定积分及其应用

定积分及其应用第1页，课件共67页，创作于2023年2月Archimedes第2页，课件共67页，创作于2023年2月第一节定积分的概念与性质abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、定积分问题的提出第3页，课件共67页，创作于2023年2月abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）第4页，课件共67页，创作于2023年2月Aera=?公元前二百多年前的阿基米德就已会用此法求出许多不规则图形的面积阿基米德第5页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放第6页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第7页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第8页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第9页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第10页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第11页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第12页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第13页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第14页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第15页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第16页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第17页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第18页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第19页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第20页，课件共67页，创作于2023年2月观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．第21页，课件共67页，创作于2023年2月曲边梯形如图所示：（1）分割（2）近似代替第22页，课件共67页，创作于2023年2月（3）求和（4）取极限曲边梯形面积为求曲边梯形面积所用的方法步骤：分割、近似代替、求和、取极限.第23页，课件共67页，创作于2023年2月实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．第24页，课件共67页，创作于2023年2月（1）分割（3）求和（4）取极限（2）近似代替第25页，课件共67页，创作于2023年2月二、定积分的定义定义第26页，课件共67页，创作于2023年2月被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限黎曼积分积分和第27页，课件共67页，创作于2023年2月注意:第28页，课件共67页，创作于2023年2月则则当第29页，课件共67页，创作于2023年2月例1利用定义计算定积分解第30页，课件共67页，创作于2023年2月曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义第31页，课件共67页，创作于2023年2月前前第32页，课件共67页，创作于2023年2月第33页，课件共67页，创作于2023年2月定理1定理2定积分存在定理(可积充分条件)第34页，课件共67页，创作于2023年2月三、定积分的性质对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．第35页，课件共67页，创作于2023年2月证明（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1第36页，课件共67页，创作于2023年2月证明性质2第37页，课件共67页，创作于2023年2月补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3第38页，课件共67页，创作于2023年2月证明性质4性质5第39页，课件共67页，创作于2023年2月性质5的推论：证明（1）（定积分不等式性质）第40页，课件共67页，创作于2023年2月证明说明：

可积性是显然的.性质5的推论：(绝对值不等式性质)第41页，课件共67页，创作于2023年2月解令于是第42页，课件共67页，创作于2023年2月证明（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6第43页，课件共67页，创作于2023年2月解第44页，课件共67页，创作于2023年2月解第45页，课件共67页，创作于2023年2月证明由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式第46页，课件共67页，创作于2023年2月使即积分中值公式的几何解释：第47页，课件共67页，创作于2023年2月解由积分中值定理知有使第48页，课件共67页，创作于2023年2月(定积分第二中值定理.)7和第49页，课件共67页，创作于2023年2月第50页，课件共67页，创作于2023年2月

小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限第51页，课件共67页，创作于2023年2月3．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．第52页，课件共67页，创作于2023年2月证第53页，课件共67页，创作于2023年2月命题得证所以可积必有界.第54页，课件共67页，创作于2023年2月思考题1、将和式极限：2、表示成定积分.第55页，课件共67页，创作于2023年2月思考题解答1、原式第56页，课件共67页，创作于2023年2月例第57页，课件共67页，创作于2023年2月证明利用对数的性质得第58页，课件共67页，创作于2023年2月极限运算与对数运算换序得第59页，课件共67页，创作于2023年2月故第60页，课件共67页，创作于2023年2月练习题第61页，课件共