多体问题和近似方法

多体问题和近似方法第1页，课件共32页，创作于2023年2月$4-1二体问题和多体问题一、二体问题1、什么是二体问题：研究的体系含二个粒子。2、两粒子体系的定态薛定谔方程为（1）第2页，课件共32页，创作于2023年2月3、质心坐标和相对坐标。设：第一个粒子的质量为m1，坐标为第二个粒子的质量为m2，坐标为(坐标系略)第3页，课件共32页，创作于2023年2月根据质心坐标定义：分量表示为（2）质心坐标为：第4页，课件共32页，创作于2023年2月所以分量（3）引入相对坐标

定义：第5页，课件共32页，创作于2023年2月其中转换坐标和到和（从（2）和（3）出发）第6页，课件共32页，创作于2023年2月同理且对称。同理有第7页，课件共32页，创作于2023年2月

（4）（5）第8页，课件共32页，创作于2023年2月（4）和（5）式代入（1）有（6）（7）方程（7）可以用变量分离求解第9页，课件共32页，创作于2023年2月

(8)(8)代入（7）并乘以（9）从（9）式即得：（10）平动第10页，课件共32页，创作于2023年2月（11）相对运动二多体问题1、什么是多体？两个以上质点的体系。数学上无准确解。2、多体体系的波函数。第11页，课件共32页，创作于2023年2月3、的意义：在时刻t，第一个粒子在q1，第一个粒子在q2，…，第n个粒子在qn的几率。4、多体体系的薛定谔方程5、由于数学上无法对多体体系的薛定谔方程进行求，必须引出用近似方法进行解决问题。（在下一节将作详细介绍）第12页，课件共32页，创作于2023年2月$4-2全同性原理一全同粒子和全同粒子体系1、全同粒子：质量、电荷、自旋等一切固有性质都相同的粒子。2、全同粒子体系：多个全同粒子构成的体系。二全同粒子体系哈密顿算符的特点1、交换算符（）第13页，课件共32页，创作于2023年2月2、全同粒子体系的哈密顿算符在的作用下不变

3、和之间的数学关系（对易）(全同粒子体系的哈密顿算符对于任何一对粒子的坐标互换是不变的)第14页，课件共32页，创作于2023年2月三全同粒子体系波函数的特点1、和都是体系的可能状态用作用二边结论得证。（为什么？）第15页，课件共32页，创作于2023年2月2、全同性原理：全同粒子体系粒子的任意两粒子的互换对换不改变体系的状态。即：和表示同一态。四、对称波函数和反对称波函数因为（1）那么：取值如何？用作用（1）式两边（2）第16页，课件共32页，创作于2023年2月

对称波函数

反对称波函数五Pauli原理微观粒子：玻色子自旋量子数为整数对称波函数费米子自旋量子数为半整数反对称波函数第17页，课件共32页，创作于2023年2月六、Slater行列式在单电子模型下，N个电子的波函数用一个行列式表示。第18页，课件共32页，创作于2023年2月七、有关slater行列式的计算。（一）H2的矩阵元计算。1、Hamiltonian第19页，课件共32页，创作于2023年2月2、计算能量。可分别计算：上式可见，四项中，后两项为零。（正交性）第20页，课件共32页，创作于2023年2月同理，第21页，课件共32页，创作于2023年2月因为第22页，课件共32页，创作于2023年2月以自旋轨道：以空间轨道：计算的一般推导库仑积分交换积分第23页，课件共32页，创作于2023年2月$4-3定态微扰理论微扰理论的基本思想1、基本思想（1）真实体系

（1）（2）微扰思想（2）分为二部分且例第24页，课件共32页，创作于2023年2月（3）可以求解（已知）（4）从出发结合（微扰项）近似的得到和2、基本数学关系式。（零级）（7-1）（一级）（7-2）（二级）（7-3）第25页，课件共32页，创作于2023年2月二非简并情况下的微扰理论。（即E’为非简并的）1）零级微扰2）一级微扰第26页，课件共32页，创作于2023年2月3)二级微扰能量计算例子见WORD文档4第27页，课件共32页，创作于2023年2月三、简并情况下的微扰理论第28页，课件共32页，创作于2023年2月计算例子见WORD文档4第29页，课件共32页，创作于2023年2月$4-5变分法变分原理给定一个体系的哈密顿算符，如果是任意一个合格条件的函数，则有（E0为基态能量，未归一化）

或（归一化）

第30页，课件共32页，创作于2023年2月二变分原理的证明设体系的解为