2023年浙江省高考数学试卷(文科)答案与解析

2023年浙江省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每题5分，总分值50分）

1.（5分）（2023•浙江）集合A={x|x>0},B={x|-l<x<2},那么AUB=（）

A.{x|x>-1}B.{x|x<2}C.{x|0<x<2）D.{x|-l<x<2）

【考点】并集及其运算.

【分析】根据并集的求法，做出数轴，求解即可.

【解答】解：根据题意，作图可得，

那么AUB={x|x>-1},应选A.

【点评】此题考查集合的运算，要结合数轴发现集合间的关系，进而求解.

2.（5分）（2023♦浙江）函数y=（sinx+cosx）2+1的最小正周期是（）

AA.——兀BD.TiC.—3—兀DC.o2n

22

【考点】二倍角的正弦；同角三角函数根本关系的运用.

【分析】先将原函数进行化简，再求周期.

【解答】解：；y=（sinx+cosx）2+l=sin2x+2,

故其周期为T/^二兀.

应选B.

【点评】此题主要考查正弦函数周期的求解.

3.（5分）（2023•浙江）a,b都是实数，那么"a2>b2"是"a>b"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【专题】常规题型.

【分析】首先由于"a2>b2"不能推出"a>b”；反之,由"a>b"也不能推出“a2>b2".故喈

>b2/,是"a>b"的既不充分也不必要条件.

【解答】解：•.・"a2>b2”既不能推出"a>b"；

反之，由"a>b"也不能推出，2>b2".

"a2>b2，/是"a>b"的既不充分也不必要条件.

应选D.

【点评】本小题主要考查充要条件相关知识.

4.（5分）（2023•浙江）{an}是等比数列，a2=2,a5=l,那么公比4=（）

4

A.-1B.-2C.2D.1

22

【考点】等比数列.

【专题】等差数列与等比数列.

【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的

乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果.

【解答】解：・二⑶}是等比数列，a2=2,a5」，

4

设出等比数列的公比是q,

3

a5=a2*q',

1

3_a5_4_J.

28

应选：D.

【点评】此题考查等比数列的根本量之间的关系，假设等比数列的两项，那么等比数列的所

有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解.

5.(5分)(2023•浙江)a>0,b>0,且a+b=2,那么()

2222

A.abB.ab>lC.a+b>2D.a+b<3

【考点】根本不等式.

【分析】ab范围可直接由根本不等式得到，a?+b2可先将a+b平方再利用根本不等式联系.

【解答】解：由a20,b>0,且a+b=2,

ab《(«;一)J1，

而4=(a+b)2-a2+b2+2ab<2(a2+b2),

a2+b2>2.

应选C.

【点评】此题主要考查根本不等式知识的运用，属基此题.根本不等式是沟通和与积的联系

式，和与平方和联系时，可先将和平方.

6.15分)(2023•浙江)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含的

项的系数是()

A.-15B.85C.-120D.274

【考点】二项式定理的应用.

【分析】此题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题.此题可通过选括号(即5个括号

中4个提供x,其余1个提供常数)的思路来完成.

【解答】解：含X’的项是由(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的5个括号中4个括

号出x仅1个括号出常数

•••展开式中含X’的项的系数是(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.

应选A.

【点评】此题考查利用分步计数原理和分类加法原理求出特定项的系数.

7.15分)(2023•浙江)在同一平面直角坐标系中，函数尸cos仪40,2n])

的图象和直线V：」：的交点个数是()

丫2

A.0B.1C.2D.4

【考点】函数y=Asin(3x+6)的图象变换.

【分析】先根据诱导公式进行化简，再由x的范围求出2的范围，再由正弦函数的图象可得

2

到答案.

【解答】解：原函数可化为：y=cos(3+3；)(xG|0,2n])=sirr|tx€[0,2n].

当xe[O,2可时，.|G[0,n],其图象如图，

与直线y==的交点个数是2个.

应选C.

【点评】本小题主要考查三角函数图象的性质问题.

22

8.（5分）（2023•浙江）假设双曲线弓-'=1的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,

ab

那么双曲线的离心率是（）_

A.3B.5C.A/3D.A/5

【考点】双曲线的定义.

【专题】计算题.

【分析】先取双曲线的一条准线，然后根据题意列方程，整理即可.

2

【解答】解：依题意，不妨取双曲线的右准线x-5-，

C

22,2

那么左焦点Fi到右准线的距离为二+c=2±,

CC

2」-「

右焦点F2到右准线的距离为C-一工，

----------2.2Q9

—TZRCC+a□oilr

"J22~~2=~?'即==5,

c-ac-a匕

二双曲线的离心率

a

应选D.

【点评】此题主要考查双曲线的性质及离心率定义.

9.（5分）（2023♦浙江）对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面a,使得（）

A.aua,bcaB.aua,bllaC.a_La,b±aD.aua,b±a

【考点】空间点、线、面的位置.

【专题】空间位置关系与距离.

【分析】对两条不相交的空间直线a与b,有allb或a与b是异面直线，从而得出结论.

【解答】解：1.两条不相交的空间直线a和b,有allb或a与b是异面直线，

一定存在平面a,使得：aua,blla.

应选B.

【点评】此题主要考查立体几何中线面关系问题，属于根底题.

'x>0

10.（5分）（2023•浙江）假设azo,b>0,且当，y>0时，恒有ax+bySl,那么以a,b为

x+yCl

坐标的点P（a,b）所形成的平面区域的面积是（）

A.1B.—C.1D.—

242

【考点】简单线性规划的应用.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】欲求平面区域的面积，先要确定关于a,b的约束条件，根据恒有ax+by<l成立，a>0,

b>0,确定出ax+by的最值取到的位置从而确定关于a,b约束条件.

【解答】解：,•.azO,b>0

t=ax+by最大值在区域的右上取得，即一定在点（0,1）或（1,0）取得，

故有b”l恒成立或axvl恒成立，

0<b<l§KO<a<l,

，以a,b为坐标点P（a,b）所形成的平面区域是一个正方形，

所以面积为1.

应选C.

【点评】本小题主要考查线性规划的相关知识.此题主要考查了简单的线性规划，以及利用

几何意义求最值，属于根底题.

二、填空题（共7小题，每题4分，总分值28分）

11.14分）（2023•浙江）函数f（x）=x2+|x-2|,那么f⑴=2.

【考点】函数的概念及其构成要素.

【分析】将x=l代入函数解析式即可求出答案.

【解答】解：（1）=12+|1-2|=1+1=2

故答案为：2

【点评】此题主要考查函数解析式，求函数值问题.

12.（4分）（2023•浙江）假设sin（三+8）=->那么cos20=-」L

2525

【考点】诱导公式的作用；二倍角的余弦.

【分析】由sin(a+—)=cosa及cos2a=2cos2a-1解之即可.

2

【解答】解：由sin（8)=2可知，cos0

55

而cos28=2cos？8-1=2X（-|）2-1=-

525

故答案为：-L

25

【点评】此题考查诱导公式及二倍角公式的应用.

22

13.（4分）（2023•浙江）Fi、F2为椭圆工一+工二1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B

259

两点，假设|F2A|+|F2B|=12,那么|AB|=8.

【考点】椭圆的简单性质.

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20,再由周长，即可得到AB的

长.

22

【解答】解：桶圆二+左1的a=5,

259

由题意的定义，可得，|AFi|+|AF2|=|BFi|+|BF2|=2a,

那么三角形ABF2的周长为4a=20,

假设|F2A|+|F2B|=12,

那么|AB|=20-12=8.

故答案为：8

【点评】此题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于根底题._

14.（4分）（2023•浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、假设

-c）cosA=acosC,那么cosA=^^'.

3

【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数.

【专题】计算题.

【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公

式化简可得到、乃sinBcosA=sinB,进而可求得cosA的值.

【解答】解：由正弦定理，知

由（a-c）cosA=acosC可得

-sinC）cosA=sinAcosC,

V^sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA

=sin（A+C）=sinB,

cosA=^^.

3_

故答案为：爽

3

【点评】此题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用.考查对三角函数公式的记

忆能力和综合运用能力.

15.（4分）（2023•浙江）如图，球O的面上四点A、B、C、D,DA_L平面ABC,AB_LBC,

DA=AB=BC=J5，那么球O的体积等于晓.

【考点】球的体积和外表积；球内接多面体.

【专题】计算题.

【分析】说明ACDB是直角三角形，4ACD是直角三角形，球的直径就是CD,求出CD,

即可求出球的体积.

【解答】解：AB_LBC,△ABC的外接圆的直径为AC,AC=近，

由DA_LjffABC得DA_LAC,DA_LBC,△CDB是直角三角形，ZkACD是直角三角形，

CD为球的直径，CD={D庆2+AC球的半径R=-,V理=&R3=gi.

232

故答案为：当.

2

【点评】此题是根底题，考查球的内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD是球的

直径，是此题的突破口，解题的重点所在，考查分析问题解决问题的能力.

16.14分）（2023•浙江）W是平面内的单位向量，假设向量R菌足E・（W-E）=0,那么后1

的取值范围是［0,11.

【考点】平面向量数量积的运算.

【专题】压轴题.

【分析】本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，由向量b满足b・（a-b）

=0,变化式子为模和夹角的形式，整理出位的表达式，根据夹角的范围得到结果.

【解答】解：.••万G-E）=o>

即。；-E2=0,

,•|"a|•|b|cos9=|b|2^-0et0,呼

••,W为单位向量，

lbf=cos9，

|bl€[o,U-

故答案为：[O,i]

【点评】此题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积

的公式运算即可，只是题目所给的向量要应用向量的性质来运算，此题是把向量的数量积同

三角函数问题结合在一起.

17.（4分）（2023•浙江）用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字），要求任何相

邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻.这样的六位数的个数是（用数字作答）.

【考点】分步乘法计数原理.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】欲求可组成符合条件的六位数的个数，只须利用分步计数原理分三步计算：第一步:

先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空

中即可.

【解答】解析：可分三步来做这件事：

第一步：先将3、5排列,共有A22种排法;

第二步:再将4、6插空排列，共有2A22种排法；

第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C51种排法.

由分步乘法计数原理得共有A22*2A22»C51=40（种）.

答案：40

【点评】此题考查的是分步计数原理，分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要分

成n个步骤，做第1步有ml种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法…做第n步有mn

种不同的方法.那么完成这件事共有N=mlxm2x...xmn种不同的方法.

三、解答题（共5小题，总分值0分）

18.114分）（2023•浙江）数列｛xn｝的首项xi=3,通项xn=2，+nq（neN*,p,q为常数〕，

且XI,X4,X5成等差数列.求：

[I）p,q的值；

[口）数列｛Xn｝前n项和Sn的公式.

【考点】数列递推式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质.

【专题】计算题；综合题.

【分析】（I）根据xi=3,求得p,q的关系，进而根据通项xn=2np+np（neN*,p,q为常

数），且XI,X4,X5成等差数列.建立关于p的方求得p,进而求得q.

（口）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案.

【解答】解：（I）.••xi=3,

2p+q=3）①

XX4=24p+4q,X5=25p+5q,且XI+X5=2X4,

3+25p+5q=25p+8q,②

联立①②求得p=l,q=l

（□）由（1）可知Xn=2n+n

Sn=（2+2~+...+2“）+（l+2+...+n）

=2日-2+%》.

【点评】此题主要考查等差数列和等比数列的根本知识，考查运算及推理能力.

19.（14分）（2023•浙江〕一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，袋中共有10个球，

从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是2;从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概

5

率是工求：

9

（I）从中任意摸出2个球，得到的数是黑球的概率；

（口）袋中白球的个数.

【考点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式.

【专题】计算题.

【分析】（I）先做出袋中的黑球数，此题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从袋中

任意摸出两个球，共有Cl（）2种结果，满足条件的事件是得到的都是黑球，有C42种结果，

根据概率公式得到结果.

（口）根据从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是工，写出从袋中任意摸出两个

9

球，至少得到一个白球的对立事件的概率，列出关于白球个数的方程，解方程即可.

【解答】解：（I）由题意知此题是一个古典概型，

从中任意摸出I个球，得到黑球的概率是2,袋中黑球的个数为iox2=小

55

试验发生包含的事件是从袋中任意摸出两个球，共有CIO2种结果

满足条件的事件是得到的都是黑球，有C42种结果，

记"从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球"为事件A,

c2

那么P（A）=—

15

v10

（口）从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是工

9

记"从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B.

设袋中白球的个数为X,

那么P(B)=1-P(B)=1-C10~^=X

9

L10

得到x=5

【点评】此题主要考查排列组合、概率等根底知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力，

考查对立事件的概率，考查古典概型问题，是一个综合题.

20.(14分)(2023•浙江)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，

NBCF=NCEF=90°,AD=V3>EF=2.

(I)求证：AEII平面DCF；

(n)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60。？

【考点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题.

【专题】计算题；证明题；综合题.

【分析】(I)过点E作EG_LCF并CF于G,连接DG,证明AE平行平面DCF内的直线

DG,即可证明AEII平面DCF；

(口)过点B作BH_LEF交FE的延长线于H,连接AH,说明NAHB为二面角A-EF-C

的平面角，通过二面角A-EF-C的大小为60。，求出AB即可.

【解答】(I)证明：过点E作EGLCF并CF于G,连接DG,可得四边形BCGE为矩形.又

ABCD为矩形，

所以ADJ.IIEG,从而四边形ADGE为平行四边形，故AEIIDG.

因为AEU平面DCF,DGu平面DCF,所以AEII平面DCF.

(II)解：过点B作BH_LEF交FE的延长线于H,连接AH.

由平面ABCD_L平面BEFG,AB±BC,得

ABJ•平面BEFC,

从而AHXEF,

所以NAHB为二面角A-EF-C的平面角.

在RSEFG中，因为EG=AD=a,EF=2,所以/CFE=60°,FG=1.

又因为CE_LEF,所以CF=4,

从而BE=CG=3.

于是BH=BE«sinZBEH=22Z1.

2

因为AB=BH»tanZAHB,

所以当AB=9时，二面角A-EF-G的大小为60。.

2

【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何.

【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为

考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺

陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而

且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以

空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用.

【点评】此题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等根底知识，同时考查空间想

象能力和推理运算能力.

21.(15分)(2023•浙江)a是实数，函数f(x)=x2(x-a).

(I)假设F(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(D)处的切线方程；

(n)求f(x)在区间［o,2］上的最大值.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】(I)求出f(X),利用F(1)=3得到a的值，然后把a代入f(x)中求出f(1)

得到切点，而切线的斜率等于F(1)=3,写出切线方程即可；

(II)令f(x)=0求出x的值，利用x的值分三个区间讨论f(x)的正负得到函数的单调

区间，根据函数的增减性得到函数的最大值.

【解答】解：(I)f(x)=3x2-2ax.因为f⑴=3-2a=3,所以a=0.

又当a=0时，f(1)=1,f(1)=3,那么切点坐标(1,1),斜率为3

所以曲线丫=£(x)在［1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1)化简得3x-y-2=0.

(II)令f(X)=0,解得乂=0,Y;在.

A23

当&40，即a«O时,f(x)在［0,2］上单调递增，从而fmax=f(2)=8-4a.

3

当年》2时，即a23时，f(X)在［0,2］上单调递减，从而fmax=f(0)=0.

O

当0〈号<2,即o<a<3,f(X)在［0,咨］上单调递减，在肯，2］上单调递增，从

'8-4a,0<a<2.

而—

0,2<a<3.

8-4a,a<3

综上所述，fmax=<

0,a》3

【点评】此题主要考查导数的根本性质、导数的应用等根底知识，以及综合运用所学知识分

析问题和解决问题的能力.

22.(15分)(2023•浙江)曲线C是到点p(-1，心)和到直线尸-至距离相等的点的

288

轨迹，1是过点Q(-1,0)的直线，M是C上(不在1上)的动点；A、B在1上，MALI,

MB_Lx轴(如图).

(I)求曲线C的方程；

(口)求出直线1的方程，使得J^一为常数.