不等式的基本性质及解法

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不等式的基本性质及解法高中数学 适用年级 高中三年级通用 课时时长（分钟）120不等式的基本性质及定理、不等式的解法1.理解证明不等式的逻辑推理方法．2.掌握各类不等式的解法.1.掌握不等式性质定理.2.一元二次不等式、分式不等式、高次不等式解法.1.正确地对参数分区间讨论.2.灵活运用所学知识点解决问题.教学过程一、新课导入初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识谢谢阅读的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法.谢谢阅读二、复习预习1.不等式的定义.2.不等式的基本性质.3.不等式的基本定理及推论.4.一元二次不等式解法.5.分式不等式解法.6.高次不等式解法.7.无理不等式解法.8.指对数不等式解法.三、知识讲解考点1 不等式的定义及比较大小不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．感谢阅读（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）谢谢阅读（3）不等式研究的范围是实数集R．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a=b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：感谢阅读abab0abab0abab0考点2 不等式的基本性质定理1 如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b．(对称性)谢谢阅读即：a>bb<a；b<aa>b定理2 如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)谢谢阅读即a>b，b>ca>c定理3 如果a>b，那么a+c>b+c．即a>ba+c>b+c推论 如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)精品文档放心下载即a>b，c>da+c>b+d．定理4 如果a>b，且c>0，那么ac>bc；谢谢阅读如果a>b，且c<0，那么ac<bc．推论1 如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则)感谢阅读推论2 若ab0,则anbn(nN且n1)精品文档放心下载定理5 若ab0,则nanb(nN且n1)精品文档放心下载考点3 一元二次不等式ax2bxc>0(a≠0)感谢阅读任何一个一元二次不等式,最后都可化为:ax2bxc>0或ax2bxc<0(a>0)的形式,一元二次不等式的解集与其感谢阅读相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关:(1)若判别式=b2-4ac>0,设方程ax2bxc=0的二根为x1,x2(x1<x2),则谢谢阅读①a>0时,其解集为{x|x<x1,或x>x2}；精品文档放心下载②a<0时,其解集为{x|x1<x<x2}.(2)若=0,则有:①a>0时,其解集为{x|x≠-b,x∈R}；精品文档放心下载a②a<0时,其解集为.(3)若<0,则有:①a>0时,其解集为R；②a<0时,其解集为.谢谢阅读类似地,可以讨论ax2bxc<0(a≠0)的解集.感谢阅读考点4 绝对值不等式的解法不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解集1|x|<a(a>0)的解集为:{x|-a<x<a},几何表示为:精品文档放心下载.|x|>a(a>0)的解集为:{x|x>a或x<-a},几何表示为:谢谢阅读.考点5 分式不等式解法f(x)>0f(x)g(x)>0；g(x)精品文档放心下载f(x)<0f(x)g(x)<0；g(x)谢谢阅读f(x)≥0f(x)g(x)0；感谢阅读g(x)g(x)0f(x)≤0f(x)g(x)0谢谢阅读g(x)g(x)0考点6 高次不等式根轴法：奇穿偶不穿考点7 无理不等式f(x)0 定义域f(x) g(x)型g(x)0谢谢阅读(x)(x)

f(x)g(x)型g(x)f(x)f(x)g(x)型g(x)f(x)

00[g(x)]200[g(x)]2

f(x)0或g(x)0考点8 指对数不等式指数不等式：转化为代数不等式af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x); af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)精品文档放心下载af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb谢谢阅读对数不等式：转化为代数不等式f(x)0logf(x)logg(x)(a1)logf(x)logg(x)(0g(x)0;aaaaf(x)g(x)

f(x)0a1)g(x)0f(x)g(x)四、例题精析考点1 不等式的定义及比较大小1已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小.感谢阅读【规范解答】由题意可知：（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2∵x≠0 ∴x2＞0∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1【总结与反思】此题属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于精品文档放心下载限制条件的应用经常被学生所忽略.本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项.谢谢阅读2比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．谢谢阅读【规范解答】a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)精品文档放心下载=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)谢谢阅读＝(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]精品文档放心下载=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)3ab22b2=-(a-b)20(当且仅当d＝b时取等号)33∴a4-b44a3(a-b)【总结与反思】“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.谢谢阅读3已知x>y，且y≠0，比较x与1的大小．感谢阅读y【规范解答】1xyy∵x>y，∴x-y>0当y<0时，xy<0，即x<1y y当y>0时，xy>0，即x>1y y【总结与反思】变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论.感谢阅读考点2不等式的基本性质例4已和a＞b＞c＞d＞0，且ac，求证：a＋d＞b＋cbd【规范解答】abdcabcdbd∴（a－b）d＝（c－d）b又∵a＞b＞c＞d＞0∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且b＞1dabb＞1cdd∴a－b＞c－d 即a＋d＞b＋c.【总结与反思】此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速这道题不仅有不等式性质应谢谢阅读用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧.谢谢阅读例5 已知函数f(x)ax2c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.感谢阅读【规范解答】1acf(1)a3[f(2)f(1)]∵解得f(2)44acf(2)c1f(1)33f(3)9ac83f(2)53f(1)感谢阅读∵-4≤f(1)≤1,故(1)(5)(5)f(1)(4)(5)333又-1≤f(2)≤5,故88f(2)40333把(1)和(2)的各边分别相加，得：-1≤8f(2)5f(1)≤2033所以，-1≤f(3)≤20

(1)(2)【总结与反思】利用f(1)与f(2)设法表示a、c,然后再代入f(3)的表达式中，从而用f(1)与f(2)来表示f(3),最后运谢谢阅读用已知条件确定f(3)的取值范围.考点3 一元二次不等式不等式的解法例6 解关于x的不等式x2xa(a1)0.精品文档放心下载【规范解答】原不等式可以化为：(xa1)(xa)0感谢阅读a(a1)即a12则xa或x1a感谢阅读a(a1)即a12则(x12)20即x12,xR感谢阅读a(a1)即a12则xa或x1a.感谢阅读【总结与反思】结合二次函数图象求解，注意分类讨论.考点4 绝对值不等式的解法例7 解不等式|2x+1|+|x-2|>4．【规范解答】11x2xx2|2x+1|+|x-2|>422或或(2x1)(x2)42x1(x2)42x1x24x<-1或1<x≤2或x>2x<-1,或x>1.故原不等式组的解集是{x|x<-1或x>1}.精品文档放心下载【总结与反思】解含多个绝对值符号不等式的方法之一是:分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果.精品文档放心下载例8解不等式|x25x5|<1．精品文档放心下载【规范解答】原不等式可转化为-1<x25x5x25x51①<1即5x51②x2解不等式①,得解集为{x|1<x<4}；解不等式②,得解集为{x|x<2,或x>3}原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集,即{x|1<x<4}∩{x|x<2,或x>3}={x|1<x<2,或3<x<4}.精品文档放心下载故原不等式的解集是:{x|1<x<2,或3<x<4}.精品文档放心下载【总结与反思】解不等式时,一定要搞清楚各个不等式之间的交、并等的关系在本例中,不等式①和不等式②是“交”的谢谢阅读关系,必要时可借助数轴的直观作用特别要注意不等式是否带“=”号,只有这样,才能更准确无误地写出不等式的解集.感谢阅读考点5分式及高次不等式的解法9解不等式x23x2＜022x3【规范解答】根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x2－3x＋2）(x2－2x－3)＜0即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0可得零点x=－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）.精品文档放心下载由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}.【总结与反思】注意根轴法--奇穿偶不穿.考点6 无理不等式的解法例10 解不等式 3x4 x30.谢谢阅读【规范解答】∵根式有意义∴必须有：3x40 3 x又∵原不等式可化为 3x4 x3两边平方得：3x4x3解之：x12{x|x3}{x|x12}{x|x3}.精品文档放心下载【总结与反思】对于无理不等式，注意根式有意义的条件，然后平方再求解.精品文档放心下载考点7 指对数不等式的解法例11 解不等式3x1183x29谢谢阅读【规范解答】原不等式可化为：332x293x180感谢阅读(3x9)(33x2)0谢谢阅读解之 3x9 或3x23∴x>2或xlog 233∴不等式的解集为{x|x>2或xlog 2}谢谢阅读33【总结与反思】解指数不等式，要结合指数函数的图像与性质综合处理.谢谢阅读例12解关于x的不等式：log(43xx2)log(2x1)aa

log 2,(a0,a1)a【规范解答】原不等式可化为log(43xx2)log2(2x1)aa当a>1时有:2x101x210243xx21x4x243xx22(2x1)3x2当0<a<1时有:2x101x0243xx21x42x443xx22(2x1)x3或x2∴当a>1时不等式的解集为12x2；谢谢阅读当0<a<1时不等式的解集