxM=014第14页,课件共33页,创作于2023年2月[例4]拐杆如图,A处为一轴承,允许杆在轴承内自由转动,但不能上下移动,已知:E=210Gpa,G=0.4E,求B点的垂直位移。解:①画单位载荷图②求内力能量方法510
20A300P=60NBx500Cx1510
20A300Bx500C=1P015第15页,课件共33页,创作于2023年2月③变形能量方法()16第16页,课件共33页,创作于2023年2月§13.5卡氏定理给Pn
以增量dPn
,则:1.先给物体加P1、
P2、•••、
Pn
个力,则:2.先给物体加力dPn
,则:一、定理证明
能量方法dn17第17页,课件共33页,创作于2023年2月再给物体加P1、
P2、•••、Pn个力,则:
能量方法dnn=nPU¶¶d第二卡氏定理意大利工程师—阿尔伯托·卡斯提安诺(AlbertoCastigliano,1847~1884)18第18页,课件共33页,创作于2023年2月二、使用卡氏定理的注意事项:①U——整体结构在外载作用下的线弹性变形能②
Pn视为变量,结构反力和变形能等都必须表示为Pn的函数③n为Pn
作用点的沿Pn
方向的变形。④当无与n对应的Pn
时,先加一沿n
方向的Pn
,求偏导后,再令其为零。能量方法dn19第19页,课件共33页,创作于2023年2月三、特殊结构(杆)的卡氏定理:能量方法20第20页,课件共33页,创作于2023年2月[例5]结构如图,用卡氏定理求A
面的挠度和转角。③变形①求内力解:求挠度,建坐标系②将内力对PA求偏导能量方法ALPEIxO
()21第21页,课件共33页,创作于2023年2月求转角
A①求内力没有与A向相对应的力(广义力),加之。“负号”说明
A与所加广义力MA反向。()②将内力对MA求偏导后,令M
A=0③
求变形(注意:MA=0)能量方法LxO
APMA22第22页,课件共33页,创作于2023年2月[例6]结构如图,用卡氏定理求梁的挠曲线。解:求挠曲线——任意点的挠度f(x)①求内力②将内力对Px求偏导后,令Px=0没有与f(x)相对应的力,加之。能量方法PALxBPx
CfxOx123第23页,课件共33页,创作于2023年2月③变形(注意:Px=0)能量方法24第24页,课件共33页,创作于2023年2月[例7]等截面梁如图,用卡氏定理求B
点的挠度。②求内力解:1.依求多余反力,③将内力对RC求偏导①取静定基如图能量方法PCAL0.5LBfxOPCAL0.5LBRC25第25页,课件共33页,创作于2023年2月④变形能量方法26第26页,课件共33页,创作于2023年2月2.求②将内力对P求偏导①求内力能量方法27第27页,课件共33页,创作于2023年2月③变形能量方法()28第28页,课件共33页,创作于2023年2月③变形解:①画单位载荷图②求内力[例8
]结构如图,求A、B两面的拉开距离。PPAB能量方法1129第29页,课件共33页,创作于2023年2月
一、抗拉(压)刚度为EI的等直杆,受力如图,其变形能是否为:
二、试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度。三、刚架受力如图,已知EI为常数,试用莫尔定理求A、B两点间的相对位移(忽略CD段的拉伸变形)能量方法练习题30第30页,课件共33页,创作于2023年2月解:
能量方法
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