复变函数泰勒级数

复变函数泰勒级数1第1页，课件共34页，创作于2023年2月一、问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点如图:.K.2第2页，课件共34页，创作于2023年2月由柯西积分公式,有其中K取正方向.则3第3页，课件共34页，创作于2023年2月4第4页，课件共34页，创作于2023年2月由高阶导数公式,上式又可写成其中可知在K内5第5页，课件共34页，创作于2023年2月令则在K上连续,6第6页，课件共34页，创作于2023年2月即存在一个正常数M,7第7页，课件共34页，创作于2023年2月在内成立,从而在K内圆周的半径可以任意增大,只要内成立.在的泰勒展开式,在泰勒级数8第8页，课件共34页，创作于2023年2月如果到的边界上各点的最短距离为那末在的泰勒展开式在内成立．因为凡满足的必能使由上讨论得重要定理——泰勒展开定理在的泰勒级数的收敛半径至少等于，但9第9页，课件共34页，创作于2023年2月二、泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为

内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当泰勒介绍10第10页，课件共34页，创作于2023年2月说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?)4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.(为什么?)11第11页，课件共34页，创作于2023年2月因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.注意问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？12第12页，课件共34页，创作于2023年2月那末即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.13第13页，课件共34页，创作于2023年2月三、将函数展开成泰勒级数常用方法:

直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数14第14页，课件共34页，创作于2023年2月例如，故有15第15页，课件共34页，创作于2023年2月仿照上例,16第16页，课件共34页，创作于2023年2月2.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.17第17页，课件共34页，创作于2023年2月例如，18第18页，课件共34页，创作于2023年2月附:常见函数的泰勒展开式19第19页，课件共34页，创作于2023年2月20第20页，课件共34页，创作于2023年2月例1解四、典型例题21第21页，课件共34页，创作于2023年2月上式两边逐项求导,22第22页，课件共34页，创作于2023年2月例2分析如图,23第23页，课件共34页，创作于2023年2月即将展开式两端沿C逐项积分,得解24第24页，课件共34页，创作于2023年2月例3

解25第25页，课件共34页，创作于2023年2月例4解26第26页，课件共34页，创作于2023年2月例5解27第27页，课件共34页，创作于2023年2月例6解即微分方程对微分方程逐次求导得:28第28页，课件共34页，创作于2023年2月29第29页，课件共34页，创作于2023年2月五、小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.30第30页，课件共34页，创作于2023年2月奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题31第31页，课件共34页，创作于2023年2月奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.思考题答案放映结束，按Esc退出.32第32页，课件共34页，创作于2023年2月泰勒资料Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,England

Died:29Dec1731inSomersetHouse,Londo