2023年中考数学圆的必背知识点含（公式、定理、结论图表）

2023年中考数学圆的必背知识点含（公式、定理、

结论图表）

知识必备10圆（公式、定理、结论图表）

「、思维导图

［、知识梳理

考点一、国的有关依念

1.图雁义

如图所示，有两种定义方式：

①在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做

图.固定的端点。叫做圆心，以。为圆心的图记作00,线段0A叫做半径;

②图是到定点的距离等于定长的点的集合.

A

要点诠羟：圆心确定圆的位置，半径确定图的大小.

2.与国有关的公念

①弦：连接图上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC,AC都是我.

②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是0。的直径，直径是图中最长的弦.

⑤强:圆上任意两点间的部分叫做图强，简称强，如曲线BC㈤尤都是。0中的弧，分别记作加，互立.

④半圆1：图中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条强都叫做半圆，如.正是半图.

⑤劣狐：像坛这样小于半圆周的圆弧叫做劣强.

⑥优强：像互记这样大于半周周的图强叫做优强.

⑦同心图：图心相同，半径不相等的圆叫做同心圆.

⑧弓形：由弦及其所对的强组成的图形叫做弓形.

⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等图.

⑩等狐：在同圆或等圆中，能够互相重合的强叫做等强.

©圆心角：顶点在圆心的角叫做图心角，如上图中NAOB,NB3是圆心角.

©圆周角：顶点在图上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中NBAC、NACB都是圆周角.

要臣诠暮：

圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹强的度数的差的一半.圆内角度

数等于它所夹弧的度数的和的一半.

典例1：（2022•西藏）如图，£3是。。的弦，OC1.-L3-垂足为GODliAB，OC=^OD＞则N43D的度

数为（

A.90°B.95°C.100°D.105°

【分析】连接。3,贝由0CJU5,则NO3c=30°，再由即可求出答案.

【解答】解：如图：

连接。3,则。8=。。，

VOC=—OD，

2

:.OC=—OB>

2

Z05C=30°，

YODtiAB,

J.N"Z>=N。3c=30°，

，乙OBD=LODB=15°，

乙血）=30°+75°=105°.

故选：D.

【点评】本题考查了图，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利

用图的半径相等是解题的关键.

考点二、图的有关性质

1.国胸称性

圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条.图是中心对称图形，圆心是对称中心，

又是旋转时称图形，即流转任意角度和自身重合.

2.垂降理

①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条强.

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条强.如图所示.

姜臣诠转：在图中（1）直径CD，（2）CD_LAB，（3）蝴=胆，（4）HC=BC，（5）WD=3D.若上述5个条件

有2个成立，则另外3个也成立.因此，垂径定理也称“五二三定理即知二推三.

注意：（1）（3）作条件时，应限制AB不能为直径.

3.孤、弦、国心角之间的关系

①在同图或等图中，相等的圆心角所对的强相等，所对的弦也相等；

②在同图或等图中，两个图心角、两条弧、两条弦中有一组里相等，它们所对应的其余各组里也相等.

4.国周俑定理及推论

①图周角定理：在同图或等图中，同强或等弧所对的圆周角相等，都等于这条强斯对的圆心角的一半.

②四周角定理的推论：半图（或直径）所对的圆周角是直角，90°的四周角所对的弦是直径.

要点诠转：图周角性质的前提是在同圆或等图中.

典例2：（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400

年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是图

强形，表示为0.桥的跨度（弧所对的弦长）£3=26”，设定所在圆的圆心为。，半径。CL13,垂足

为D.拱高（弧的中点到弦的距离）8=5沏.连接03.

（1）直接判断WD与功的数里关系；

（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1"力.

c

o

t分析】（1）根据垂径定理便可得出结论；

（2）设主桥拱半径为及，在Rt^O的中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果.

1解答】解:（1）-OCl^ABf

・・・AD=BD；

（2）设主桥拱半径为处由题意可知HE=26，CD—5,

•13D=XL3=13，

2

<?D»OC-CZ>=R-5.

vZOD5=90e，

：.OgB»=OB'，

•••（R-5）=132=必

解得R=19.4=19，

管：这座石拱桥主桥拱的半径约为1》，八

t点评】此题考查了垂径定理，勾股定理.此题难度不大，解题的关键是方程思想的应用.

典例3：（2022•六盘水）辟舸江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月高挂在山上，月亮之上有个

“齐天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是

月真词的截面示意图.

（1）科考队列重出月亮洞的洞宽CD约是28加，洞高且3约是1加，通过计算截面所在图的半径可以解

释月真洞像半个月高，求半径OC的长（结果精确到01加“

（2）若NC8=162。，点”在而上，求NCWD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M

在洞顶而上巡视时总能看清洞口8的情况.

t分析】(1)设at=oc=Rm，利用勾股定理求出区即可；

(2)补全。。，在CD的下方取一点,V,连接CN，"V，CM，DM，利用圆周角定理，图内接四边形的

性质求第即可.

t解答】解：(1)设at=oc=Rm,

,：OALCD，

•,•C5=5D=-1CD=14OT»

2

在RtA<O3中，0c;=C)m+CB:，

八壮=1卒+(R-12)2»

.\R=毁，

6

.•.(%■=—«142w.

6

(2)补全0。，在8的下方取一点N，连接CN,DN，DM>

VZA^-AZCOZ>=81°，

2

；NCMHNN=180°，

ZCW=99°.

VZCW=99°不变，是定值，

•••“齐天大圣"点”在洞顶而上巡视时总能看清洞口CD的情况.

t点评】本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，图内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用

参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

典例4：（2022•黄石）如图，图中扇子对应的圆心角a（a<180°）与剩余圆心角0的比值为黄金比时，扇

子会显得更加美妮，若黄金比取0.6,贝弗-a的度数是90：

【分析】根据已知，列出关于a，|3的方程组，可解得a，B的度数，即可求出答案.

*0.6

【解答】解:根据题意得:

a+B=360*

解得,a=135°

B=225°

•,.p-a=225°-135°=90°，

故答案为：90。.

【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360。和已知，列出方程组.

典例5：（2022•南通）如图，四边形W8CD内接于。。，3。为。。的直径，.4C平分N&4D，CD=2&，

点E在3C的延长线上，连接DE.

（1）求直径助的长；

（2）若3E=5A历，计算图中阴影部分的面积.

【分析】（1）由功为。。的直径，得到N8CZ>=90。，XC平分得到N3HC=NZUC，所以3c

=DC，是等腰直角三角形，即可求出3D的长；

（2）因为3C=DC，所以阴影的面积等于三角形CDE的面积.

t解答】解：（1）•••3。为O。的直径，

.#•/.BCD=ZZ）C£=9O6，

•■•AC平分N3JLD，

二NBAC=NIC，

-'-BC=DC=2y[2，

，3Z>=2&X&=4；

(2)-BE=542>

•■-C£=3V2>

'.,BC=DCf

:，S=SCZ)£=-1X2V2X3V2=6.

【点评】本题考查了图的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练茎握圆周角

定理是解题的关键.

考点三、与国有关的位置关系

1.点与图的位置关系

加口图所示.d表示点到圆心的距离，r为圆的半径.点和图的位置关系如下表：

点与圆的位置关系d与r的大小关系

点在圆内d<r

点在圆上d=r

点在国外d>r

+

(1)图的确定：

①过一点的圆有无数个，如图所示.

②过两点A、B的图有无数个，如图所示.

(2)三角形的外接图

经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个.经过三角形三个顶点的图叫做三角形的外接

图.三角形外接图的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个图的内接三角形.三角形的外心就

是三角形三条边的垂直平分线交点.它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接图的半径.如图所

2.直线与图的位置关系

①设r为图的半径，d为圆心到直线的距离，直线与图的位置关系如下表.

②圆的切线.

切线的定义：和图有唯一公共点的直线叫做圆的切线.这个公共点叫切点.

切线的判定定理：经过半径的外端.且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

友情提示：直线I是。。的切线，必须符合两个条件：①直线I经过。。上的一点A；®0A±2.

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

切线长定义：我们把图的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到图的切线长.

切线长定理：从国外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条

切线的夹角.

⑤三角形的内切图：与三角形各边都相切的图叫三角形的内切图，三角形内切图的圆心叫做三角形的

内心，这个三角形叫做图的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点.

要点诠等：

找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点.

三角形外心、内心有关知识比较

图形名称・定方法性质

外心（三三角形三①CM=08=

角形外边垂卤千QC■②外心不

按圜的分妓的一定在三指形

01心）的内部

A内心（三三角形三

角形内个内角平②OMB/T分

切圜的分线的别平分Z1MC.

r*同心）交点ZAflCu<ACB

3.图与图的位置关系

在同一平面内两图作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两图半径（K，r）.d为圆心

距.

位・关系图形公共点个，R、r与d的关系

外育1*2/0QR+r

外切砧1d-R+r

相交2Rr<4/，

内切雹1</■火一7

内彳题<>/V-r

要点诠转:

①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍.其中相切和相交是重点.

②同心图是内含的特殊情况.

⑤图与图的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.

④“r-r”时，要特别注意，r>r.

典例6：（2022•淮安）如图，△W3C是。。的内接三角形，NJCB=60°，WD经过圆心。交。。于点E，

连接功，Z.W5=300.

（1）判断直线BD与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若£8=4«，求图中阴影部分的面积.

【分析】（1）连接3E，根据图周角定理得到Na班=NC=60°，连接。5,根据等边三角形的性质得到

NBOD=60。，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据图周角定理得到N.43E=90°，解直角三角形得到Q3,根据扇形和三角形的面积公式即可得

到结论.

【解答】解：（1）直线如与。。相切，

理由：连接BE，

\—=60°，

•••Z.l£5=ZC=60°，

连接。3，

•：OB=OE、

△OBE是等边三角形，

AZ5OZ>=60°，

VZ.4Z>5=30°，

ZO5Z>=180°-60°-30°=90°，

是。。的半径，

二直线3。与0。相切；

(2)•••4S是。。的直径,

Z.-L3£=90°，

:AB=4册，

.••sinNzL£B=sin60。=AB=W3_=V3_,

AEAE2

■■：4E=S>

•'•OB=4f

:.BD=MOB=&M，

,图中阴影部分的面积=SOBD-SaOf=lX4x4660弋42=8百-4.

23603

t点评】本题考查了直线与图的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，

正确地作出辅助线是解题的关键.

典例7:（2022•重庆）如图，是。。的直径，C1为。。上一点，过点C,的切线与.13的延长线交于点尸,

【分析】连结OC，根据切线的性质得到NR?。=90°，根据。C=Q4,得到N.4=NOCH，根据.4（7=

PC,得到N^=NA，在△HR7巾，根据三角形内角和定理求得N尸=30°，根据含30度角的直角三角

形的性质得到。尸=2OC=2r，在Rt"OC中，根据tanP=筌求出。。的半径，•即可得出答案.

【解答】解：如图，连结OC，

---PC是。。的切线，

•,.ZPCO=90°，

VOC=Q4>

；Z=NOCA,

,.,AC=PC>

N尸=N.4，

设Na=NOC4=NF=x°，

在1中，N.HNRNR?a=180。，

•\x+x+90tv=180，

•••x=30，

.••々=30°，

VZPCO=90°，

■•■OP=2OC=2r>

在Rt2kRX,中，tan?=毁，

PC

•V3=_r_

V3V3

.”=3，

」•尸3=。尸一。E=2r_r=r=3.

【点评】本题考查了切线的性质，体现了方程思想，在△HR：,中，根据三角形内角和定理求得N尸=30°

是解题的关键.

典例8：（2022•宁夏）如图，以线段且3为直径作O。，交射线HC于点C，AD平分NCL3交。。于点。,

过点。作直线加L4C于点E，交的延长线于点尸.连接功并延长交HC于点

（1）求证：直线区是。。的切线；

（2）求证：*8=41方

（3）若Affi=l，N尸=30°，求33的长.

【分析】《1）连接。0，由NOZM=NaLD=NZUC证明。D〃HC，得/8尸=/.回=90°，即可证

明直线DE是。。的切线；

（2）由线段H3是。。的直径证明408=90°，再根据等角的余角相等证明N"=413M，贝I]£8=.心力

（3））由4如'=90。，N尸=30。证明NA-/=60°，则△ASM是等边三角形，斫以N,”=60。，则N

EDl/=3O°>所以一UD=2WE=2,再证明23。尸=N尸，得83=30=2.

t解答】（1）证明：连接。。，则8=3，

:•乙ODA=LOAD，

二10平分NCXB，

ZQ1D=ZZ>.4C>

Z-ODA=NZUC，

'■OD//AC>

•■•DE±AC>

：.ZODF=4AED=90°，

•••。。是。。的半径，且z）m_L。。，

二直线。月是。。的切线.

（2）证明：•••线段A3是。。的直径，

・"ADB=90°，

•••180°-4®=90°，

AZ.XAZD.4J/=90°，Z.£B3AZZ）.£3=90°，

•：2D4f=ZDAB，

J.ZJ/=Z.W/>

(3)解：•••N.1EF=9O°，N尸=30°，

「•NA川=60°，

是等边三角形，

二N"=60°，

•••ZDE.l/=90°，AiE=l.

•\N皿l/=30°，

•：WD=2Affi=2，

.••3070=2，

■:NBDF=ZEDV=3G。，

:.Z.BDF=NF，

-,-BF=BD=2.

【点评［此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与

性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的

一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

典例9：(2022•阜新》如图，在RtALSC中，4CB=90°，。是BC•边上一点，以。为圆心，。3为半径

的圆与.18相交于点D，连接8,且CD=HC.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若乙4=60。，AC=2>/3>求面的长.

B

【分析MD连接。D.由等摆三角形的性质及图的性质可得Na=乙次，NB=N3D0.再根据余角

性质及三角形的内角和定理可得N8C=180°-(Z.WC+Z5ZX?)=90°.最后由切线的判定定理可

得结论；

(2)根据等边三角形的判定与性质可得NDCO=44C3-NHCD=30°.再由解直角三角形及三角形内

角和定理可得N88的度数，最后根据强长公式可得答案.

【解答1(1)证明：连接8.

■.•AC=CD>

々=Z.4DC.

■：OB=OD，

:.乙B=4BDO.

VZ.4C5=90°，

AZ.4+Z5=90°.

:.乙4DC+NBDO=90°.

■••ZOZ>C=1800-(4DC+乙BDO)=90°.

又T8是。。的半径，

•'CD是g的切线.

(2)解：-.•AC=CD=273-乙4=60°，

•••△48是等边三角形.

•\4CD=60°.

Z.DCO=NHCB-N.4CD=30°.

在RtAOCD中，OD=CZXanZDCO=273-tan30°=2.

■•,Z5=90o-N.4=30°，OB=OD>

:•NODB=NB=30°.

AZ5OZ)=180°-(Z5-Z5DO)=120°.

前的长=120冗七217r.

1803

t点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、强长公式，正确作出辅助线是解决此题

的关键.

考点四、正多边形碣

1-正多边形的有关假念

正多边形的外接图（或内切图）的圆心叫正多边形的中心.外接图的半径叫正多边形的半径，内切图的

半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接图的图心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正

多边形的每一个中心角都等于一.

n

要点诠释：

通过中心角的度数将图等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径.

2.正多边形的性质

任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆.正多边形都是轴对称图形，偶额

条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长（半径或边心

距）之比.

3.正多边形的有关计算

定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为百角三角形的计算.

典例10：（2022•黔东南州）（1）清在图1中作出△.■L3C1的外接圆。。（尺规作图，保留作图痕迹，不写作

法）；

（2）如图2,。。是△W3C的外接图，.4是。。的直径，点3是令的中点，过点8的切线与的延

长线交于点D.

①求证：BDL4D；

②若HC=6,tanZ.18C=—>求O。的半径•

c

图1图2

【分析：HD利用尺规作图分别作出.4、HC,的垂直平分线交于点。，以。为圆心、014为半径作图即

可；

（2）①连接。B，根据切线的性质得到0B_L3D，证明。31.1D，根据平行线的性质证明结论；

②连接EC,根据图周角定理得到NXEC=N.45C，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出HE，得

到答案.

【解答】（1）解:如图1，。。即为AMC•的外接图；

（2）①证明：如图2,连接。3，

•••3。是。。的切线，

•••点3是面I中点，

BC=BE，

；.2CAB=ZEAB，

•：OA=OB，

•••Z.OBA=NEAB，

：.4CAB=2OBA，

：.0BllAD，

■,■BDl.iDi

②解：如图2,连接EC，

由图周角定理得：Z.4£C=Z.45C»

■.■tanZj5C=—»

4

•••tanZ.4£C=—>

4

•••.IE•是。。的直径，

•••Z.4C£=90o，

.AC_3

EC4

"AC=6>

•■•£C=8»

=7AC2+EC2=10'

•••0。的半径为5.

t点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理'解直角三角形，茎握图的切线垂直于经过切点的半径

是解题的关键.

典例11：（2022•黔东南州）如图，在△W3C中，乙4=80°，半径为女”，的0。是△.■L3C的内切图，连接

OB、0C，则图中阴影部分的面积是_凶n_（：”.（结果用含n的式子表示）

4

BC

t分析】根据角X的度数和内切图的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积.

【解答】解：VZ.4=800.GX?是△.！»：,的内切图，

•••ZDO£=1SO°-（yZABC+yZACB>=180®（180°-N.4）=130°，

ASDOL]307r2$=117r（Q,

3604

故答案为：立下.

4

【点评】本题主要考查三角形内切图的知识，熟练室握三角形内切图的性质及扇形面积的计算是解题的

关键.

典例12：（2022•青岛）如图，正六边形.”（：：0底尸内接于。。，点A/在标上，则NUliE的度数为（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

t分析】由正六边形的性质得出NCOE=120°，由图周角定理求出NCUE=60°.

【解答】解：连接X，OD，OE>

\•多边形ABCDEF是正六边形，

：•£COD=ZDOE=6Q。，

•\NCOE=2NCW=120°，

Z.CSJE=—ZCOE=60°，

2

故选：D.

【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练室握正六边形的性质，由圆周角定理求出NCQV

=120°是解决问题的关键.

考点五、图中的计算问题

L*长公式：/=誓，其中，为n。的圆心角所对弧的长，R为圆的半径.

180

2.扇的面积公式：Sj；=?更，其中S&=2次.圆心角所对的扇形的面积，另外5$=?/R.

3360“232

3.国除网碰和全面积:

1r

圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，强长等于圆锥底面图的周长.

圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和.

要点诠释：

（1）在计算图椎的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把图锥底面圆半径当成扇形半

（2）求阴影面积的几种常用方法（1）公式法；（2）割补法；（3）拚凑法；（4）等租变形法；（5）构造方程法.

典例13：（2022•广西）如图，在△"（?中，CA=CB=4,^BAC=a>将绕点X逆时针旋转2a，得

到，连接8,C并延长交£3于点。，当吏0L18时，丽丁的长是（）

A./nB.垃nC.岖nD.岐n

3399

【分析】证明《=30°，根据已知可算出.9的长度，根据强长公式即可得出答案.

t解答】解：：C.4=CB>CDUB，

2

J.NWD=3O°，

•••a=30°，

,.UC=4»

■■■.4D=AC'cos30°=4X*>=2«，

•••AB=2AD=4>/3，

二病'的长度片n兀r=60X兀X4%=生巨7r

故选：B.

B'

【点评】本题主要考查了强长的计算及旋转的性质，熟练革握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决

本题的关键.

典例14：（2022•荷泽）如图，等候Rt2kLBC中，AB=AC='反,以.4为图心，以33为半径作示；以3c

为直径作俞.则图中阴影部分的面积是口-2.（结果保留IT）

t分析】如图，取3c的中点。，连接04.根据S=S-SABC^S」CB-S求解即可.

【解答】解：如图，取3c■的中点。，连接Q4.

VZC-L3=90°>AC=AB=42>

••-5C=V2-45-2»

■,■OA=O3=OC=1>

」・S=S「-SABC^SACB-SACB

=1.,XP-1XV2XV2-M^-1XV2XV2

=n-2・

故答案为：n-2.

【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用割补法求阴影部

分的面积.

典例15：（2022•广安）蒙古包可以近似地看作由图锥和圆柱组成.下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半

径DE=2m，图椎的高AC=L5"”圆柱的高CD=25"”则下列说法错误的是（）

A.圆柱的底面积为41T病

B.圆柱的恻面积为10ro射

C.圆锥的母线.45长为225冽

D.图椎的侧面积为为苏

【分析】利用图的面积公式对.4选项进行判断；利用圆柱的侧面积=底面图的周长x高可对B选项进行

判断；根据勾股定理可对C选项进行判断；由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的强长等于圆锥

底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式可对。选项进行判断.

t解答】解：:•底面图半径双=2m，

，圆柱的底面积为4n毋，所以.4选项不若合题意；

••.圆柱的高0=2.5”，，

，圆柱的侧面租=2nX2X2.5=10n（田卜所以3选项不符合题意；

•••底面图半径DE=2m，即BC=2m，圆锥的高aC=1.5m，

，圆锥的母线长.13=~52+2?=2.5（»;）>所以C选项符合题意；

•••图锥的侧面积=5*2"><2*2.5=5"（/），所以。选项不符合题意.

故选：C.

t点评】本题考查了图谁的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的强长等于圆锥底面的周长，

扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了圆柱的计算.

典例16：（2022•贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙肩”免单方案（即点单完成后，开始

倒转“沙扁”，“沙扁”碣宾前，客人所点的菜需全部上卓，否则该桌免费用餐）.“沙碣”是由一个圆锥

体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是&”，，高是&冽；图

柱体底面半径是女小液体高是7cm.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙孺”中液体的高度为（）

t分析】由圆锥体底面半径是金加，高是6s”可得。=。£，根据图锥、图柱体积公式可得液体的体

积为63nc”3圆锥的体积为72他病，即知计时结束后，图椎中没有液体的部分体积为9nc/，设计时

结束后，“沙福”中液体的高度.9为XBM可得上•(6-x)2-(6-x)=9n，即可解得答案.

二,图锥体底面半径是6c””房>是&■加，

是等腰直角三角形，

ACD5也是等腰直角三角形，即CD=QE，

由已知可得：液体的体积为nX32x7=63n(rn/5).图椎的体积吗71*6?X6=72n(e5)，

」•计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72TT-63TT=9TT(<-»/)>

设计时结束后，“沙扇”中液体的高度.9为xcw，则CD=DE=(6-x)cw.

n*(6-.r)2,(6-x)=9n，

3

•••(6-x)3=27»

解簿x=3,

二计时结束后，“沙扁”中液体的高度为3cm，

故选：B.

t点评】本题考查圆柱体、圆椎体体积问题，解题的关键是基握图柱体、圆锥体体积公式，列出方程解

决问题.

考在六、四直共国

1.四点共图的定义

四点共图的定义：如果同一平面内的四个点在同一个图上，则称这四个点共图，一般简称为“四臣

共图

2.证明四点共图一些基本方法：

1.从被证共圆的四点中先选出三点作一图，然后证另一点也在这个图上，若能证明这一点，即可肯

定这四点共圆.或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距.

2.如果各点都在某两点所在直线同倒，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆.（若能证明其

两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）

3.把被证共图的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角

时，即可肯定这四点共图.

4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，

即可肯定这四点共图；或把被证共图的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线

段两个端点所成的两线段之秋等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也

共圆.即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.

典例17:（2022•遵义）综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共图.该小组

继续利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点3,D>连接.a，AB，BC>CD，如果N3=N。，那么X，3,C，。四

点在同一个图上.

探究展示：

如图2,作经过点A，C.。的。0，在劣强.4C上取一点月（不与H，C,重合），连接££，C£.则NzLBO

ZD=180°（依据1）

•••Z.4£C-Z5=180°

•••点A，3,C.E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共图）

二点8,。在点八，C，W所确定的。。上（依据2）

.•.点X，小C»D四点在同一个图上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆.

（2）如图3,在四边形zLBCD中，Z1=Z2>N3=45°，则N4的度数为45。•

拓展探究：

（3）如图4,已知△W3C是等腰三角形，.45=AC，点。在3c上（不与3C的中点重合），连接AD.作

点C关于的对称点£，连接EB并延长交.10的延长线于尸，连接zL£，DE.

①求证：X,D，3,E四点共圆；

②若£3=2泥，.mF产的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，清说明理由.