数列求和专题研究

专题研究：数列求和教学目标1．掌握数列求和的几种常用方法，能熟练运用这些方法解决问题。2.培养学生分析问题、解决问题的能力，归纳总结能力，联想、转化、化归的能力。3.培养学生用数学的观点看问题，让学生认识到事物是普遍联系，发展变化的。重难点重点：非等差、等比数列的求和；难点：非等差,等比数列的求和如何化归为等差,等比数列的求和。三、教学过程1：情景引入提出问题：我们已经总结了求数列通项公式的几种方法，还学习了两个特殊的数列等差数列和等比数列的通项公式及求和公式，那么对于不是等差和等比的数列的和如何去求呢？2：新课讲授题型一倒序相加法回忆等差数列前n项和公式的推导过程：如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的。例1：若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为.【解析】fan＝f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋f(1)2an倒叙相加法：如果一个数列{an}，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．题型二错位相减法回忆等比数列前n项和公式的推导过程：如果一个数列{an}，可以看成一个等差与等比的乘积，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法法，如等比数列的前n项和即是用此法推导的。例2已知an＝eq\f(n＋1,2n＋1)，求{an}的前n项和Tn.【解析】Tn＝eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋eq\f(4,24)＋…＋eq\f(n＋1,2n＋1)，①eq\f(1,2)Tn＝eq\f(2,23)＋eq\f(3,24)＋eq\f(4,25)＋…＋eq\f(n＋1,2n＋2)，②①－②得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(2,22)＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＋eq\f(1,25)＋…＋eq\f(1,2n＋1)－eq\f(n＋1,2n＋2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\f(1,23)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1))),1－\f(1,2))－eq\f(n＋1,2n＋2)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2n＋1)－eq\f(n＋1,2n＋2)，所以Tn＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n)－eq\f(n＋1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(n＋3,2n＋1).错位相减法：(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积组成，此时求和可采用错位相减法．(2)运用错位相减法求和，一般和式比较复杂，运算量较大，易会不易对，应特别细心，解题时若含参数，要注意分类讨论．题型三通项分解法例3（1）数列1，eq\f(1,2)，2，eq\f(1,4)，4，eq\f(1,8)，…的前2n项和S2n＝________．【解析】S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋(eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,2n))＝2n－1＋1－eq\f(1,2n)＝2n－eq\f(1,2n).(2)(2021·沧州七校联考)数列1，6，5，20，…，2n＋(－1)nn，…的前2n项和T2n＝___________．【解析】T2n＝1＋6＋5＋20＋…＋[22n＋(－1)2n×2n]＝[21＋(－1)1×1]＋[22＋(－1)2×2]＋[23＋(－1)3×3]＋…＋[22n＋(－1)2n×2n]＝(21＋22＋23＋…＋22n)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n×2n]＝eq\f(2（1－22n）,1－2)＋n＝22n＋1＋n－2.通项分解法：将数列中的每一项拆成几项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称为通项分解法，运用这种方法的关键是通项变形．题型四裂项相消法例4求和：(1)Sn＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）).(2)Sn＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,2×4)＋…＋eq\f(1,n（n＋2）)；(3)Sn＝1＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,1＋2＋3)＋…＋eq\f(1,1＋2＋…＋n)；【解析】(1)∵an＝eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，∴Sn＝eq\f(1,2)[(1－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋…＋(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).(2)∵an＝eq\f(1,n（n＋2）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，∴Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,2（n＋1）（n＋2）).(3)∵an＝eq\f(2,n（n＋1）)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))]＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1).裂项相消法：在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变．在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{an}的通项公式，达到求解的目的．常见的裂项类型有：(1)eq\f(1,n（n＋k）)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k))).(2)eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))