2022-2023学年北京市西城区高二数学期末复习参考试题（二）【含答案】

2022-2023学年北京市西城区高二数学期末复习参考试题（二）一、单选题1．小明有枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，则不同的摆法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】根据题意，列出所有满足题意的摆法即可求解.【详解】根据题意，列出所有满足题意的摆法如下（从下到上）：正-正-正-正，反-反-反-反，反-正-正-正，反-反-正-正，反-反-反-正.共5种不同的摆法.故选：B.2．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为A．14 B．16 C．18 D．20【答案】D【分析】分类讨论，利用加法原理，可得结论．【详解】红色用1次，有6种方法，红色用2次，有10种方法，红色用3次，有4种方法，共20种，故选D．【点睛】本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．3．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（

）A．12 B．40 C．60 D．80【答案】D【分析】首先从五个位置中选出三个给甲乙丙三人，再排丙，接着安排甲、乙，最后再安排丁、戊，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】解：先从五个位置中选出三个给甲乙丙三人，共有种选法，其中丙在两端，有种选法，剩余两个位置甲、乙全排有种，最后剩余两个位置给丁、戊有种，所以排法种数为；故选：D.二、填空题4．一次数学会议中，有五位教师来自三所学校，其中学校有位，学校有位，学校有位．现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有种不同的站队方法.【答案】48【分析】先安排A学校和C学校的三位老师，有中排法，再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中，并对B学校的两位老师进行排序，有种排法，最后根据乘法运算，由此能求出结果．【详解】五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，要求来自同一所学校的教师不相邻，先安排A学校和C学校的三位老师，有中排法，再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中，并对B学校的两位老师进行排序，有种排法，由乘法原理得不同的排列方法有种，故答案为48．【点睛】本题考查不同的站队方法的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、单选题5．某校实行选科分班制度，张毅同学的选择是物理､生物､政治这三科，且物理在层班级，生物在层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（

）第一节第二节第三节第四节地理层2班化学层3班地理层1班化学层4班生物层1班化学层2班生物层2班历史层1班物理层1班生物层3班物理层2班生物层4班物理层2班生物层1班物理层1班物理层4班政治1班物理层3班政治2班政治3班A．8种 B．10种 C．12种 D．14种【答案】B【分析】根据表格进行逻辑推理即可得出结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：生物层1班，政治1班，物理层2班；生物层1班，政治1班，物理层4班；生物层1班，政治2班，物理层1班；生物层1班，政治2班，物理层4班；生物层1班，政治3班，物理层1班；生物层1班，政治3班，物理层2班；生物层2班，政治1班，物理层3班；生物层2班，政治1班，物理层4班；生物层2班，政治3班，物理层1班；生物层2班，政治3班，物理层3班；共10种，故选：B.四、填空题6．现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）【答案】【分析】先将除甲、乙之外的其他人排列，再安排甲、乙两人即可.【详解】先排除甲、乙之外的其他人有，此时中间形成3个空隙，再把甲安排到这个位置上，有种方法.由于甲、乙不相邻，再把乙放在包括端点的其他个位置上，有种方法，∴共有种．故答案为：288.7．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组都有带队教师，且带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有种.(用数字作答)【答案】54【分析】根据题意，甲教师和乙教师带不带同一队作为分类标准，分别计算两种情况下的不同带队方案，最后由分类加法计数原理计算结果即可；【详解】根据题意可得：若甲教师和乙教师不带同一队，则共有种不同的带队方案；若甲教师和乙教师带同一队，则共有种不同的带队方案；由分类加法计数原理可得：共有54中不同的带队方案；故答案为：54.8．在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的志愿者分配方案用数字作答【答案】【分析】由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得．【详解】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加项目，乙只能参见项目，项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加项目，，项目，有种方法，若甲参加，乙不参加，则乙只能参加项目，，项目，有种方法，若甲不参加，乙不参加，有种方法，根据分类计数原理，共有种．故答案为21.【点睛】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题．9．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是．【答案】16【分析】有10个足球队进行循环赛，胜队得2分，负队得0分，平局的两队各得1分，即每场产生2分，每个队需要进行10-1=9场比赛，则全胜的队得18分，而最后五队之间赛5×（5-1）÷2=10场至少共得20分，所以第二名的队得分至少为分．【详解】每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得：9×2=18（分），而最后五队之间赛10场，至少共得：10×2=20（分），所以第二名的队得分至少为（分）．故答案为16.【点睛】完成本题主要求出最后五队之间赛的场次以及至少共得的分数，然后抓住了“第二名的得分是最后五名所得总分和的”这个关键点进行分析的．10．大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有种(用数字作答).【答案】【分析】将其中两人看作一个元素，和另一人一起作为两个元素安排坐四部电梯，即可求得答案.【详解】先从人中选择2人坐同一电梯有种选法，再将这两人看作一个元素，则和另一人看作两个元素，安排坐四部电梯有种，则不同的乘坐方式有种，故答案为：.11．已知的展开式中的系数是10，则实数的值是【答案】1【分析】根据条件，求出的系数，列出关于的方程，求出a的值.【详解】因为的展开式的通项为，又的展开式中的系数是10，所以，即，所以，则.故答案为：.12．的展开式中常数项是（用数字作答）【答案】15【分析】根据二项式写出展开式通项，并确定常数项对应的r值，即可得常数项.【详解】展开式的通项，令，解得，所以常数项是.故答案为：1513．的展开式中常数项是．（用数字作答）【答案】15【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为0求得值，则答案可求．【详解】解：由．取，得．展开式中常数项为．故答案为：15．14．在的二项展开式中，的系数为．【答案】【解析】根据二项式定理写出展开式的通项，即可得的系数.【详解】展开式的通项为：令，得，所以的系数为：【点睛】本题主要考查了二项式系数的性质，关键是记住二项式展开式的通项，属于基础题.五、单选题15．在的展开式中，的系数是A． B． C．5 D．40【答案】A【分析】由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.【详解】因为的展开式的通项为，令，则的系数是.故选A【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.16．在的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二项展开式的通项公式计算即可.【详解】展开式的通项为，取，，系数为.故选：A.17．在的展开式中，常数项为（

）A． B．120 C． D．160【答案】C【解析】写出二项式展开式的通项公式求出常数项.【详解】展开式的通项，令常数项故选：C．【点睛】本题考查二项定理.二项展开式问题的常见类型及解法:(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数．六、填空题18．的二项展开式的常数项为【答案】20【详解】的二项展开式的通项为．令得．所以的二项展开式的常数项为．19．在二项式的展开式中，常数项为．【答案】160【解析】求得二项展开式的通项，令，求得，代入即可求解.【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令，可得，代入可得，所以展开式的常数项为.故答案为：.20．的展开式中项的系数是．（用数字作答）【答案】【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得展开式的系数.【详解】在的展开式中，的系数为，故答案为：21．的展开式中的常数项是：．(请用数字作答)【答案】-20【详解】，令，则，所以常数项为．七、双空题22．若的二项展开式中各项的二项式系数的和是，则，展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】15【详解】试题分析：根据题意二项式系数的和是，，所以展开式的常数项为．【解析】1．二项式系数和；2．二项式的同通项公式．八、填空题23．在的展开式中，x3项的系数为（用数字作答）【答案】20;

【详解】因展开式的通项公式为，令，故其系数是，应填答案．24．在的展开式中，常数项为.(用数字作答)【答案】40【解析】先求出展开式的通项，令即得解.【详解】设展开式的通项为，令，所以常数项为.故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.九、单选题25．展开式中的系数为10，则实数a等于【】A．-1 B． C．1 D．2【答案】D【详解】解：∵Tr+1=C5r•x5-r•（a/x）r=arC5rx5-2r，又令5-2r=3得r=1，∴由题设知C51•a1=10⇒a=2．故选D十、填空题26．在的展开式中，的系数是.（用数字作答）【答案】【分析】由题意结合二项式展开式的通项公式可得的系数.【详解】由二项式展开式的通项公式可得的展开式为：，令可得的系数是.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．27．在的展开式中常数项为(用数字作答).【答案】【解析】写出的展开式的通项，即可求得常数项.【详解】的展开式的通项为：，当，解得，的展开式中常数项是：.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式.十一、单选题28．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A． B． C． D．【答案】B【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=故选B.29．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测.方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和.则A． B． C． D．以上三种情况都有可能【答案】B【详解】因为所以故选:B十二、填空题30．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=．【答案】【详解】∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋2××()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝．十三、单选题31．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是A． B． C． D．【答案】C【详解】甲共得6条，乙共得6条，共有6×6＝36(对)，其中垂直的有10对，∴.本题选择C选项.32．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率为，故选C．【解析】相互独立事件概率的计算．十四、填空题33．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为（结果用最简分数表示）.【答案】【分析】利用古典概率求解.【详解】抽出的2张均为红桃的概率为.故答案为：.34．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件；⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关【答案】②④【分析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出事件发生的条件下B事件发生的概率，即可判断②；然后由，判断①和⑤；再比较的大小即可判断③.【详解】由题意可知事件不可能同时发生，则是两两互斥的事件，则④正确；由题意得，故②正确；,①⑤错；因为，所以事件B与事件A1不独立，③错；综上选②④故答案为：②④【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.35．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．【答案】【详解】试题分析：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128.法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128【解析】相互独立事件的概率乘法公式十五、解答题36．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.

(1)求直方图中的值；(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）【答案】(1)0.0125(2)600(3)分布列见解析，数学期望为1【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形的面积和为1求解即可；（2）求出新生上学所需时间不少于1小时的频率，再估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）先求出所有取值的概率，得到分布列后求出数学期望即可.【详解】（1）由直方图，可得.所以；（2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为，因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿；（3）的可能取值为0，1，2，3，4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，，，，，.所以的分布列为：01234（或），所以的数学期望为1.37．在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级.某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.

(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.【答案】(1)3(2)（i）2.9；（ii）分布列见解析，【分析】（1）先由“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数和频率算出该考场的总人数，“阅读与表达”科目中成绩为A的人数即为总人数乘以其频率；（2）（i）直接利用频率分布直方图中的平均数公式求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（ii）按求分布列的步骤和数学期望公式即可求解.【详解】（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为.（2）（i）“数学与逻辑”科目中成绩等级为D的频率为，故该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为.（ii）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20，，，，，，所以的分布列为1617181920所以38．某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门,再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需的时间.(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的数学期望.【答案】(1)分布列见解析.（2）E(ξ)=(小时).【详解】解：（1）的所有可能取值为：1，3，4，6，，，，所以的分布列为：1346P（2）（小时）39．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求，的值；(Ⅲ)求数学期望ξ．【答案】（I）；（II），；(III).【详解】（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是，（II）由题意知整理得，由，可得，.（III）由题意知===40．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.【答案】（Ⅰ）