2022-2023学年河北省承德市重点高中高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年河北省承德市重点高中高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若复数z满足z(1+i)=A.1 B.−2 C.−2i2.下列说法中不正确的是(

)A.零向量与任一向量平行 B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.单位向量是模为1的向量 D.方向相反的两个非零向量必不相等3.在△ABC中，若AB=3，BCA.−16 B.16 C.9 D.4.若α∈(0,π2)，A.26+16 B.25.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=30，b=A.无解 B.有两解 C.有一解 D.有无数解6.已知△ABC的三边长分别为a，a+3，a+A.23 B.34 C.457.已知点O是△ABC所在平面内一点，若非零向量AO与向量(A.∠OAB=∠OAC 8.将函数y=sin2x+3cos2xA.(π8,3π8) B.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.若复数z为纯虚数，则(

)A.z+z−为实数 B.z−z−为实数 C.10.已知函数f(x)=|tA.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)在(kπ,kπ11.已知非零向量a，b满足|a−4bA.若a，b共线，则|a|+4|b|=2

B.若a⊥b12.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA.c−a=acosC 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算：|3+i114.已知|a|=3，向量b在a上的投影向量为−23a15.已知某扇形材料的面积为3π2，圆心角为π3，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为______16.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为△ABC的重心，OB⊥O四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知虚数z满足|z|=5．

(1)求证：z+5iz在复平面内对应的点在直线y=x上；18.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(19.(本小题12.0分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(b−2c,a),n=(cosA,cosB20.(本小题12.0分)

已知向量a，b满足|a|=2，(a−2b)⋅(a+2b)=−21.(本小题12.0分)

2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/22.(本小题12.0分)

已知圆O的半径为2，圆O与正△ABC的各边相切，动点Q在圆O上，点P满足AO+AQ=2AP．

(1)求PA2答案和解析1.【答案】B

【解析】解：z=3−i1+i=(3−i)(1−2.【答案】B

【解析】解：零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行是正确的；

根据共线向量的定义知，方向相反的两个非零向量一定共线，B错误；

根据单位向量的定义知C正确；

根据相等向量的定义知，方向相反的两个非零向量一定不相等，D正确．

故选：B．

根据零向量的定义可判断A正确；根据共线向量的定义可判断B错误；根据单位向量的定义可判断C正确；根据相等向量的定义可判断D正确．

本题考查了共线向量、零向量和单位向量的定义，相等向量的定义，属于基础题．

3.【答案】B

【解析】解：由AB=3，BC=4，AC=5，

则AB2+BC2=AC4.【答案】D

【解析】解：∵α∈(0,π2)，∴α−π3∈(−π3,π6)，

∵5.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，由正弦定理有asinA=bsinB，sinB=bsinAa，sinB=56sin6.【答案】B

【解析】解：设角A，B，C所对的边分别为a，a+3，a+6，则A为最小角，C为最大角，

∴C=2A，

由正弦定理可得，asinA=a+6sinC=a+6sin2A，

∴asin2A=(a+6)sinA，

即2asinA7.【答案】D

【解析】解：∵(AB|AB|cosB+AC|AC|cosC)⋅BC=AB⋅BC|AB8.【答案】C

【解析】解：由y=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3)，

将函数y=2sin(2x+π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度后得到f(x)的图象，

则f(x)=2sin[2(9.【答案】AC【解析】解：因为z为纯虚数，设z=mi(m∈R且m≠0)，则z−=−mi，

由z+z−=0，所以A正确；

由z−z−=2mi，所以B错误；10.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是中档题．

去绝对值得到解析式，画出函数f(【解答】解：因为函数f(x)=|tanx|=tanx,x∈[kπ,kπ+π2),k∈Z−tanx,x∈(kπ−π2,kπ

11.【答案】BD【解析】解：对于A，由4=|a−4b|2=a2−8a⋅b+16b2，4=(|a|+4|b|)2=|a|2+8|a|⋅|b|+16|b|2，

所以当a，b同向时，−8a⋅b=−8|a|⋅|b|，此时|a|+412.【答案】AC【解析】解：由正弦边角关系知：(a+b)2=(2b+c)c，则a2+2ab+b2=2bc+c2，

所以a2+b2−c2=2b(c−a)，而cosC=a2+b2−c22ab13.【答案】5【解析】解：由3+i1−i=(3+i)(1+14.【答案】−6【解析】解：设向量a,b的夹角为θ，

∵向量b在a方向上的投影向量为−23a，

则|b|⋅cosθ⋅a|a|=−15.【答案】2π【解析】解：设扇形所在圆半径为r，

∵扇形的面积为3π2，圆心角为π3，

∴12⋅π3r2=3π2，解得r=3，

设割出的圆半径为a，圆心为C，如图所示，

则|CO|=asinπ6=16.【答案】56【解析】解：连接AO，延长AO交BC于D，如图所示：

∵O为△ABC的重心，

∴D为BC的中点，

又OB⊥OC，

则OD=BD=CD=12a，AD=32a，

∵∠AD17.【答案】证明：(1)设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，由|z|=5，则zz−=5，

所以z+5iz=z+z−i=a+bi+(a−bi)i=(a+b)+【解析】(1)由题设可得z+5iz=z+18.【答案】解：(1)由图象知，A=2，T4=2，

∴T=8=2πω，解得ω=π4，

∴f(x)=2sin(π4x+φ)．

∵f(−1)=2，

∴π4×(−1)+φ=π2+2kπ,k【解析】(1)由图象知，A=2，T=8，由T=2πω，求得ω的值，再代入点(−1,19.【答案】解：(1)因为m⊥n，所以(b−2c)cosA+acosB=0，

即2ccosA=acosB+bcosA．

由正弦定理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA，【解析】(1)由m⊥n，可得2ccosA=acosB+bcosA，后由正弦定理结合sin(A+B)=20.【答案】解：(1)因为(a−2b)⋅(a+2b)=−12，所以|a|2−4|b|2=−12，

因为|a|=2，所以4【解析】(1)由(a−2b)⋅(a+21.【答案】解：(1)在△ABC中，

∵cosA=1213,cosC=35，

∴sinA=513,sinC=45，

则sinB=sin[π−(