广西壮族自治区南宁市第四十二中学2021-2022学年高三数学文模拟试题含解析

广西壮族自治区南宁市第四十二中学2021-2022学年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，则，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.2.若，则=（

）A．2 B． C．32 D．参考答案：D略3.有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为，再由乙抛掷一次，朝上数字为，若就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（

）（A） （B） （C） （D）参考答案：D甲、乙两人抛掷玩具所有可能的事件有36种，其中“甲、乙两人‘默契配合’”所包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16种。∴甲乙两人“默契配合”的概率为。∴选D。4.已知三棱锥的底面是正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数是

（

）A．18 B．24 C．36 D．48参考答案：C略6.在中，点在边上，且，，则=（）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.函数的最小正周期为(

)A. B.π C.2π D.4π参考答案：B【分析】利用二倍角降幂公式，化简函数的解析式，用最小正周期公式求出最小正周期.【详解】，最小正周期，故选B.【点睛】本题考查了二倍角的降幂公式、最小正周期公式，考查了运算能力，逆用公式的能力.8.已知函数.若对任意的实数，不等式

恒成立，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.已知，其中为虚数

单位，则

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：B略10.设函数f（x）的定义域是R，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f（x）＝lnx－x，则有（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个几何体的正视图是长为3、宽为1的矩形，侧视图是腰长为2的等腰三角形，则该几何的表面积为______参考答案：12.下图的算法中，若输入，输出的是

.参考答案：略13.幂函数y=（m2﹣3m+3）xm过点（2，4），则m=

．参考答案：2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意得，由此能求出m=2．解：∵幂函数y=（m2﹣3m+3）xm过点（2，4），∴，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．14.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为6．参考答案：6略15.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.参考答案：6016.已知函数若对于正数（），直线与函数的图像恰有个不同交点，则______．参考答案：17.下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(

)A.i>100

B.i<＝100C.i>50

D.i<＝50参考答案：B略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数。（I）若函数在处取得极值，求的值；（II）若函数的图象在直线图象的下方，求的取值范围；（III）求证：。参考答案：略19.如图1，在矩形中，,分别是,的中点，沿将矩形折起，使，如图2所示：

（Ⅰ）若,分别是,的中点，求证：//平面；（Ⅱ）若，，求三棱锥的体积．

参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．试题分析：（Ⅰ）思路一：取中点，连结、，根据,分别是,的中点，应用三角形中位线定理得到四边形为平行四边形.思路二：取中点，连结,，根据,分别是,的中点，应用三角形中位线定理得到四边形为平行四边形，又平面，平面，//平面.思路三：取中点，连结,，根据,分别是,的中点，，得到//平面，//平面，由平面//平面即得.（Ⅱ）根据

得到平面，又，推出为等边三角形，计算得到试题解析：（Ⅰ）法一：取中点，连结、

………1分,分别是,的中点，且，，且四边形为平行四边形，……4分又平面，平面//平面

………………6分法二：取中点，连结,

………1分,分别是,的中点，且，，且，四边形为平行四边形

………4分又平面，平面//平面

…6分

法三：取中点，连结,…………1分,分别是,的中点，，又平面，平面平面,平面//平面，//平面……4分，平面//平面而平面//平面

……6分（Ⅱ）

平面

……………………8分又，，且

为等边三角形而中，

，

…………………10分故三棱锥的体积为．

……………12分考点：1.平行关系、垂直关系；2.几何体的体积.20.(本题满分14分)数列、的每一项都是正数,,,且、、成等差数列,、、成等比数列,.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）求数列、的通项公式；（Ⅲ）证明:对一切正整数,有.参考答案：(Ⅰ)；（Ⅱ），；（Ⅲ）答案详见解析.试题分析：(Ⅰ)依题意，，，并结合已知，，利用赋值法可求、试题解析：(Ⅰ)由，可得，由，可得. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为.方法一:首先证明（）.因为,所以当时，.当时，. 综上所述，对一切正整数，有方法二:.当时，. 当时，；当时，. 综上所述，对一切正整数，有21.（14分）已知点（1）求轨迹E的方程；（2）若直线过点且与轨迹交于两点，①无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值；②过作直线的垂线,求的取值范围。参考答案：（1）由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线右支，由得，故轨迹的方程为

3分（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为与双曲线方程联立消去得：∴，解得

5分①∵，∴，故得对任意的恒成立，∴，解得，∴当时，

8分当直线的斜率不存在时，由及知结论也成立综上，当时，

9分②∵，∴直线是双曲线右准线，由双曲线定义得∴∵，∴，故注意到直线的斜率不存在时，，此时综上，

22.已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，可得ρ=±4