2023年中考数学高频压轴题突破-二次函数与面积问题

2023年中考数学高频压轴题突破一二次函数与面积问题

一、选择题

1.如图，已知抛物线=2-4与轴交于点，与轴分别交于两点，将该抛物线平

移后分别得到抛物线1，2，其中1的顶点为点2的顶点为点，则由这三条抛物线所围

A.8B.1C.3D.无法计算

62

2.已知二次函数=22-8+6的图象交轴于两点.若其图象上有且只有

三点满足△1,△2，△3的面积都等于，则的值为（）

A.B._3C.D.4

2

12

二、填空题

3.如图所示，用长1m的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框（包括窗棱），若使此窗户

的透光面积最大,最大透光面积为一.（结果保留TT）

4.已知抛物线=2-4-5与轴交于（-1,）,（5,0）两点，与轴交于点，点是

0

抛物线上的一个不与点重合的一个动点，若，=,，则点的坐标是

三、解答题

5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于(-1,0),(4,0),(0,-4)三点，点

是直线下方抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)是否存在点，使△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点坐标；若不

存在，请说明理由；

(3)动点运动到什么位置时，△面积最大，求出此时点坐标和△的最大面积.

6.如图，抛物线=2++8经过点(-2,),(4,0)两点，与轴交于点，点是抛

0

物线上一个动点，设点的横坐标为Q<<4).连接，，，

(2)A的面积等于A的面积的小时，求的值；

(3)在()的条件下，若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存

在这梦的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写

出点的坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点(0,4),(1,0),(5,0),其对称轴与轴相交于点

(1)求抛物线的解析式和对称轴.

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使△的周长最小？若存在，请求出点的坐标；

若不存在，请说明理由.

(3)连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点，使A的面积最大？若存

在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

8.已知抛物线=2++与轴交于(5,0)两点，为抛物线的顶点，抛物线

的对称轴交轴于点，连接，且tanz=i,如图所示.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设是抛物线的对称轴上的一个动点.

①过点作轴的平行线交线段于点，过点作±交抛物线于点，连

接，，求A的面积的最大值；

②连接，求3+的最小值.

9.如图，已知二次函数的图象过点(0,0),(8,),与轴交于另一点，且对称轴是直线=

4

3

(1)求该二次函数的解析式；

⑵若是上的一点，作II交于，当△面积最大时，求的坐标；

⑶是轴上的点，过作_L轴与抛物线交于.过作_L轴于，当以

,,为顶点的三角形与以，,为顶点的三角形相似时，求点的坐标.

10.如图所示，二次函数=-2+2+的图象与轴的一个交点为(-1,0),另一个交点为

且与轴交于点

⑴求的值；求点的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上有一点，使+的值最小，求点的坐标；

(3)该二次函数图象上是否有一点()使A=A,求点的坐标.

11.已知抛物线=-2++的对称轴为直线=1,其图象与轴相交于，两点，与

轴相交于点(0,3)•

(1)求，的值；

(2)直线与轴相交于点.

①如图1,若II轴，且与线段及抛物线分别相交于点，，点关于直线=

1的对称点为点，求四边形面积的最大值；

②如图，若直线与线段相交于点，当△…时，求直线的表达式.

12.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，△是等腰直角三角形，N=90。，(2,).

(1)求点的坐标；

(2)求经过，，三点的抛物线的函数表达式；

(3)在()所求的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？若存在，求出点

的坐标；若不存在，请说明理由.

2

13.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4,顶点，分别在轴、轴的正

半轴上，抛物线=-L2++经过，两点，点为抛物线的顶点，连接，，

求此抛物线的解析式.

写出其图象是由二次函数y2的图象如何平移得到的？

(3)求四边形的面积.

14.已知抛物线=2+-3经过(-1,0),(3,0)两点，与轴交于点，直线与抛

物线交于，两点.

(1)写出点的坐标并求出此抛物线的解析式.

(2)当原点为线段的中点时，求的值及，两点的坐标.

(3)是否存在实数使得△的面积为更若存在，求出的值；若不存在，请说明理

由.

15.如图，抛物线=2++(,,为常数，30)经过点(-1,0),(5,-6),(6,0).

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图，在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大？若存在，请

求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)若点为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△为等腰三角形的点一共有几个？

并求出其中某一个点的坐标.

16.已知二次函数=2++-.

(1)求证：不论为何实数，此金数图象与轴总有两个交点.

(2)设<0,当此函数图象与轴的两个交点的距离为V13时，求出此二次函数的表达式.

(3)在()的条件下，若此二次函数图象与轴交于，两点，在函数图象上是否存在点

使得2A的面积为空?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

17.如图，已知抛物线2++6经过两点(-1,0),(3,0),是抛物线与轴的交点.

(2)点()在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△的面积为,求关

于的函数表达式(指出自变量的取值范围)和的最大值；

I

(3)点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得z=90。，

且A与△相似？如果存在，请求出点和点的坐标.

18.如图，二次函数=22++的图象交轴于两点，并经过点，已知点坐标

2

(3)该二次函数的对称轴交轴于点.连接，并延长交抛物线于点，连接，

,求A的面积.

(4)抛物线上有一个动点，与，两点构成A,是否存在.士；“?若存在，

请求出点的坐标；若不存在,请说明理由.

答案

一、选择题

1.霹】B

2.【修】C

二、填空题

3.【答案】m2

8+n

【解析】设圆的半径为米，框架围成的面积为

则矩形的一条边为2米，

另一条边为2（1-4-TI）米，

20x

=In2+1（1-4x-n）-2

*x20xx

=-（4+」）2+10

2

_8+n/10\2.50

-----（-）+，

2n+88+n

也就是最大透光面积为—m2.

故答案为：？m2.

8+n

4剽5(

，

(4),一+VT4S,（-vT45

月24

-2.-，）中，2当=，）时，=-,

，点的坐标为：（0-卜5

0

设点的纵坐标为，，5

右△=A，则II=/

解得=±.§

当=-5时，2-4-=-，解得=（舍去）或=4,此时点的坐标为（4,-）;

当=5时，2-4-=5,解得=+VI—,此时点的坐标为（2+VTT55）或

（2-个——5）;55_024._

综上，，点的坐标为（4,-）或（2+E5）或（2-E5）.

5,,

三、解答题

5.【答案】

（1）设抛物线解析式为=2++,

把，，

一+=0,

三点坐标代入可得：Q6+4+=0,

=-4.

-L

解得：｛--3,

——4

••・抛物线解析式为=2-3-4

(2)作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1,

.•・=，此时点即为满足条件的点，

(0,-4),

(0,-),

.•点2纵坐标为一,

代入抛物线解析式奇得：2-3-4=-,

解得：=3F7(小于0,舍去)或=

22

存在满足条件的点，其坐标为(号，-2).

⑶•・•点在抛物线上，

可设(,2-3-4),

过作-L轴于点，交直线于点，如图

2

.■(4,0),(0,-4),

•••直线解析式为=-4,

(,-4),

=(-4)-(2-3-4)=-2+4,

；.a=A+A

11

=-(2+4)X4

=-(-2)2+8

.♦.当=fe,A最大值为8,此时2-3-4=-6,

.•当点坐标为(2,-6)时，△的最大面积为8.

2

6.【答案】

(1)抛物线=2++8经过点(-2,),(4,0),

设抛物线的函数表达式为=(+)(以)，-8=8,=-1,

所以抛物线的函数表达式为=-2+2+8.

(2)作直线±轴于点，交于点，作±，垂足为

因为点的坐标为(-2,),

0

所以=2,

由=0得=6,

所以点的坐标为(0,8),

所以=8,

所以.=：•■=2x8=8,

所以.=6,

直线的函数表达式为=-2+8,

所以点的坐标为(，-2+8),

2

所以=-2+2+8-(-2+8)=-+4,

因为点的坐标为(4,),

所以=,0

△—4A+A

=I.+1.

22

=--(+)

2

1

二・

2•

=1(-2+4)X4

2

所以2(-2+4)=6',解得1=(舍)，2=，

所以的值为.13

⑶1(8,0),^(0,0),3“区0)，4(-皿0).

【解析】

(3)如下图所示，以为边或者以为对角线进行平行四边形的构图.

以为边进行构图，有种情况，采用构造全等进行求解.

因为点坐标为(3,),3

所以1,2的纵坐5标为5,

-2+2+8=5,解得1=-/2=(舍)，

可得2(-1，)，13

所以2(50,0),

所以3，4的纵坐标为-5时，-2+2+8=-5,

解得：1=-71-,2=+V14,

可得3(1+2/154-5),

所以3«亡。)，4(1-力-5),

所以4(-VT?0),>

以为对角，线进行构图，有种情况，采用中点坐标公式进行求解.

i(-L)1

所以51(8,0).1

7.【答案】

(1)由题知抛物线在轴上的交点为(L0)和(5,0).

设抛物线表达式为=(-1)(-5),

•••抛物线过(0,4),

•••(0-1)(0-5)=4,

解得=1.

5

・•・抛物线表达式为=1(-1)(-5),

即---2——+4,

55

对称轴为直线=m=3.

2

(2)存在，连接交对称轴于点，连接，

•••,关于对称轴对称，

++=++=+.

此时△的周长最小.

设直线的表达式为=「+，将(0,4),(5,0)代入可得

S—号+

=4,

解得｛=_士

即=-4'+4.

当=3时，=\x3+4=：,

•••点的坐标为(3,；).

(3)存在.

设(；2-£+4)(0<<5).

过点作II分别交轴和于点，，过点作的延长线于点，连

接

根据(2)中的表达式二一4■+，得(一:+4.

5)

.1.=--+_广2_*+4=±*2+4.

5%5)5，

411

-A-A+，A-2X,A=-X

"A=-X+

=2X()

=4x(—'2+4)x

25

=-22+10一

・•・当=5・时，△的面积最大，最大值为空.

22

此时+=](『—=-3,

•••此时点的重标为(：-3).4

8.【答案】

(1)根据题意可设抛物线的解析式为=+)一.

v是抛物线的对称轴，(X5)

又・•・(tan)=：，

.tanz=,RP2,

代入抛物线的解析式，得4=21412-，解得=-2..

44(15)

・••二次函数的解析式为=-、+)-'或=-12+3+徨.

9/999

(15)

⑵①设直线的解析式为=+,

1解得｛

T,

4

即直线的解析式为=-1+”，

33

>

设坐标为(，心+f)，则点坐标为(，一；2+,+：),

••.A的面积=gxX=?3(->+?_»

.•.当=7-时，△的面积最大，目最大值为三

22

②如图，连接.

根据图形的对称性可知z=z,==5.

3

•••smz=—=-，

5

过点作_L于，

则在Rt△PCG中，=sinz=J,

5

•••1,

5

再过点作1于点，则+>,

线段的长就是-+的最小值，

5

=2xx=1x6x=1.

△22

2

V7154

又,△=7XX--，

5sn24

225

•'I+的最小值为祖•一・

35

【答案】

(1)■■■抛物线过原点，对称轴是直线=3,

点坐标为6,

0

设抛物线解析式为()=-6,把8,代入得=,解得1

44

(}(}824

.•・抛物线解析式为=t-4,即2一3.

442

(2)设，易得直线(的)解析式为

1

2

设直线(附解析为=+,把6,,

=2

8,代入得｛g+=0解得｛

0+=,4=,一12

：・直线’的解析式为=2-1,()

II,2

•••设直线解析式为=2+，把（，0）代入得2+=0,解得-2

.­•直线的解析式为=2-2,解方程组｛

△-1，.22

△2+.2-)+,当时，

△22333

有最大值,此时点室标为（3,）.333

0

⑶设（-23-3），

42

VZ=Z

二当一=—时，△S△'即"=7

32_3

=2即-I:2_|=2||,解方程1=2得1=0（舍去），2=1

2'42

4

此时点坐标为（14,）；解方程[23=-2得1=0（舍去），=-2,此时点

422

0

坐标为（-2,0）；

二当一=一时，△S△，即一=_

48

313

22解方科12­;得1=0(舍去)，

222422

8

2_3.1点坐标为（4,）；

（舍去），解方程工得1=0（舍去），，此时

422

20

综上所述，点坐标为（14,）或（-2,0）或（4,）.4

00

10.【答案】

⑴把点（T）代入2+2+得

-2+

二次函数解析式为2+2+

3

令=0,解得1=2一

3

（3,）.3

（2）0据题意，连接,交抛物线对称轴与一点，点即为所求点.

（3,）,（0,）,

直线0的海析式为+

抛物线的对称轴为=,

与抛物线的对称轴而交点坐标为

所以直线(1，)，

12

即(1,).

⑶当2A一△时，点的纵坐标为土，

当一2+2+=时，=0（舍）或=23,

1(2,)

33

2

当-+2+3=—3时，=1+g或=1-V7r

:.2(1+J汇-3)/3(1--3).

12,,2(1+/7-3),3(1—yf7,—3).

3

()

11.【答案】

(1)由题意，得.

・3・

所以=,=3.

(2)①如图1,连接

2

因为点0,3关于直线=1的对称点为点，

由(1)者得)抛锄线的表达式为=-2+2+3,

令=0,解得1=-1,2=3,

所以一1,0,3,0.

设直线(弓表4式邛=+,

将3,0,0,3代入，得3+=0,

=3,

解得（）

,3,

所以直｛线的表达式为—+3.

设—2+2+3,+3,

所以（=-2+2,3彳2

3=v+3,

四边形的面积为

，+，

=，-2+3X

9

所以当=:时，四边形的面积最大，最大值为

2

②当△〜△时，

Z=Z，/.=Z.

所以II.

因为0,3,3,0,

所以（=）,（）

所以Z=Z=Z=4°,

所以乙=4.5

如图，过点作1交于点

所以Banz=tanz=

设=，则=3,:

因为=7―~A=3厂,

所以+3=3/，2

所以="，2

4

所以=^-xV---\

42

所以=2=3-+号

所以(r0)-

设直线的表达式为=-+，则—]+=0,

所以=-,

2

所以直线的表达式为=-+<

2

12.【答案】

(1)如图1,过作1轴于点，过作±轴于点

•••△为等腰三角形，

Z+乙=4+N=90°，

・•・Z.=Z，

在△和△中，

£=4

{4=Z

△AAS,

A1==i(=)=,

A2

⑵自呼物线过点，可设抛物线的解析式为=2+H0,

把，两侬标代入可得4喃｛Lt1

6

物｛'

；•经过，，三点的抛畿的解析式为一5七’.

66

⑶由题意可知点在线段的下方，过作11轴交于点，如图

设直线的解析式为=

)

(2,1),

=一1，

2

直线的解析式为-

57

贝

点

坐为

标

设O2H

--<<J

66

5

-

6

,V

66

由题意可得==厂，

1.二95

，.△22

四边形+A

———5I/-…_L-T.-5f.—5

6'762

=-/(-1)2+半

63

0,

6

，当=1时，四边形的面积最大，此时点坐标为(L-g).

综上，存在使四边形面积最大的点，其坐标为(L-9.

13.【答案】

(1)由已知得(0,4),(4,4),

把，两点的坐标代入=2++,

得(*\-电解得‘彳

该抛物线的解析式为=-32+2+4.

(2)抛物线的解析式为=-/+2+4=-1(-2尸+,

16

该图象是由二次函数=-j2的图象向上平移个单位长度，向右平移2个单位长度得

到的.(合理即可)6

(3)由(2)可知，抛物线顶点的坐标为(2,),

6

+

四边形11

=-X4X4+X4X

22-

-8+4

2

=12

14.【答案】

(1)令抛物线=2+-3中=0,则=-3,

.­•点的坐标为(0,-3).

抛物线=2+-3经过(-1,),(3,0)两点，

・•有仁一二3,解得：｛久

此抛物线的解析式为=2-2J3.

(2)将=代入二2一2-3中得：=2-2-3,

整理得：2-(+)-3=0,

+=+,=-3.

V原点为蜃段的中点，

2

+=+=0;

解得：二-.

2

当二-2时，2-(+)-3=2-3=0,

解得：2=_戌-五.

=-2=vr,=-2=-V3.

故当原点为线男的中点时，2的值为-,点的坐标为(-V3,再)，点的坐标为

2

(V3?-历.?

⑶2假设存在.

由()知：+=+,,=-3,

△2=/'।"2।

=2x3xV(+)2-4

3VTO

2，

(+)2-4X(-3)=1，即(+产+=0.

(2+)2非负，无解.022

故假设不成立.

2_

不存在实数使得△的面积为呼'

15.【答案】

Q)设=(+)(-6)(+0),

把(5,-6)代入,(5+)(5-6)=-6,

=(+)(-6)=2-5-6.

(2)存在，

如图1,连接，，分别过，向轴作垂线和，垂足分别为

设(，2-5-6),四边形的面积为，

贝1]=-2+5+6,=+1,=5-,=6-5=1,=6,

,•+梯形+“

=1(-2+5+6)(+1)+](6-2+5+6)(5-)+JX1X6

222

=-32+12+36

=-3(-)2+48,

当=时，,有最大值为48,这时2-5-6=2-5x-6=-1,

(2-1).222

⑶这，融点一共有5个.连接3，3，

=2-5-6=(_2)2-竺；

24

因为3在对称轴上，

所以设3(j)，

・33是等腰三角形，且3=3，

由勾股定理得：f5+1)+2=p-5)+(+6)2,

22

2

16.【答案】

(1)因为=2-4(-)=(-)2+4>0,所以不论为何实数,此函数图象与轴总

有两个交点.22

⑵设1，2是2++-=0的两个根，

贝！I1+2=-，1-2=-2

因为此函数图象与轴的两个裁的距离是V1T,

a

所以I1-2I=1—9)=V13•

即(1-2)2=13,

变形为(1+2产-4r2=13,

所以(-)2-4(-)=13.

整理，得(-5)(+1)=0,

2

解得=5或=-1.

又<0,所以=-1.

所以此二次函数的表达式为=2--3.

(3)设点的坐标为(°,°),

因为函数图象与轴的两个交点间的距离等于V13,

所以=V13.

所以△=।,I0l=

013VlT

所以回=r

22

即I0I二，则0二士.

当。二时，A。3一二，即(。一)(。+)二,

解得o=3或

,32ao33320

当0二一2时，6-0-二-，即0(0-)=,

3

解得。工或•3I。

综上所述，了在平样的点，点的坐标是(-2,)z(3,),(0-)或(1-).

17.【答案】

(1)将(-1,),(3,)代入=2++6,

得：丁+打：：：解得：｛二2

••・抛物线的解析式为'=-22+4+6.

⑵过点作11轴，交于点，如图所示•

当=时，=-22+4+6=6,一

，点n的坐标为(0,).

设直线的解析式6为=+,

将(3,),(0,)代入=+,

0_6

得：「工二°解导：｛=-2

=6〃

直线的解析式为=-2+6.

设点的坐标为(，-22+4+6),则点的坐标为(-2+6),

2

=-2+4+6-(-2+6)=-22+6,

2

=>1.=-32+9=-(一3)-7,

2324

..当=2时，A面积取最大值，最大值为-7.

24

•・•点