全书课件第二章第六章3讲

第3讲 等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理等比数列的概念如果一个数列从第

2

项起，每一项与它的前一项的比等于

同一个

常数（不为零），那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.an－1(n≥2，q

为非零常数)，或a＋n

1an+＝q(n∈N

，q

为非零常数).数学语言表达式：

an

＝

qn≠1

时，S

＝a1－anq＝1－q

.等比数列的通项公式及前n项和公式若等比数列{an}的首项为

a1，公比是

q，则其通项公式为

a

a1qn－1n＝

；通项公式的推广：an＝amqn－m.等比数列的前n

项和公式：当q＝1

时，Sn＝na1；当q a1（1－qn）1－q(2)如果三个数a，G，b

成等比数列，那么G

叫做a

与b的

等比中项

，其中

G＝

±

ab

.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝

am·an

.(2)等比数列{an}的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是

递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是

递减数列；当q＝1时，数列{an}是

常数列.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，akqm＋2m，…仍是等比数列，公比为

.当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn

.诊断自测a（1－an）1－a判断正误(在括号内打“√”或“×”)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数.(×)公比q

是任意一个常数，它可以是任意实数.(×)三个数a，b，c

成等比数列的充要条件是b2＝ac.(×)数列{an}

的通项公式是

an

＝

an

，则其前

n

项和为

Sn

＝.(

×

)(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8

成等比数列.(×)2.已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10A.7

B.5

C.－5

D.－7解析 法一

由题意得a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，4

5

2

9a5a6＝a1q

×a1q

＝a1q

＝－8，∴q3＝－2，a1＝1或q31a1＝－8，1＝－2，∴a

＋a101＝a

(1＋q9)＝－7.法二由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2.∴q3＝－2，a1＝1或q31a1＝－8，1＝－2，∴a

＋a101＝a

(1＋q9)＝－7.等于(

D

)n

1143.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a

}满足a

＝，3

5

4a

a

＝4(a

－1)，则

a2

等于(

)1C.1

D.2

8A.2

B.1解析4

4由{an}为等比数列，得a3a5＝a2，所以a2＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，43211

12得2＝

q

，解得q＝2，所以a

＝a

q＝

.选C.答案

C4.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝

.解析

由

an＋1＝2an，知数列{an}是以

a1＝2

为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝2（1－2n）1－2＝126，解得n＝6.答案

65.(2014·江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是

.解析因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.答案4考点一

等比数列基本量的运算【例

1】(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前

n项和.已知

a2a4＝1，S3＝7，则

S5

等于(

)A.15

B.31

C.33

D.172

4

4

2(2)在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝16，则

an＝

.(3)(2015·大连质量预测)设等比数列{an}的前

n

项和为

Sn，3

6S6若

27a

－a

＝0，则S3＝

.a1q·a1q3＝1，解析

(1)显然公比

q≠1，由题意得a1（1－q3）1－q＝7，解得a1＝4，1q＝2或a1＝9，q＝－31

(舍去)，5∴S

＝1a

（1－q5）1－q＝

1

41－251－2＝311

4.(2)

a7＝q3＝8，知q＝2，由a4所以an＝a4qn－4＝2·2n－4＝2n－3.1a6a3(3)设等比数列的公比为

q，首项为

a

，则

＝q3＝27.S6S3

＝a1＋a2＋…＋a6

a4＋a5＋a6

q3＋q4＋q5a1＋a2＋a3

＝

1

＋a1＋a2＋a3

＝

1

＋

1＋q＋q2＝1＋q3＝28.答案

(1)B(2)2n－3(3)28规律方法

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，

Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可

迎刃而解.【训练1】(1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与

3a3的等差中项，若

a2＝2，则该数列的前

5项的和为(

)A.3312B.31C.314D.以上都不正确(2)设{an}是首项为a1，公差为－1

的等差数列，Sn

为其前n

项和.若S1，S2，S4

成等比数列，则a1

的值为

.解析

(1)设{an}的公比为

q，q＞0.由已知得

a4＋3a3＝2×5a2，即a2q2＋3a2q＝10a2，q2＋3q－10＝0，解得q＝2或q＝－5(舍去)，又a2＝2，则a1＝1，所以S5＝a1（1－q5）

1×（1－25）1－q

1－2＝

＝31.n

n

12(2)因为等差数列{a

}的前n项和为S

＝na

＋n（n－1）d，所以S1，S2，S4

分别为a1，2a1－1，4a1－6.因为S1，S2，S4

成等比数列，1

1

1所以(2a

－1)2＝a

·(4a

－6)，解方程得a1＝－21.1答案

(1)B

(2)－2考点二

等比数列的性质及应用【例2】(1)公比为2

的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则

log2a10＝(

)A.4

B.5

C.6

D.7n

nS3(2)设等比数列{a

}的前

n

项和为

S

，若 ＝

，则S6

S9S63

＝(

)A.2

B.73C.83D.37解析

(1)法一

由等比中项的性质，得

a3a11＝a2＝16，又数列{an}各项为正，所以a7＝4.所以a10＝a7×23＝32.所以log2a10＝5.2n

3

11

7法二

由题意知

a

＞0，则

a

·a

＝a

＝

23a102

126210＝

a

＝24，所以

a2

＝210，解得

a

＝25.故

log

a

＝5.10

10

2

10(2)由等比数列的性质及题意，得S3，S6－S3，S9－S6

仍成6等比数列，由已知得S

＝3S3，∴S3S6－S3S6－S3＝S9－S6，S9＝7.3，∴S6

3即S9－S6＝4S3，S9＝7S答案

(1)B

(2)B规律方法

(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性

质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以

减少运算量，提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有

时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而

不求思想的运用.【训练2】(1)(2016·济南一模)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(

)(2)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝

.解析

(1)把

a1a2a3，a2a3a4，…，a7a8a9各看成一个整体，由题意知它们分别是一个等比数列的第1

项、第4

项和第7

项，这里的第4

项刚好是第1

项与第7

项的等比中项.因为数列{an的各项均为正数，所以

a4a5a6＝

（a1a2a3）·（a7a8a9）＝

5×10＝5

2.A.5

2

B.7

C.6

D.42(2)由a6a10＋a3a5＝41

及a6a10＝a2，a3a5＝a2，8

4得a2＋a2＝41.因为a

a

＝5，4

8

4

8所以(a4＋a8)2＝a2＋2a4a8＋a2＝41＋2×5＝51.4

8又an＞0，所以a4＋a8＝

51.答案

(1)A

(2)

51考点三

等比数列的判定与证明【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；

(2)求数列{bn}的通项公式.(1)证明

∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，1an＋1－1∴an－1

＝2，∴{an－1}是等比数列.又a1＋a1＝1，1

1∴a1＝2，又cn＝an－1，首项c1＝a1－1，∴c1＝－2，n公比q＝1

∴{c

}2.1

1是以－2为首项，以2为公比的等比数列.n(2)解

由(1)可知

c

＝—2·

21n－12

1

1n＝－

，21n∴an＝cn＋1＝1－

.∴当n≥2

时，1n

bn＝an－an－1＝1－

－1－

1n－1＝

2

2

21n－11n2

21n－

＝

.1221n又

b1＝a1＝

代入上式也符合，∴bn＝

.规律方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【训练3】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明

由

a1＝1

及

Sn＋1＝4an＋2，有

a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又Sn＋1＝4an＋2，Sn＝4an－1＋2，①②①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1).∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，故{bn}是首项b1＝3，公比为2

的等比数列.(2)解由(1)知

bn＝an＋1－2an＝3·2n

1，—∴an＋12＋n

1nan

32

4— ＝，故

an12

2n

是首项为，3n－14，公差为3

an

1

34的等差数列.∴2n＝2＋(n－1)·4＝得an＝(3n－1)·2n－