复变函数往年课件4 3级数

第三节

泰勒级数一、泰勒定理二、将函数展开成泰勒级数三、典型例题四、小结与思考五、泰勒级数的应用一、泰勒定理10(z

),

n

=

0,1,

2,(

n)=

fn!n其中c设f

(z)是定义在区域D

上的函数，z0

为D内一点，如果f

(z)在z0

处解析，那么在z0

处附近f

(z)可以

展开成幂级数的形式：f

(z)

=n¥n=0cn

(z

-

z0

)这个级数称为泰勒级数，系数称为泰勒系数z0

=0

时，该级数又称为马克劳林级数利用柯西积分公式证明（略）设

f

(

z

)

在

z0

也可展开成幂级数:f

(z)

=

a

+

a

(z

-

z

)

+

a

(z

-

z

)2

+

+

a

(z

-

z

)n

+

,0

1

0

2

0

n

0那末f

(z0

)

=

a0

,

f

(z0

)

=

a1

,

即n!10f

(z

)

,(n)na

=因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而展开式是唯一的.问题1：展开式是否唯一？f

(

z

)

在

z0

已被展开成幂级数，其收敛域是一个以

z0

为圆心，

R

为半径的圆域，记为

K。R

如何确定？由泰勒定理的证明过程可知该圆域

K

可以尽可能大,它只要满足两个条件即可：K

完全包含在区域D

内f

(z

)在K

内解析，即K

内不含有f

(z

)的奇点如果f

(z

)在D

内有奇点,则R

等于z0

到最近问题2：“附近”到底是怎样一个范围？000一个奇点

a

之间的距离,

即

R

=

a

-

z

;不太严谨问题3：从形式上看复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多，为什么？复变函数的解析要比实函数的可导强很多！-

1

x2

,1

+

x21f

(

x)

=g(

x)

=

ex

„

0

,

0

,

x

=

0注意因为f

(z)解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.二、将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数n!10f

(z

)

,

n

=

0,1,

2,(

n)c

=n将函数f

(z)在z0

展开成幂级数.例如，求ez

在z

=0

的泰勒展开式.(ez

)(

n)

=

1,

(n

=

0,1,

2,)z=0故有e¥n=0n!2!

n!z2

zn=

1

+

z

+ +

+ +

=znz因为ez

在复平面内处处解析,所以级数的收敛半径R

=¥

.因为(ez

)(n)=ez

,仿照上例,可得sinz

与cosz

在z

=0

的泰勒展开式.sin

z

=

z

-

3!

+

5!

-

+

(-1)

(2n

+

1)!

+

,z3

z5

z2n+1n(

R

=

¥

)z2

z4

z2nncos

z

=

1

-

2!

+

4!

-

+

(-1)

(2n)!

+

,(

R

=

¥

)2.

间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.例如，利用间接展开法求sin

z

在z

=0

的泰勒展开式.2isin

z

=

1

(eiz

-

e-iz

)¥n=0z2n+1(2n

+

1)!(-1)=n=1

¥n=0¥-

n=0(-iz)n

n!n!(iz)n2i附:常见函数的泰勒展开式,n!2!

n!z2

zn¥n=0+

+ +

=znz1)

e

=

1

+

z

+¥=

1

+

z

+

z2

+

+

zn

+

=

zn

,n=01

-

z12)12

n

n3)

=

1

-

z

+

z

-+(-1)

z

+=1

+

z¥n=0n

n(2n

+

1)!3!

5!4)

sin

z

=

z

-

+

-

+

(-1)z3

z5

z2n+1n(

z

<

1)(-1)

z

,(

z

<

1)+,(

z

<

¥

)(

z

<

¥

)5)

cos

z

=

1

-

2!

+

4!

-

+

(-1)

(2n)!

+

,z2

z4

z2nn6) ln(1

+

z)

=

z

-

2

+

3

-

+

(-1)

n

+

1

+

,(

z

<

¥

)z2

z3

zn+1n¥n=0zn+1n

+

1(-1)=n(

z

<

1)=

1

+az

+

a

(a

-1)

z2

+

a

(a

-1)(a

-

2)

z3

+2!

3!7)(1

+

z)a

+

a

(a

-1)(a

-

n

+

1)

zn

+,n!(

z

<

1)三、典型例题例1

把函数展开成z

的幂级数.(1

+

z)21=1-

z

+

z2

-+(-1)n

zn

+1+

z1z

<

1在

z

=

1上有一奇点z

=

-1,(1

+

z)2解

由于1且在

z

<

1内处处解析,

可展开成

z的幂级数,

=

-1

+

z(1

+

z)1

12z

<

1.=

1

-

2z

+

3z2

-

+

(-1)n-1

nzn-1

+

,上式两边逐项求导,例2

求对数函数的主值ln(1

+z)在z=0

处的泰勒展开式.分析

ln(1

+

z)

在从

-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,

-1

是它的一个奇点,所以它在

z

=

1内可以展开成

z

的幂级数.如图,R

=

1o-

11xyz0

n=0z

¥dz

=

(-1)n

zndz0

1

+

z1即z2

z3

zn+1nln(1

+

z)

=

z

-

2

+

3

-

+

(-1)

n

+

1

+

z

<

1将展开式两端沿C

逐项积分,得解

[ln(1

+

z)]¢=1

+

z1¥(

z

<

1)=

1

-

z

+

z2

-+(-1)n

zn

+=

(-1)n

znn=0设C

为收敛圆z

<1内从0

到z

的曲线,展开成z

的幂级数.3z

-

21解1

-

3z例3

把函数

f

(

z)

=1

=

-1

13z

-

2

2222

2+(

)

++(

)

+]=

-

[1

+2

n3z21

3z

3z=

-2

-

22

-

23--

2n+1

-3n

zn32

z21

3z,23n

znn+1¥=

-n=03z

22

<

1,

即

z

<

3.例4求arctan

z在z

=0的幂级数展开式.解,dz因为arctan

z

=021

+

zz12

n21

+

z=¥n=0n(-1)

(z

)

,

z

<

1dz且所以arctan

z

=z021

+

z¥=zn0n=02

n(z

)

dz(-1),

z

<

1.2n

+

1(-1)z2n+1=¥n=0n例5

求cos2

z的幂级数.解2因为

cos2

z

=

1

(1

+

cos

2z),- +

+6!4!(2z)2

(2z)4

(2z)6cos

2z

=

1

-+

z

<

¥-6!2!

4!=

1

-

+26

z62!22

z2

24

z4所以cos2

z

=1

(1

+cos

2z)2=

1

--

+

z

<

¥+23

z42z26!25

z62!

4!四、小结与思考理解泰勒展开定理熟记五个基本函数的泰勒展开式掌握将函数展开成泰勒级数的方法，熟练准确思考题奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题答案奇函数的泰勒级数只含z

的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z

的偶次幂项.补充：泰勒级数的应用1.

解析函数零点的孤立性nn

0

0

0定义：若函数f

(z)在解析区域D内一点z0

处的值为0，则称z0

为解析函数f

(z)的零点.¥n=0=

f

(z

)

=

0由泰勒展开定理：f

(z)=c

(z

-z

)，此时有c定义：在上述展开式中若c0

=c1

=

=cm

-1

=0,cm

„0,则称z0

为解析函数f

(z)的m

阶零点.m

=1

时，称为简单零点。f

(

z

)

以

z0

为

m

阶零点mf

(

z

)

=

(

z

-

z0

)

j

(

z

)<R

内解析，且j

(z

0

)„0.z

-

z

0定理：设解析函数f

(z

)不恒为零，则其中j

(z

)在圆域零点的孤立性定理：设

f

(

z

)

在圆域

z

-

z0

<

R

内解析，且不恒为零，

f

(

z0)

=

0,则存在z0

的一个邻域Cr，在Cr

中f

(z

)只有一个零点z0

.