湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2023年数学高二下期末达标测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.非一线城市一线城市总计愿生452065不愿生132235总计5842100附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828由算得，，参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”2．中，若，则该三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形3．已知，并且，则方差（）A．B．C．D．4．独立性检验中,假设:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下,计算得的观测值.下列结论正确的是（）附：1．111.151.1111.1152.7163.8416.6357.879A．在犯错误的概率不超过1.11的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关B．在犯错误的概率不超过1.11的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关C．在犯错误的概率不超过1.115的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关D．在犯错误的概率不超过1.115的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关5．已知命题，则命题的否定为（）A． B．C． D．6．经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则等于A． B． C． D．7．如图是“向量的线性运算”知识结构，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在（）A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位B．“向量的加减法”中“运算律”的下位C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位D．“向量的数乘”中“运算律”的下位8．双曲线与双曲线有相同的（）A．顶点 B．焦点 C．渐近线 D．离心率9．某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有()种A．60 B．90 C．120 D．15010．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌又会跳舞，现从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的，去参加文艺演出，求所有不同的选法种数为()A．18 B．15 C．16 D．2511．下列选项中，说法正确的是（）A．命题“”的否定是“”B．命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件C．命题“若，则”是假命题D．命题“在中，若,则”的逆否命题为真命题12．（）A．5 B． C．6 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，对任意，都有，则____________14．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________15．若存在过点1,0的直线与曲线y=x3和y=ax2+16．如图所示，阴影部分为曲线与轴围成的图形，在圆：内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为___．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证：函数和在公共定义域内，恒成立；（3）若存在两个不同的实数，，满足，求证：．18．（12分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为，求的数学期望.19．（12分）已知数列满足，，.（1）求，，；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由.20．（12分）以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”，设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.（1）求椭圆及其“准圆"的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于、两点，当时，试求直线交“准圆”所得的弦长；（3）射线与椭圆的“准圆”交于点，若过点的直线，与椭圆都只有一个公共点，且与椭圆的“准圆”分别交于，两点，试问弦是否为”准圆”的直径?若是，请给出证明：若不是，请说明理由.21．（12分）已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，且对任意,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．22．（10分）如图，,是经过小城的东西方向与南北方向的两条公路，小城位于小城的东北方向，直线距离.现规划经过小城修建公路(,分别在与上)，与,围成三角形区域.(1)设，,求三角形区域周长的函数解析式;(2)现计划开发周长最短的三角形区域，求该开发区域的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】K2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，本题选择C选项.点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．2、D【解析】

利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故选：D【点睛】本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.3、A【解析】试题分析：由得考点：随机变量的期望4、A【解析】

根据临界值表找到犯错误的概率，即可对各选项结论的正误进行判断．【详解】，因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选A．【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，解题的关键就是利用临界值表找出犯错误的概率，考查分析能力，属于基础题．5、A【解析】

根据全称命题的否定为特称命题，即可直接得出结果.【详解】因为命题，所以命题的否定为：故选A【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.6、C【解析】

椭圆化标准方程为，求得，设直线方程为，代入椭圆方程，求得交点坐标，由向量坐标运算求得．【详解】椭圆方程为，，取一个焦点,则直线方程为，代入椭圆方程得，，所以，选C.【点睛】本题综合考查直线与椭圆相交问题，及向量坐标运算，由于本题坐标好求所以直接求坐标，代入向量坐标运算．一般如果不好求坐标点，都是用韦达定理设而不求．7、A【解析】

由“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，由此易得出正确选项．【详解】因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．故选A．【点睛】本题考查知识结构图，向量的加减法的运算法则，知识结构图比较直观地描述了知识之间的关联，解题的关键是理解知识结构图的作用及知识之间的上下位关系．8、C【解析】

根据选项分别写出两个双曲线的几何性质，比较后得到答案.【详解】的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率是；的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率，比较后可知只有渐近线方程一样.故选C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，属于简单题型.9、D【解析】分析：由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知，5人的安排方案为或，结合平均分组计算公式可知，方案为时的方法有种，方案为时的方法有种，结合加法公式可知安排方法共有种.本题选择D选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．10、B【解析】名会唱歌的从中选出两个有种,名会跳舞的选出名有种选法,但其中一名既会唱歌又会跳舞的有一个,两组不能同时用他,共有种，故选B.11、C【解析】对于A，命题“”的否定是“”，故错误；对于B，命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若，则”在时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在中，若，则或”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选C.12、A【解析】

由题，先根据复数的四则运算直接求出结果即可【详解】由题故选A【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、－20【解析】分析：令，知，，从而可得，进而可得结果.详解：令，知，，，，，，故答案为.点睛：本题主要考查赋值法求函数的解析式，令，求出的值，从而求出函数解析式，是解题的关键，属于中档题.14、【解析】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为的坐标为，所以,所以.15、-1或-【解析】分析：先求出过点1,0和y=x2详解：设直线与曲线y=x2的切点坐标为则函数的导数为f'x则切线斜率k=3x则切线方程为y-x∵切线过点1,0，∴-x即2x解得x0=0或①若x0=0，此时切线的方程为此时直线与y=ax2即ax则Δ=1542②若x0=32代入y=ax2+消去y可得ax又由Δ=0，即9+4×9解可得a=-1，故a=-1或a=-2564，故答案为-1或点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点Ax0,fx0求斜率k,即求该点处的导数k=f'x0；(2)己知斜率k求切点Ax1,fx1,即解方程16、【解析】分析：由题求出圆的面积，根据定积分求出曲线与轴围成的图形的面积，利用几何概型求出概率.详解：由题圆：的面积为曲线与轴围成的图形的面积为故该点取自阴影部分的概率为.即答案为.点睛：本题考查几何概型，考查利用定积分求面积，是缁.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）增区间为,减区间为；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）构造函数，对函数求导，得到得到导函数的正负，进而得到单调区间和极值；（2）构造函数,对函数和求导研究函数的单调性进而得到函数的最值，使得最小值大于2即可；（3）要证原式只需要证，故得到即证：，变量集中设即可,转化为关于t的不等式.详解：(1)函数的定义域为,,故当时,,当时,,故函数的单调增区间为,单调减区间为;(2)证明:函数和的公共定义域为,,设,则在上单调递增,故;设,当时有极大值点,;故;故函数和在公共定义域内,.(3)证明:不妨设,由题意得,,;所以;而要证,只需证明;即证明;即证明;即证明,;令,则;即证明;设;则,故函数在区间上是增函数,所以,即;所以不等式成立.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.18、【解析】

的可能值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】的可能值为，则；；.故分布列为：故.【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.19、(1)，，.(2)是首项为，公比为的等比数列；理由见解析.【解析】分析：（1）先根据递推关系式求，，；，再求，，；（2）根据等比数列定义证明为等比数列.详解：(1）由条件可得：，将代入，得，而，∴，将代入，得，∴，∴，，.（2）是首项为2，公比为3的等比数列.由条件可得：，即，又，∴是首项为2，公比为3的等比数列.点睛：证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.等比数列的判定方法20、（1）；（2）；（3）是准圆的直径，具体见解析【解析】

（1）根据所给条件可知，，根据面积公式可知，最后解方程组求解椭圆方程；（2）设直线为，与椭圆方程联立，，表示根与系数的关系，并且代入的数量积的坐标表示，求，最后代入直线和圆相交的弦长公式；（3）首先求点的坐标，当直线与椭圆有一个交点时，，得到，可知，可知两条切线互相垂直，根据圆的性质可得答案.【详解】（1），，，，准圆.（2），设：，，，，，即，圆心与该直线距离，弦长.（3），整理为：因为直线与圆只有1个交点，整理为：椭圆切线与垂直，即，在准圆上，，也在准圆上，，是准圆的直径【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21、(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得，分类讨论有：当时，函数没有极值点，当时，函数有一个极值点．（2）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是；（3）原问题等价于，继而证明函数在区间内单调递增即可.试题解析：（1），当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（2）∵函数在处取得极值，∴，∴，令，，可得在上递减，在上递增，∴，即．（3）证明：，令