第一章函数及其图形课件

1在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的卓越胜利了。

恩格斯2微积分3中科院“十一五”规划教材经济管理类数学基础系列《微积分》主编：党高学韩金仓科学出版社4前言

现代的自然科学和社会科学融合了大量的高等数学知识，掌握其主体内容成为一个大学生的必备技能。

本课程主要介绍三块内容：微积分学、级数理论和微（差）分方程，其中微积分学分为一元微积分学和多元微积分学，本学期主要介绍一元微积分学及微分方程，其余在下学期介绍。

通过高等数学的学习，不但使学生具备学习后续其他数学课程和专业课程所需要的基本数学知识，而且还使学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力。因此，高等数学的学习不仅关系到学生在整个大学期间甚至研究生期间的学习质量，而且还关系到学生的思维品质、思辨能力、创造潜能等科学和文化素养。高等数学教学既是科学的基础教育，又是文化基础教育，是素质教育的一个重要的方面。

5同时发明了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。

微积分(Calculus)是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹6

牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。

牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。

牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。7莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文《论组合的技巧》已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。

1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。8一、微积分的实际背景

1.瞬时速度

2.曲线的切线斜率

3.曲边图形的面积

二、微积分学的思想方法

运动、变化、发展乃至质变，是微积分的根本思想方法，但运动、变化的定量刻画却表现在它的反面，即相对静止之中，也就是说，用定量的方法来刻画变量的变化。

9三、微积分学的基本结构

比如做家具：

原料：函数工具：极限产品一：导数产品二：积分方式一方式二10第一章

函数及其图形11由于实践和各门科学自身发展的需要，到了16世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个新的时代，即变量数学的时代.作为在运动中变化的量(变量)及它们之间的依赖关系的反映，数学中产生了变量和函数的概念.例如，伽利略发现自由落体下落的距离s与经历的时间t的平方成正比，得到著名的公式

确定了变量t与s之间的依赖关系，即函数关系，这就是自由落体运动规律的数学表述.12数学的一项重要任务，就是要找出反映各种实际问题中变量的变化规律，即其中所蕴含的变量之间的函数关系.函数是数学中最基本的概念之一，微积分研究函数的一些局部的和整体的性态.本章介绍函数的一般概念，几种常用的表示方式，最基本的函数类型——初等函数，函数的性质，以及经济学中几种常用的函数.13第一节预备知识一、集合及其运算集合是数学中的一个基本概念.具有某种指定性质的事物的总体称为一个集合。组成这个集合的事物称为这个集合的元素。

通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。

如果a是集合A的元素，则记作aA，读作a属于A；如果a不是集合A的元素，则记作

，或，读作a不属于A。14

由有限个元素构成的集合称为有限集，由无限多个元素构成的集合称为无限集。不含任何元素的集合称为空集，记为Ø。集合的表示法通常有两种：1、列举法：把集合中的元素一一列举出来.2、描述法：即用刻画集合中全体元素的性质来说明.例如：例如：15常见数集的记号：

自然数集整数集有理数集正整数集实数集数轴本书中如无特别说明，均限于实数范围内。161、包含如果集合A的元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集.记作。例如：2、相等如果集合A和B互相包含，即且,则称A和B的相等，记作。BA集合之间的关系：171、并集合之间的运算：BA例如，则基本性质：182、交BA例如，则基本性质：193、差BAAB例如，表示全体无理数组成的集合。基本性质：20二、绝对值及其基本性质设x为一实数，则其绝对值定义为几何意义：|x|表示数轴上点x到原点的距离。|x-

y|表示数轴上两点x和y之间的距离。03-3|x|=321例1解下列绝对值不等式：解22绝对值的基本性质23三、区间和邻域开区间闭区间左闭右开区间左开右闭区间24无穷区间25邻域记作2627第二节函数伽利略经过精确的实验，测得自由落体的运动方程

在力学中，质量为m，速度为v的物体运动时所具有的能量（称为动能）在电学中，电流强度为I

的电流通过电阻为R的导线时，在单位时间内所产生的热量28在几何中半径为r的圆的面积上述这些变量之间的关系都有一个相同的抽象形式这就是一个函数关系式。如果将这个函数关系的性质研究清楚了，那么前面的那些实际变量之间的关系的性质也就清楚了.数学的一个特点是它的高度抽象性，随之也就具有应用的广泛性.下面给出函数的一般定义.29一、函数概念x称为自变量，y称为因变量.30注意：例如，是定义在R上的一个函数，它的值域是确定函数的两要素：定义域和对应法则。31例1判断下列各对函数是否相同？

相同不同(定义域不同)不同(对应法则不同)相同不同(定义域不同)32(1)根据实际问题；(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值.如何求函数的自然定义域？

(a)分式的分母不等于零；

(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；

(c)对数的真数应大于零；

(e)若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定义域的交集；(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集.定义域的确定：33例2求下列函数的(自然)定义域。

因此，函数的定义域为解即定义域为34因此，函数的定义域为351）图象法2）表格法3）解析法(公式法)二、函数的表示法36

在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.分段函数37这也是分段函数，其定义域为

yOx11-12-2-138解例3391)符号函数几个分段函数的例子.402)取整函数y=[x][x]表示不超过x的最大整数.12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo123441o有理数点无理数点•1xy3)狄利克雷函数(Dirichlet)42三、函数的四则运算设有函数f,g如下：和则定义f,g的和、差、积、商如下：43在实际应用中，常常不用抽象的函数记号，而直接依次表示为44解例4因此

g(x)

的定义域为45第三节函数的几种基本特性一、有界性M-Mba则称函数有界。46ba函数的有界性还可以细分为：

则称函数f(x)在I上下有界.M2

M1

M1称为

f(x)在I上的下界。M2称为

f(x)在I上的上界。定理：函数f(x)有界当且仅当f(x)上有界且下有界。则称函数f(x)在I上上有界.47

因为存在M=1，使对任意x(-,+)，有|sinx|1，所以y=sinx是(-,+)内的有界函数。y

=sinx有界吗?4849二、单调性

5051例如,函数y=x

3在(-,+)内单调增加。52而函数

y

=

x

2

在区间(-,0)内单调减少；在区间(0,+)内单调增加。53三、奇偶性54例1判断下列函数的奇偶性：

偶函数非奇非偶偶函数奇函数奇函数奇函数55例2是偶函数；而是奇函数。证明是容易的。

由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和：56偶函数的图形关于y轴对称。yxox-x具有奇偶性的函数的图形有某种对称性：yxox-x奇函数的图形关于原点对称。57例3解故f(x)是偶函数.2-1158四、周期性(通常周期函数的周期是指其最小正周期).注意：并非任意周期函数都有最小正周期.如狄利克雷函数任何正有理数都是它的周期,但并不存在最小的正有理数。

59练习：习题一1、集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+1=0},若B

A，则a=__________2、已知集合A={x|},若A∩R=，则实数m的取值范围是_____3、求下列函数的定义域：（1）

（2）（3）4、判断奇偶性：

（1）

（2）（3）5、证明

(1)

(2)6061第四节反函数

定义

设函数y=f

(x)的定义域为D，值域为Z。如果对于每个yZ，存在唯一xD，使f

(x)=y，则x是一个定义在Z上的函数，称为

y=f

(x)的反函数，记为x=f-1(y)。函数y

=f

(x)与函数x

=f-1(y)是互为反函数。将x与y互换，就得所求反函数为例1

求y

=

3x-1的反函数。解62

直接函数与反函数的图形关于直线对称.63例如，在(-,+)内，y

=

x2

不是一一对应的函数关系，所以它没有反函数。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。

在(0,+)内y

=

x2有反函数

在(-,0)内，y

=

x2有反函数

x-x

y64解例2

求函数xyO的反函数。所以所求反函数为65例3与互为反函数。66第五节复合函数例如：可看作由复合而成。注：不是任何函数都可以复合成一个函数。不能复合。和u称为中间变量。

67注意复合次序：

复合可以多次进行。例1例2的复合。68重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数的复合运算或四则运算。例3例469例5(1)解(2)70例6解所以于是71第六节初等函数1.常数函数一、基本初等函数

常函数的定义域为(-,+)，图形为平行于x轴,在y轴上截距为C的直线。

72

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数73

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数74

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数75

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数76

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数77

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2.幂函数783.指数函数

定义域为(-,+)，值域为(0,+)，都通过点(0,1),当a>1时，函数单调增加；当0<a<1时，函数单调减少。794.对数函数

对数函数是指数函数y=ax的反函数,定义域为(0,+),图形通过(1,0)点,当a>1时,函数单调增加；当0<a<1时,函数单调减少。80对数的基本性质：换底公式对数恒等式815.三角函数正弦函数余弦函数

y

=

sinx与y

=

cosx的定义域均为(-,+)，均以2p为周期。y

=

sinx为奇函数，y

=

cosx为偶函数。它们都是有界函数。82定义域:x(2n+1)p/2。周期:p。奇函数。正切函数定义域:xnp。周期:p。奇函数。余切函数83正割函数余割函数846.反三角函数定义域：值域：单调增加函数；奇函数.85定义域：值域：单调减少函数；无奇偶性.86xy定义域：值域：单调增加函数；奇函数.87反余切函数xy定义域：值域：单调减少函数；无奇偶性.88反三角函数值的确定：求arcsinx值的方法：

例1例2类似地有89由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到的一切函数统称为初等函数.二、初等函数例如，等等。本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.90例1是初等函数吗？利用对数恒等式解是初等函数。一般地，幂指函数也是初等函数：91例2分段函数是初等函数吗？解不是初等函数；符号函数是初等函数，因为

分段函数可能是初等函数，也可能不是。分段只是一种形式，不是函数的新类型。92第七节简单函数关系的建立一、简单函数关系的建立解例1求球的任意内接圆锥体的体积。xRrO设球的半径为R，球心到圆锥底面中心的距离为x，则93例2

有一工厂A与铁路的垂直距离为a公里，它的垂足B到火车站C的铁路长为b公里，工厂的产品必须经火车站C才能转销外地。已知汽车运费是m元/吨公里，火车运费是n元/吨公里(m>n),为使运费最省，想在铁路上另修一小站M作为转运站，那么运费的多少决定于M的地点。试将运费表示为距离|BM|的函数。BMCA

b

x

a设|BM|=x，运费为y。其定义域为[0,b]。解根据题意，有于是94例3某企业对某产品制定了如下的销售策略：购买不超过20公斤，每公斤10元；购买不超过200公斤，其中超过20公斤的部分，每公斤7元；购买超过200公斤的部分，每公斤5元。试写出购买量为x公斤的费用函数C(x).

解95二、经济学中几种常见的函数1、需求函数和供给函数P：价格D：需求S：供给需求函数：供给函数：常见的需求函数：(a,

b>0)需求函数的反函数有时也称为价格函数：962、成本函数

某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额。它由固定成本与可变成本组成。设C为总成本，C1为固定成本，C2为可变成本,`C为平均成本，Q为产量,则有总成本函数：C=C(Q)=C1+C2(Q)；平均成本函数：97例4

某工厂生产某产品，每日最多生产100单位。它的日固定成本为130元，生产一个单位产品的可变成本为6元。求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。解

设日总成本为C，平均单位成本为`C，日产量为x。

由于日总成本为固定成本与可变成本之和。根据题意，日总成本函数为

C=C(x)=130+6x，D(C)=[0,100]；平均单位成本函数为98总收益是出售一定数量的产品所得到的全部收入。总利润是生产一定数量的产品的总收益与总成本之差。平均收益函数：3、收益函数与利润函数设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益，C(Q)为总成本，则有总收益函数：R=R