河南省周口市郸城一高2022-2023学年数学高二第二学期期末监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若偶函数在上单调递减，，，，则、、满足（）A． B． C． D．2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．720种 B．600种 C．360种 D．300种4．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则（）A． B． C． D．15．已知函数的图象关于对称，的图象在点处的切线过点，若图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）A． B． C． D．6．设，是实数，则的充要条件是（）A． B． C． D．7．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和乙也相邻的概率为（）A． B． C． D．8．组合数恒等于（）A． B． C． D．9．设，则（）A． B．10 C． D．10010．在等比数列an中，a1=4，公比为q，前n项和为Sn，若数列A．2B．-2C．3D．-311．已知双曲线E：上的四点A，B，C，D满足，若直线AD的斜率与直线AB的斜率之积为2，则双曲线C的离心率为A． B． C． D．12．已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据()A．一样稳定 B．变得比较稳定C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数，，（为虚数单位）则实数__________．14．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125124121123127，则该样本标准差（克）（用数字作答）．15．已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：①；②在上是减函数；③函数没有最小值；④函数在处取得最大值；⑤的图象关于直线对称．其中正确的序号是________．16．类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为的正四面体的内切球半径为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）由中央电视台综合频道（）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青春电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的100名观众，得到如下的列联表：非常满意满意合计30合计已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为，且.（Ⅰ）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“满意”的、地区的人数各是多少；（Ⅱ）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；（Ⅲ）若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望.附：参考公式：18．（12分）甲、乙两种不同规格的产品，其质量按测试指标分数进行划分，其中分数不小于82分的为合格品，否则为次品.现随机抽取两种产品各100件进行检测，其结果如下：测试指标分数甲产品81240328乙产品71840296(1)根据以上数据，完成下面的列联表，并判断是否有的有把握认为两种产品的质量有明显差异？甲产品乙产品合计合格品次品合计(2)已知生产1件甲产品，若为合格品，则可盈利40元，若为次品，则亏损5元；生产1件乙产品，若为合格品，则可盈利50元，若为次品，则亏损10元.记为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望（将产品的合格率作为抽检一件这种产品为合格品的概率）.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.7022.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过原点且斜率为1的直线交椭圆于两点，四边形的周长与面积分别为12与.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与圆相切，且与椭圆交于两点，求原点到的中垂线的最大距离.20．（12分）已知四边形是矩形，平面，，点在线段上（不为端点），且满足，其中.（1）若，求直线与平面所成的角的大小；（2）是否存在，使是的公垂线，即同时垂直？说明理由.21．（12分）某技术人员在某基地培育了一种植物,一年后,该技术人员从中随机抽取了部分这种植物的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计,绘制了如下频率分布直方图,已知抽取的样本植物高度在内的植物有8株,在内的植物有2株.(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的,的值;(Ⅱ)在选取的样本中,从高度在内的植物中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在内的株数,求随机变量的分布列及数学期望;(Ⅲ)据市场调研,高度在内的该植物最受市场追捧.老王准备前往该基地随机购买该植物50株.现有两种购买方案,方案一:按照该植物的不同高度来付费,其中高度在内的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照该植物的株数来付费,每株6元.请你根据该基地该植物样本的统计分析结果为决策依据,预测老王采取哪种付费方式更便宜?22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）若与相交于两点，，求；（2）圆的圆心在极轴上，且圆经过极点，若被圆截得的弦长为，求圆的半径．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由偶函数的性质得出函数在上单调递增，并比较出三个正数、、的大小关系，利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.【详解】偶函数在上单调递减，函数在上单调递增，，，，，，故选：B.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，解题时要利用自变量的大小关系并结合函数的单调性来比较函数值的大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2、A【解析】

先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【详解】解：∵，∴，∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（），所在的象限为第一象限．故选：A．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3、D【解析】

根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有种情况，②5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况，则有60×5＝300种不同的顺序，故选D．【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4、D【解析】

遇到新定义问题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，在该题中求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决．【详解】解：函数，，，因为方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，已知函数的“拐点”是，所以，即，故选：．【点睛】本题考查导数的运算．导数的定义，和拐点，根据新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，属于基础题5、B【解析】

首先根据函数的图象关于点对称得到，，即.利用导数的切线过点得到，再求函数在处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子计算即可.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以.即：，解得，.所以，，切点为.，.切线为：.因为切线过点，所以，解得.所以，.，所以.所以.故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.6、C【解析】

利用不等式的基本性质证明与可进行互推.【详解】对选项C进行证明，即是的充要条件，必要性：若，则两边同时3次方式子仍成立，，成立；充分性：若成，两边开时开3次方根式子仍成立，，成立.【点睛】在证明充要条件时，要注意“必要性”与“充分性”的证明方向.7、B【解析】

记事件甲乙相邻，事件乙丙相邻，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算出和，再利用条件概率公式可计算出所求事件的概率．【详解】记事件甲乙相邻，事件乙丙相邻，则事件乙和甲丙都相邻，所求事件为，甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为，由古典概型的概率公式可得.乙和甲丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且乙位置正中间，与其他两位同学形成三个元素，排法种数为，由古典概型的概率公式可得，由条件概率公式可得，故选B.【点睛】本题考查条件概率的计算，解这类问题时，要弄清各事件事件的关系，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算相应事件的概率，并灵活利用条件概率公式计算出所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．8、D【解析】

根据组合数的公式得到和，再比较选项得到答案.【详解】．，可知故选：D．【点睛】本题考查组合数的计算公式，意在考查基本公式，属于基础题型.9、B【解析】

利用复数的除法运算化简为的形式，然后求得的表达式，进而求得.【详解】，，.故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的平方和模的运算，属于基础题.10、C【解析】由题意，得S1+2=4,S2+2=4q+6,S3+2=4q2+4q+6点睛：本题若直接套用等比数列的求和公式进行求解，一是计算量较大，二是往往忽视“q=1”的特殊情况，而采用数列的前三项进行求解，大大降低了计算量，也节省的时间，这是处理选择题或填空题常用的方法.11、A【解析】很明显，A，B，C，D四点组成平行四边形ABDC，如图所示，设，则：，点A在双曲线上，则：，据此可得：，结合可得双曲线的离心率为.本题选择A选项.点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．12、C【解析】

根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断．【详解】由题可得：平均值为2，由，，所以变得不稳定.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由题得，解方程即得解.【详解】由题得,所以.故答案为【点睛】本题主要考查复数模的性质和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14、2【解析】因为样本平均数，则样本方差所以．15、①②④【解析】

先利用题中等式推出，进一步推出，得知该函数是周期为的周期函数，作出满足条件的图像可得出答案．【详解】因为，所以，所以，所以，即函数是周期为4的周期函数．由题意知，函数关于点对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．故答案为①②④.【点睛】本题考查抽象函数的相关问题，解题的关键在于充分利用题中等式进行推导，进一步得出函数的单调性、周期性、对称性等相关性质，必要时结合图象来考查．16、【解析】分析：先根据类比将正四面体分割成四个小三棱锥，再根据体积关系求内切球半径.详解：设正四面体的内切球半径为，各面面积为,所以.点睛：等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)3；4.(2)列联表见解析；没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.(3)分布列见解析；.【解析】分析：（1）先根据概率计算x的值，得出y+z=35，再计算y与z的值，根据比例得出应抽取“满意”的A、B地区的人数；

（2）根据独立性检验公式计算观测值k2，从而得出结论；

（3）根据二项分布的概率公式计算分布列和数学期望．详解：（Ⅰ）由题意，得，所以，所以，因为，所以，，地抽取，地抽取.（Ⅱ）非常满意满意合计301545352055合计6535100的观察值所以没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.（Ⅲ）从地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为随机抽取3人，的可能取值为0,1，2，3，，的分布列0123的数学期望：点睛：本题考查了抽样调查，独立性检验，二项分布，题目比较长做题时要有耐心审题，认真分析条件，细心求解，属于中档题．18、（1）没有（2）的分布列见解析，【解析】试题分析：(1)由题意完成列联表，然后计算可得，则没有的有把握认为两种产品的质量有明显差异(2)X可能取值为90,45,30,-15,据此依据概率求得分布列，结合分布列可求得数学期望.试题解析：(1)列联表如下：甲产品乙产品合计合格品8075155次品202545合计100100200∴没有的有把握认为两种产品的质量有明显差异(2)依题意，生产一件甲，乙产品为合格品的概率分别为，随机变量可能取值为90,45,30,-15,904530-15的分布列为：∴19、（1）（2）【解析】

（1）不妨设点是第一象限的点，由四边形的周长求出，面积求出与关系，再由点在直线上，得到与关系，代入椭圆方程，求解即可；（2）先求出直线斜率不存在时，原点到的中垂线的距离，斜率为0时与椭圆只有一个交点，直线斜率存在时，设其方程为，利用与圆相切，求出关系，直线方程与椭圆方程联立，求出中点坐标，得到的中垂线方程，进而求出原点到中垂线的距离表达式，结合关系，即可求出结论.【详解】（1）不妨设点是第一象限的点，因为四边形的周长为12，所以，，因为，所以，得，点为过原点且斜率为1的直线与椭圆的交点，即点在直线上，点在椭圆上，所以，即，解得或（舍），所以椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，直线为，线段的中垂线为轴，原点到轴的距离为0.当直线的斜率存在时，设斜率为，依题意可设，因为直线与圆相切，所以，设，，联立，得，由，得，又因为，所以，所以，所以的中点坐标为，所以的中垂线方程为，化简，得，原点到直线中垂线的距离，当且仅当，即时，等号成立，所以原点到的中垂线的最大距离为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离，利用基本不等式求最值，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20、(1)；(2)不存在满足条件，理由见详解.【解析】

(1)建立空间直角坐标系，根据直线的方向向量与平面法向量的夹角余弦值得到线面角的正弦值，从而计算出线面角的大小；(2)假设存在满足，根据表示出的坐标，即可求解出的坐标表示，根据、求解出的值.【详解】(1)建立空间直角坐标系如图所示：当时，为中点，因为，所以，所以，取平面一个法向量，设直线与平面所成的角的大小为，所以，所以，所以，所以直线与平面所成的角的大小为；(2)设存在满足条件，因为，所以，所以，又因为，当是的公垂线时，所以，所以无解即假设不成立，所以不存在满足条件.【点睛】本题考查利用空间向量求解线面角、公垂线问题，难度一般.(1)利用直线的方向向量以及平面的法向量求解线面角时，要注意求出的直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值即为线面角的正弦；(2)公垂线的存在性问题可先假设成立，然后根据垂直关系得到向量的数量积为零，由此判断存在性是否成立.21、(Ⅰ),，；(Ⅱ)分布列见解析，；(Ⅲ)方案一付费更便宜.【解析】

(Ⅰ)由题目条件及频率分布直方图能求出样本容量n和频率分布直方图中的x，y．(Ⅱ)由题意可知，高度在[