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文档简介
计算方法第四章 插值方法计算方法课程组华中科技大学数学与统计学院§4
插值方法§4.1多项式插值问题的一般提法§4.2
拉格朗日(Lagrange)插值§4.3
差商与差分及其性质§4.4牛顿插值公式§4.5
分段插值法§4.6曲线拟合的最小二乘法§4.0
引言插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重要数值方法,它是用简单函数(特别是多项式或分段多项式)为各种离散数组建立连续模型；为各种非有理函数提供好的逼近方法。众所周知，反映自然规律的数量关系的函数有三种表示方法：f
(x)
=
x3
-
2x
-
5x
=
y
-
esin
y解析表达式图象法表格法§4.0
引言许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数数据表格)，可是，从一个只提供离散的函数值去进行理论分析和进行设计，是极不方便的,甚至是不可能的。因此需要设法去寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函数(或近似函数)。另外一种情况是，函数表达式完全给定，但其形式不适宜
计算机使用，因为计算机只能执行算术和逻辑操作，因此
涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法
等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。§4.1多项式插值问题的一般提法当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点x0
…xn
处测得函数值y0
=f
(x0),…,
yn
=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数p(x)
»
f(x)，满足条件:
p(xi)
=
f(xi) (i=0,…n)。这里的
p(x)
称为f(x)
的插值函数。最常用的插值函数是…?代数多项式、三角多项式、有理分式…插值函数p(x)作为f(x)的近似，可以选自不同类型的函数,如p(x)为代数多项式、三角多项式、有理分式；其函数性态可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其中，代数多项式类的插值函数占有重要地位：结构简单、计算机容易处理、任何多项式的导数和积分也易确定，并且仍是多项式。著名的Weierstrass逼近定理(定义在闭区间上的任何连续函数f(x),存在代数多项式p(x)一致逼近f(x),并达到所要求的精度)。因此，我们主要考虑代数多项式的插值问题。x0
,x1,…,
xn
插值节点,函数P(x)称为函数y=f(x)的插值函数，区间[a,b]称为插值区间。例题:
已知函数
f(x)
有如下数据:求f(x)的插值多项式p(x)，并求f(x)在x=0.5
处的近似值。插值的几何意义从几何上看，插值就是求一条曲线使其通过给定的并且与已知曲线n
个+1点(，xi
,
yi
)y
=
P(x)(i
=
0,1,,
n)y
=有f(一x)定的近似度。xyy
=p(x)0
a=x0
x1x2
x3xn=b•(xi,
yi)y
=
f
(x)曲线P
(x)近似f
(x)插值方法的研究问题满足插值条件的P
(x)是否存在唯一？若满足插值条件的P
(x)存在，如何构造P
(x)？如何估计用P
(x)近似替代f
(x)产生的误差？xyy
=p(x)0
a=x0
x1x2
x3xn=b•(xi,
yi)y
=
f
(x)曲线P
(x)近似f
(x)求n
次多项式使得:nPn
(
x)
=
a0
+
a1
x
+
+
an
xx
i
„
x
j条件：无重合节点，即i
„j§4.2
拉格朗日多项式/*
Lagrange
Polynomial
*/根据插值条件，有：nn
nn+
a
x
+
+
a x
n
=
y1
n01+
a
x
+
+
a x
n
=
y1
1
n
11
000
0
1
0
n
0
P
(
x
)
=
a
P
(
x
)
=
a
P
(
x
)
=
a
+
a
x
+
+
a x
n
=
y其系数矩阵的行列式为nnxnxnxn1x1x1x1100Vn
(
x0
,
x1
,,
xn
)
=pn
(
xi
)
=
yi
,
i
=
0,1,
,
nVandermonde行列式0£
j
<i£nVn
(x0
,
x1,,
xn
)
=
(xi
-
xj
)
„
0a
0
,
a
1
,
a
n注意到插值节点
xi
(i
=1,2,,
n)
两两相异，而故方程组(1)有惟一解于是满足插值条件的多项式存在且惟一。x0
,
x1
,,
xnP
(x)
=
a
+
a
x
++
a
xnn
0
1
nPn
(
xi
)
=
yi由n+1个不同插值节点满足插值条件(唯一性)
可以惟一确定一个n次多项式Returnn
=
1()x
=
a
0+
a1
x
使得已知
x0
,
x1
;
y0
,
y1
，求
L1L1
(
x00
)
=
y00
,
L1
(
x11
)
=
y11可见L1(x)是过(x0
,y0
)和(x1,y1
)两点的直线。l0(x)§4.2
拉格朗日多项式/*
Lagrange
Polynomial
*/线性插值基函数1.
构造线性插值基函数的方法:li
(x)
yi1100001010y
=x1
-
x0l1(x)x
-
xy
+x0
-
x1=
x
-
x1(x
-
x
)x
-
xy
-
yL1
(x)
=
y
+i
=0线性插值与其基函数示意图xyy
=
y1l1
(x)x0x1OL1
(x)
=
y0l0
(x)
+
y1l1
(x)y
=
y0l0
(x)x1xyy0y1y
=
f
(x)1y
=
L
(x)O
x0三点的一条抛物线。1
1(x
,
y
)(x2,
y2)n
=2
已知，
L2
(x)使得2
112
22()()()L2
x0
=
y0
L
x=
yL
x
=
y)((,)L
x
x
y显然,
2是过
、0
0
、x0
,x1,x2y
,y
,,求y0
1
21
1(x
,
y
)(x2,
y2)n
=2
已知x0
,x1,x2y
,y
,,求y0
1
2，
L2
(x)使得2
112
22()()()L2
x0
=
y0
L
x=
yL
x
=
y仿照线性插值基函数的构造方法，令
2
1
0(
x2
-
x0
)(
x2
-
x1
)l
(
x)
=(
x1
-
x0
)(
x1
-
x2
)(
x
-
x0
)(
x
-
x1
)(
x
-
x0
)(
x
-
x2
)l
(
x)
=(
x0
-
x1
)(
x0
-
x2
)(
x
-
x1
)(
x
-
x2
)l
(
x)
=抛物线基函数2)(L
x称其为抛物线插值基函数(如上右图所示)。)((,)L
x
x
y显然,
2是过
、0
0
、 三点的一条抛物线。
2
1
0(
x2
-
x0
)(
x2
-
x1
)l
(
x)
=(
x1
-
x0
)(
x1
-
x2
)(
x
-
x0
)(
x
-
x1
)(
x
-
x0
)(
x
-
x2
)l
(
x)
=(
x0
-
x1
)(
x0
-
x2
)(
x
-
x1
)(
x
-
x2
)l
(
x)
=抛物线插值基函数于是抛物线基函数20122(())(())(()))((())(())(()))(yx
-
x0x
-
x2x
-
x0x
-
x1x
-
x1
x
-
x2L
x
=y
+y
+x0
-
x1
x0
-
x2x1
-
x0x1
-
x2x2
-
x0x2
-
x1=
å
li
x
yii=0希望找到
li
(x)，i
=
0,
…,
n
使得
li
(xj)
=
dij
；然后令一般情形lk
(
x)
=(xk
-
x0
)(xk
-
xk-1
)
(xk
-
xk+1
)(xk
-
xn
)，
k
=
0,
1
,⋯,
n
.k
=
0,
1
,⋯,
n
.1A
=(xk
-
x0
)(xk
-
xk
-1)
(xk
-
xk
+1)(xk
-
xn
)(x
-
x0
)(
x
-
xk-1)(x
-
xk+1
)(x
-
xn
)每个
li
有
n
个根
x0
,…
xi
,…
xn令lk
(x)=A(x
-x0
)(x
-xk-1)(x
-xk+1
)(x
-xn
),由lk
(xk
)得=1,:nk
=
0Ln
(
x）=
f
(x
k
)l
k
(x
)，则显然有Pn(xi)=yi
。nLn
(
x）=
k
=
0f
(
x
k
)
l
k
(
x
)（Lagrange）插值多项式nLn
(
x）=
f
(
xk
)
l
k
(
x)k
=0设
y
=
f
(
x)
函数表
(xi
,
f
(xi))(i
=0,
1,...,
n)
(xi
„
xj
,
i
„
j),则满足插值条件的多项式Ln
(xi
)=f
(xi
)，(i
=0,1...n)nkj
=
0j
„
k
x
-
x
j
其中,
l
k
(
x
)
=(
k
=
0
,
1,
...n
)
.x
-
x
j先求插值基函数.构造插值多项式.以下的问题：如何分析插值的余项？构造插值多项式的方法：x-1012f
(x)-2-212已知连续函数f
(x)的函数表如下：求方程f
(x)=0
在(-1,2)内的近似根。例题取初值x=0.5，利用牛顿法求解可得f(x)在(-1,2)内的近似根为0.67433。-5x3
+9x2
+14x
-12
=0x-1012f(x)-2-212已知连续函数f
(x)的函数表如下：求方程f(x)=0在(-1,2)内的近似根。解：利用Lagrange插值法有例题3(()()(()()))()()(()()())(()())(())(())()(()())L
x
=-
2
+x
-
0
x
-
1
x
-
2
x
+
1
x
-
1
x
-
2
-
2-
1
-
0 -
1
-
1 -
1
-
2 0
+
1 0
-
1 0
-
2+?2x
+
1
x
x
-
2
?1
x+
1
x
x
-
12
?1
1 2
+
1 2
-
0 2
-
16[]=
1
-5x3
+9x2
+14x
-
12
解方程,Lagrange插值法插值余项设节点
，且
f
满足条件f
(n
+1)在[a
,b]内存在,考察截断误差:Rn
(
x)
=
f
(
x)
-
Ln
(
x)nf˛
C
[a,b]a
£
x
<
x
<<
x
£b0
1
nLagrange插值法的插值余项,设节点
，且
f
满足条件nf˛
C
[a,b]a
£
x0
<
x1
<<
xn
£bf
(n
+1)在[a
,b]内存在,截断误差(或插值余项):f
(
n
+1)
(x
)Rn
(
x
)
=
f
(
x
)
-
Ln
(
x
)
=w
n
+1
(
x
)(
n
+
1)!,
x
˛
(a,
b)Lagrange插值法的插值余项,设节点
，且
f
满足条件nf˛
C
[a,b]a
£
x0
<
x1
<<
xn
£bf
(n
+1)在[a
,b]内存在,截断误差(或插值余项):f
(
n
+1)
(x
)Rn
(
x
)
=
f
(
x
)
-
Ln
(
x
)
=w
n
+1
(
x
)(
n
+
1)!,
x
˛
(a,
b)证明：由已知条件得到：Rn
(xk)
=
0,
k
=
0,1,,
n于是有：Rn
(x)
=k(x)(x
-x0
)(x
-x1)(x
-xn
)
=k(x)wn+1(x)其中k
(
x
)
是与
x
有关的待定函数。任意固定
x
„
xi
(i
=
0,
…,n),
考察j(t)
=
f
(t)
-
Ln
(t)
-
k
(x)(t
-
x0
)(t
-
x1
)(t
-
xn
)根据插值条件及余项定义，可知j
(t)
在点
x0
,
x1
,,
xn
,
x
处均为零，故
j
(t)
在
[a,
b]
上有n+2个个零点，根据
Roll
定理j¢(t)在j
(t)的每两个零点间至少有一个零点，故j¢(t)在
[a
,
b
]
内至少有
一
个零点，对
j¢(t)再用Roll
定理，可知j
¢(t)在[a,b]内至少有n
个零点，依此类推，j
(n+1)(t)在[a,b]内至少有一个零点，记为x
˛
(a,b)使得:j
(
n
+1)
(x
)
=
f
(
n
+1)
(x)
-
(n
+1)!k
(
x)
=
0f(
n
+1
)
(x
)k
(
x
)
=,
x
˛
(
a
,
b
)(
n
+
1)
!但如能求出Ln
(x的)截断误差限是：f
(x)当
n
=时1
，1
20
1
0
12
2R
(x)
=
1
f
''(x)w
(x)
=
1
f
''(x)(x
-
x
)(x
-
x
),x
˛
[x
,
x
]当n
=时22
30
1
26
6R
(x)
=
1
f
'''(x)w
(x)
=
1
f
'''(x)(x
-
x
)(x
-
x
)(x
-
x
),x
˛
[x0
,
x2
](
n
+1
)
(
x
，)m
a
x
fa
<
x
<
b=那M么用
逼近n
+1nw
(
x
)M
n
+1n
+1R
(
x
)
£(
n
+
1)!由于
x是不能确定，因此我们并不能确定误差的大小当
f
(x)为任一个次数£
n
的多项式时，f
(
n+1)
(
x)
”
0
,
可知，Rn
(
x)
”
0即插值多项式对于次数£
n
的多项式是精确的。注意下面哪个是l2(x)的图像？给定xi
=i
+1,
i
=0,1,2,3,4,5.问题Lagrange插值法用线性插值及抛物线插值计算的值并估计截断误差。，sin
0.34
=
0.333487，算例1已知sin
0.32
=0.314567sin
0.36
=
0.352274sin
0.3367算例1Lagrange插值法，sin
0.34
=
0.333487，已知sin
0.32
=0.314567sin
0.36
=
0.352274sin
0.3367解:x0=
0.32y0=
0.314567x1=
0.34y1=
0.333487x2=
0.36y2=
0.352274用线性插值及抛物线插值计算的值并估计截断误差。线性插值时取x0
=0.32,
x1
=0.34sin0.3367»L1(0.3367)=0.3145670.3367-0.32
+0.3334870.3367-0.340.34-0.32
0.32-0.34=0.330365其截断误差为：其中,因为
可取
于是：212MR
(x)
=(x
-
x0
)(x
-
x1
)
,x0
£x£x1M
2
=
max
f
''(x)f
(x)
=sin
x,
f
''(x)
=-sin
xx0
£x£x1M
2
=
max sin
x
=
sin
x1
£
0.33351112-5R
(0.3367)
=
sin
0.3367
-
L
(0.3367)£·0.3335·0.0167
·0.0033
£
0.92
·10用抛物线插值时，取所有节点，得到sin0.3367
»
L2
(0.3367)=0.314567
(0.3367-0.34)(0.3367-0.36)
+0.333487
(0.3367
-0.32)(0.3367-0.36)(0.32-0.34)(0.32-0.36)
(0.34-0.32)(0.34-0.36)+0.352274
(0.3367-0.32)(0.3367-0.34)(0.36-0.32)(0.36-0.34)0.0008
0.00040.00080.7689·10-4
3.89·10-4-0.5511·10-4+0.333487·+0.352274=0.314567·=0.330374余项讨论：其中：326MR
(
x
)
=(
x
-
x0
)(
x
-
x1
)(
x
-
x2
)
,x0
£x£x1M2
=
max
f
'''(x)
=cos
x0
£0.828R
2
(
0
.3367
)
=
sin
0
.3367
-
L2
(
0
.3367
)£
1
·
0
.828
·
0
.0167
·
0
.033
·
0
.02336<
0
.178
·
10
-6算例2Lagrange插值法由于:解:利用
100，121
的开方计算
115
.利用Lagrange插值法有1121
-10010
+
11100
-121x
-100x
-121L
(x)
=于是,1121-100115
»
L
(115)
=
115-121
10
+115-100
11115的精确值为100
-121=10.7142810.72380529…,因此,
近似值
10.71428
有3
位有效数字.Return§4.3
差商与差分Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数
li(x)
都需重新算过。由线性代数的知识可知：任何一个n次多项式都可以表示成共n+1
个线性无关的多项式的线性组合。那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？寻求如下形式的插值多项式：Pn
(x)
=
a0
+
a1
(x
-
x0
)
+
a2
(x
-
x0
)(x
-
x1
)
++
an
(x
-
x0
)(x
-
xn-1
)其中的
ai
为待定系数，由插值条件确定.1,x-x0,(x-x0)(x-x1),, (x
-
x0
)(x
-
x1)(x
-xn-1)设插值多项式P(x)具有如下形式：P(
x)
=
a0
+
a1
(
x
-
x0
)
+
a2
(
x
-
x0
)(
x
-
x1
)
++
an
(
x
-
x0
)(
x
-
x1
)(
x
-
xn
-1
)P(
xi
)
=
fi
,
i
=
0,1,,
na0
=
f01
0011x
-
x-
fa
=
fP(
x1
)
=
f1
=
a0
+
a1
(
x1
-
x0
)P(x2
)
=
f2=
a0
+
a1
(x2
-
x0
)+
a2
(x2
-
x0
)(x2
-
x1
)2ax2
-
x1x1
-
x0f2
-
f0
-
f1
-
f0=
x2
-
x0再继续下去,待定系数的形式将更复杂,为此引入差商和差分的概念.P(x)应满足插值条件：有：
P(x0
)
=
f0
=
a0§4.3.1
差商的概念从零阶差商出发，归纳地定义各阶差商:称f
[xi
,
xi+1]
=
f
[xi+1
]-
f
[xi
]xi+1
-
xi为函数
f
(x)
关于点xi
,
xi+1
的一阶差商.一般地，
f
(x)
关于
xi
,
xi+1,,
xi+k
的
k
阶差商:f
[x
,
xi
i+1i+kxi+k
-
xi]
=
f
[xi+1
,
xi+2
,,
xi+k
]-
f
[xi
,
xi+1,,
xi+k
-1
],,
x称的零阶差商。为f
(x)关于xif
[xi
]记函数
f
(x)
在
xi
的值
f
[xi
]
=
f
(xi
)
，的n
阶差商:一般地，
f
(x)
关于x0
,
x1,,
xn1
2xn
-
x0f
[x
,
x
,,
xn
]-
f
[x0
,
x1,,
xn-1]f
[x0
,
x1,,
xn
]
=n
阶差商的概念差商的基本性质性质1：差商可表示为函数值的线性组合，即：njjf
(xj
)j
=0j
-1j
+1f
[x0
,
x1
,,
xn
]
=(xj
-
x0
)(x-
x
)(x
-
x
)(xj
-
xn
)可用归纳法证明性质2：差商关于所含节点是对称的，即：f
[x0
,
x1,,
xn
]
=
f
[x1
,
x0
,,
xn
]
=
=
f
[xn
,
xn-1,,
x
0]差商的基本性质性质3：，使得:10mi-2
mi-1
mi-1,
x
]
=x
-
xf
[x
,,
x,
x
]-
f
[x0
,
x1,,
xi-1
]f
[x
,,
xn!f
(n)
(x)f
[x0
,
x1
,,
xn
]
=则$x
˛
(a,b)性质4：设
f
(x)
在
[a,
b]
存在
n
阶导数，且x
j
˛
[a,
b]差商的计算-差商表xif
(xi)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商x0f
(x0
)x1f
(x1
)f
[x0
,
x1
]x2f
(x2
)f
[x1,
x2
]f
[x0
,
x1,
x2
]x3f
(x3
)f
[x2
,
x3
]f
[x1
,
x2
,
x3
]f
[x0
,
x1
,
x2
,
x3
]x4f
(x4
)f
[x3
,
x4
]f
[x2
,
x3
,
x4
]f
[x1
,
x2
,
x3
,
x4
]f
[x0,
x1,
x2,
x3,
x4
]已知xif
(
xi
)f
[
1
,
2
,
4
,
7
]计算三阶差商解：列表计算x
if
(
x
i
)算例-
1
/
2f
[
1
,
2
,
4
,
7
]
=§4.3.2
差分在前面的讨论中，节点是任意分布的，但实际上经常遇到等距节点的情况，这时插值公式可以得到简化，为此，我们先介绍差分的概念。设函数
f在(x等)
距节点上的值
fi
=
f为(x已i
)
知，这里xi
=
x0
+
i
h
(i
=
0,1,,
n)为常数h
，称为步长。下面来讨论差分的定义。差分的定义记号Dfi
=
fi+1
-
fifi
=
fi
-
fi-1222
2i
i
ii+1i-1df
=
f
(x
+
h
)
-
f
(x
-
h
)
=
f
-
f分别称为
f
(x在
处x以i
为步h长的向前差分、向后差分、中心差分符号D、
、
分d别称为向前差分算子、向后差分算子、中心差分算子.高阶差分中心差分定义为:以此类推。用一阶差分可以定义二阶差分D2
f
=
Df
-
Df
=
f
-
2
f
+
fi
i+1
i
i+2
i+1
i一般地可定义m
阶差分为：Dm
f
=
Dm-1
f
-
Dm-1
fi
i+1
im
f
=im-1
f
-
m-1
fi
i-12dfi+1
=
fi+1
-
fi2dfi-1
=
fi
-
fi-122ii+1i-1d2
f
=
df
-
df不变算子I、移位算子E定义从而可得：
于是得到：
同理，由于：得到：由于：得到：由差分的定义及不变算子和移位算子有如下性质:Ifk
=
fk
Efk=
fk
+1Dfk
=
fk
+1
-
fk
=
Efk
-
Ifk
=
(E
-
I
)
fkD
=
E
-
I1212-d
=
E
-
E-1
-1fk
=
fk
-
fk
-1
=
Ifk
-
E
fk
=
(I
-
E
)
fk=
I
-
E-111212222kkkk-12-k
+1
k
-1d
f
=
f
-
f
=
Ef
-
Ef
=
(E-
E
)
f差分的性质性质1：各阶差分均可用函数值表示，如：性质2：某点的函数可用各阶差分来表示：nnfjjn-
jj
n
j
n
Dn
f
=
(E
-
I
)n
f
=k
k(-1)E
fk
=(-1)
k
+n-
j
j
=0j
=0nnnkkknn-
jj-nj=0j=0
f
=(I
-E-1)n
f
=(-1)E
f
=(-1)n-
j
n
f
j
j
k+
j-n
nnjkkjjn+k
j
n
n
f
=
En
f
=
(I
+
D)n
f
=k
kD
f
=D
f
j
=0
j
=0
性质3：差商与差分有如下关系：性质4：差分与导数有如下关系：km!
hm1
1
mf
[xk
,
xk
+1,,
xk
+m
]
= D
f(m
=1,
2,,
n)1km
fm!
hmk k
-1k
-m]
=
1f
[x
,
x
,
x(m
=1,
2,,
n)kk k
+nDn
f
=
hn
f
(n)
(x),
x
˛
(x
,
x
)差分的计算fkD(
)D2
(2
)D3
(3
)D4
(4
)f0Df0
(
f1
)D2
f
(02
f
)2D3
f
(03
f
)3D4
f
(04
f
)4f1Df1
(
f2
)D2
f
(12
f
)3D3
f
(13
f
)4f2Df2
(
f3
)D2
f
(22
f
)4f3Df3
(
f4
)f4Return4.4
牛顿插值公式根据差商的定义，把
x看成可得：[上a,的b]一点，f
(x)
=
f
(x0
)
+
f
[x,
x0
](x
-
x0
)f
[x,
x0
]
=f
[x0
,
x1
]
+
f
[x,
x0
,
x1
](x
-
x1
)f
[x,
x0
,,
xn-1
]
=
f
[x0
,
x1,,
xn
]
+
f
[x,
x0
,
x1
,,
xn
](x
-
xn
)4.4
牛顿插值公式根据差商的定义，把可得：x看成
[上a,的b]一点，f
(x)
=
f
(x0
)
+
f
[x,
x0
](x
-
x0
)f
[x,
x0
]
=
f
[x0
,
x1
]
+
f
[x,
x0
,
x1
](x
-
x1
)f
[x,
x0
,,
xn-1
]
=
f
[x0
,
x1,,
xn
]
+
f
[x,
x0
,
x1
,,
xn
](x
-
xn
)f
(x)
=
f
(x0
)
+
f
[x0
,
x1
](x
-
x0
)+
f
[x0
,
x1,
x2
](x
-
x0
)(x
-
x1
)
++
f
[x0
,
x1,,
xn
](x
-
x0
)(x
-
xn-1
)+
f
[x,
x0
,
x1,,
xn
]wn+1
(x)
=
Nn
(x)
+
Rn
(x)把后一式代入前一式其中显然Nn
(x)
=
f
(x0
)
+
f
[x0
,
x1
](x
-
x0
)f
n+1
(x)+
f
[x0
,
x1,
x2
](x
-
x0
)(x
-
x1
)
++
f
[x0
,
x1,,
xn
](x
-
x0
)(x
-
xn-1
)Rn
(x)
=
f
(x)
-
Nn
(x)
=
f
[x,
x0
,
x1
,,
xn
]w
n+1
(x)=
(x
-
x0
)(x
-
xn
)(n
+1)!N满n
(足x)插值条件，且次数不超过
,它就n是插值多项式，其系数为：ai
=
f
[x0
,
x1
,,
xi
],i
=
0,1,,
n我们称
N为n
(牛x)顿插值多项式.算例已知
的f
(函x)数表，求4
次牛顿插值多项式,并求
f
(0.596).0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.051.253821.515330.524930.228630.03126-0.00012并求解：列表计算算例已知的f
(函x)数表，求4
次牛顿插值多项式,f
(0.596).从表中可以看到4阶差商几乎为0，故取4次插值多项式即可，于是：N4
(x)=0.41075
+1.166(x
-0.4)+0.28(x
-0.4)(x
-0.55)+0.19733(x
-0.4)(x
-0.55)(x
-0.65)+0.03134(x
-0.4)(x
-0.55)(x
-0.65)(x
-0.8)f
(0.596)
»
N4
(0.596)
=
0.631920.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.051.253821.515330.524930.228630.03126-0.00012并求解：列表计算算例已知的f
(函x)数表，求4
次牛顿插值多项式,f
(0.596).截断误差为：40
45-9£
3.63·10R
(x)
»f
[x
,,
x
]w
(0.596)N4
(x)
=
0.41075
+1.166(x
-0.4)
+0.28(x
-0.4)(x
-0.55)+0.19733(x
-0.4)(x
-0.55)(x
-0.65)+0.03134(x
-0.4)(x
-0.55)(x
-0.65)(x
-0.8)f
(0.596)
»
N4
(0.596)
=
0.63192由多项式的唯一性,的余项是相等的,即然后加上一项即可。牛顿插值公式和Lagrange插值公式比较Ln和(x)均Nn是(x)n
次多项式,且均满足插值条件:Ln
(xi
)
=
Nn
(xi
)
=
f
(xi
),
i
=
0,1,,
nL
(
x)
”,因N而(,x两)
个公式n
nf
(n+1)
(x)f
[x,
x0
,
x1,
xn
]wn
(x)
=
(n
+1)!
wn
(
x)当插值多项式从n-1
次增加到n
次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n
阶差商,Return4.5
分段插值公式在区间[a,
b]
上用插值多项式
P
逼近函数
f
时，f
和P在每个节点上的差异(理论上)应该为零。自然，我们期望在一切中间点上也能很好地逼近
f，并且当插值点增加时这种逼近效果应该越来越好。但上述的期望不可能实现的。当认识到这一点时，在数学界曾引起强烈的震动。20
世纪初，Runge就给出了一个等距节点插值多项式Ln
(x)
不收敛到
f
(x)
的例子。设函数拉格朗日插值多项式为1f
(x)
=,
x
˛
[-5,
5]
，1+
x2在该区间[-5,5]上取
n
+1
个等距节点,
构造f
(x
)
的n
次inx
=
-5
+10
i
(i
=
0,1,,
n)n
=
2,
4,
6,8,
20其matlab的lagrange.m文件及相关图形如下.nnj
inj
=0
i=0i„
j2j(
x
-
x
)1
+
x
1
(
x
-
xi
)
L
(
x)
=Runge
现象%
lagrange.mfunction
y=lagrange
(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for
i=1:mz=x(i);s=0;for
k=1:nL=1;for
j=1:nif
j~=kL=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=s+L*y0(k);endy(i)=s;endy;Lagrange插值多项式求插值的Matlab程序.%Compare_Runge.mx=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.^2);plot(x,z,'k',x,y,'r')axis([-5
5
-1.5
2]);pause,hold
onfor
n=2:2:20x0=linspace(-5,5,n+1);
y0=1./(1+x0.^2);x=-5:0.1:5;
y1=lagrange(x0,y0,x);plot(x,y1),
pauseendy2=1./(1+x0.^2);y=interp1(x0,y2,x);plot
(x,y,'k'),hold
offgtext('n=2'),gtext('n=4'),gtext('n=6')gtext('n=8'),gtext('n=10')gtext('f(x)=1/(1+x^2)')比较不同的插值多项式次数对插值的影响21.510.50-0.5-1-1.5-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
521.510.50-0.5-1-1.5-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
521.510.50-0.5-1-1.5-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
521.510.50-0.5-1-1.5-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
521.510.50-0.5-1-1.5-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
52f(x
)=
1/(1+x
2)1.5
n=
101
n=
2n=
40.50n=
6-0.5n=
8-1-1.5-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5-5-4-3-22345-1.
5-1-0.
500.511.52n=
2n=
4n=
6n=
8n=
10f(x
)=
1/(1+
x
2
)不同次数的Lagrange插值多项式的比较图-1
0
1Runge现象令下表列出了和2n-1/
2n-1
nx
=
1
(x，则+
x
)，xnn-1/
2=
5
-
5n
=
2,
4,,
20)L
(xn
n-1/
2的R(值xn-。1/2)说明:并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由
Runge发现,故称为Runge现象.nfi¥结果表明,随着n
的增加，R(xn-1/
2
)
的绝对值几乎成倍地增加，这说明当
n
fi
¥
时
Ln
在
[-5,
5]
上不收敛。Runge证明了，存在一个常数
c
»3.63
,
使得当
x
£c
时，limLn(x)=f
(x);而当x
>c
时{Ln
(x)}发散。4.5.1
分段线性插值分段线性插值特别简单，从几何上看，就是用折线逼近曲线。分段线性插值的数学定义设
f
是(
)区间
上[的a,函b]数，在节点，
f0
,
f1
,,
fn则称
[x的i-1分,
x段i
]
线性插值函数。a
=x0
<x1
<上<的x函n
=数b值为求一分段折线函数P(x满)足：（1）
P(xi
)
=
fi
,
i
=
0,1,,
n（2）
在
[xi-1
,上xi
]，
是P一(x次)
多项式。（3）
P(x)
˛
C[a,
b]P(为x)易知,P(x)是个折线函数，在每个区间[
xi
,
xi
+1
]
上,
i
=
0,1,
,
n
-
1有P(x)在[a,b]
上是连续的，但其一阶导数是不连续的.iyi
+1i i
+1x
-
xix
-
xxi
+1
-
xip(
x)
=
x-
xi
+1
y
+当当4.5.1
分段线性插值的基函数i
=时0,0
100
10
x
-
x1x
˛
[x
,
x
]l
(x)
=
x
-
x
0
1x
ˇ[x
,
x
]i
=1,
2,,
n
-10iii-1
ii-1i+1
x
-
xi-1x
˛
[x
,
x
]
x
-
xli
(x)
=
x
-
xi+1
x
-
xx
˛
(xi
,
xi+1
]x
ˇ[xi-1
,
xi+1
]当时,0nn-1x
ˇ[xn-1
,
xn
]l
(x)
=
x
-
x
x
˛
[xn-1
,
xn
]
x
-
x
n
n-1i
=时n,显然P(x是)n的li
(线x)性组合：P(x)
=
fi
li
(x)iiii-1
xi-1i-1x
-
xix
-
xi-1+
fx
£
x
£
x-
xxi
-
xi-1i=0在区间
[xi-1
,上xi
]的值为：P(x)
=
，f注意表达式P(x在)区间[xi-1
,xi]上，只有li-1
(x)
,li
(x)是非零的，其它基函数均为零。即P(x)
=
fi-1
li-1
(x)
+
fi
li
(x)算例1
+
x
2已知函数节点（如下表），求区间上分段线性插值函数，并利用它求出
f
(4.5)
近似值。y
=f
(x
)=
1
在区间[0,5]上取等距插值[k
,
k
+
1]kyk+1P(x)
=y
+x-(k
+1)k
-(k
+1)
x-k
(k
+1)-k=-yk(x-k-1)+
yk+1(x-k)x˛[0,1]x˛[1,2]x˛[2,3]-(x
-1)+0.5x,-0.5(x
-2)+0.2(x
-1),P(x)
=-0.2(x
-3)+0.1(x
-2),
-0.1(x
-4)+0.05882(x
-3),
x˛[3,4]
-0.05882(x
-5)+0.03846(x
-4),
x˛[4,5]解:
在每个分段区间于是，
P(4.5)
=
-0.05882·(4.5
-5)
+0.03846·(4.5
-4)
=
0.04864实际值:
f
(4.5)
=
0.04705882352941当n=7
时，P(4.5)=0.04762270321996;当n=10时，P(4.5)=0.04705882352941由此可见，对于光滑性要求不高的插值问题，分段线性插值的效果非常好！计算也简单!4.5.2
埃尔米特(Hermite)插值拉格朗日和牛顿均只保证函数插值；实际问题有时需要导数也插值；满足这种需要的插值称为埃尔米特插值.埃尔米特插值的一般提法为：设函数在节点埃尔米特插值的一般提法x0
,x1
,的函,数xn
值与导数值为：f
(xi
)=
fi
,
f
'(xi
)
=
fi¢,
,,iii(
m
-1)(
m
-1)f
(xi)
=
fi
=
0,1,,
n其中
m0
,
m1
,是,
m正n整数，寻求一个次数尽可能低的多项式
H
(x，)
满足：H
(k
)
(x
)
=
f
(k
)
,
k
=
0,1,,
m
-1
;
i
=
0,1,,
ni
i
i埃尔米特插值算例以如下数据构建埃尔米特插值埃尔米特插值方法：基函数法.算例以如下数据构建埃尔米特插值共有
2n
+个2条件，可唯一确定一个次数不超过
2的n
+多1项式
H，2n其+1
(形x)式为：x2n+12n+1
0目标：H
求出(x所)=有a的+a,x
++a1
2n+1ai(i
=
0,1,
,
n)n
n可如下构造：H2n+1
(x)=
yiai
(x)+
yi¢bi
(x)i=0
i=0ai
(x),bi
(x)均为2
n+1
次插值基函数.ai
(xk
)
=
dik
,
ai¢(xk
)
=
0bi
(xk
)
=
0,
bi¢(xk
)
=
dikn这样
H2n+1可(x表)
示为：H2n+1
(x)
=
[
yi
ai
(x)
+
yi¢bi
(x)]i=0显然有：H2n+1
(xk
)
=
ykH2¢n+1
(xk
)
=
yk¢令其中从而有：故：现在求
ai
(x及)，bi
(x)a
(x)
=
(ax
+
b
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