第二章-有限差分法的基本概念课件

课件邮箱：nmofpde@163.com密码：2014fengxiaoli课件邮箱：nmofpde@163.com密码：2014fen1数值求解过程：1．区域剖分2．微分方程的离散3．初始和边界条件处理4．离散系统的性态研究

（误差分析）有限差分法数值求解过程：1．区域剖分2．微分方程的离散3．初始和边界条2第２章

有限差分方法的基本概念有限差分方法优点：1、概念清晰；2、方法简单，直观；3、系数矩阵有很好的结构和性质。第２章 有限差分方法的基本概念有限差分方法优点：3有限差分法步骤：Step1.将定解区域离散化为网格离散节点的集合;Step2.将待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程组;Step3.根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值——离散解．有限差分法步骤：Step1.将定解区域离散化为网格离散节点的4§1

有限差分格式(1.1)⎧

u

au

0⎪

t

x⎨x

R, t

0x

R⎪⎩u(x,

0)

f

(x)以最简单一维对流方程为例，引入用差分方法求偏微分方程数值解的一些概念，说明求解过程和原理．考虑对流方程的初值问题§1 有限差分格式(1.1)⎧uau5t

tn

n

x

x

j

jhn

0,1,

2,-j

0,

1,

2,-网格剖分可以采用两组平行于x轴和t轴的直线形成的网覆盖区域D，它们的交点称为网格点（节点）节点(x

j

,

tn

)记为(

j,

n).间距h

0称为空间步长，间距

0称为时间步长．1

网格剖分(区域的离散化）xt0n

)(xj

,

tttnnxxj jhn06f

(n)(x

)Rn

(x)

0 (x

n!

x0)n

设

f

(x)

在

x0

的某个邻域

U

(x0

,

)内具有直到n

1阶的导数，则

x

U

(x0

,

)

有f

(x)

f

(x0

)

f

(x0

)(x

x0

)

-

R

(x)是余项，且R

(x)

o((x

x

)n

)(x

x

)．n n 0 02

用Taylor级数展开方法建立差分格式f(n)(x )Rn(x) 0 (xn!x07(1.2)(1.3)(1.4)j nj nj nhh

),

(j n1

j nu(x

,

t )

u(x

,

t )u(x

,

t )

O(txx设u是方程(1.1)的解，对于任何节点(

j,

n)，u的微商与差商之间的关系式向前差商）u(xj

1,

tn

)

u(xj

,

tn

)

u(x

,

t )

O(h),

(向前差商）u(xj

,

tn

)

u(xj

1,

tn

)

u(x

,

t )

O(h),

(向后差商）j n2hxu(xj

1,

tn

)

u(xj

1,

tn

)

u(x

,

t )

O(h2

),

(中心差商）

(1.5)(1.2)(1.3)(1.4)j nj nj nhh),8(1.6)j n j n

u(x ,

t )

a

u(x ,

t )

0,t

x由于u是方程(1.1)的解，所以满足(1.7)h

O(

h),因此从(1.2)和(1.3)得到u(xj

,

tn1)

u(xj

,

tn

)

a

u(xj

1,

tn

)

u(xj

,

tn

)(1.6)j n j nu(x ,t )a 9(1.8)j jjhj

1un1

un

unun

a

0为了保证逼近精度要求，实际取步长h与

是较小的量，特别在进行理论分析的极限过程中它们都趋向于零．这样可以用方程nj jun1nj

1

u

a(uun

),j

0,

1,

2,-jn

0,1,

2,-,

(1.9)近似代替，其中un表示u(x

,

t

)的近似值．j j n将(1.8)改写成便于计算的形式这里

/

h称为网格比．(1.8)j jjhj1un1un unun10(1.10)j jjjjhj

1⎧un1

un

unun

a

0⎪⎨⎪u0

f⎩(1.8)和(1.9)称为方程(1.1)的（有限）差分方程．问题(1.1)中的初始条件的离散形式是u0

f

f

(x ), j

0,

1,

2,-,j j j初值问题(1.1)的差分格式(显式右偏格式）

(1.11)(1.10)j jjjjhj1⎧un1un u11n+1njj+1xtn=3n=2n=1n=0j=012345显格式：计算时不用n+1层还未计算出的节点．两层格式：计算n+1层时只用到n层数据，前后仅涉及到两个时间层．jun1n+1njj+1xtn=3n=1n=0j=012345显格式12(1.12)(1.13)j jjjj jjh2hj⎧un1

unun

unaj j1

0⎪⎨⎪u0

f⎩⎧un1

un

ununaj

1 j1

0⎪⎨⎪u0

f⎩对同一微分方程可以建立种种不同形式的差分格式．在(1.1)中u对t采用向前差商，u对x采用向后差商和中心差商得(左偏格式）（中心格式）(1.12)(1.13)j jjjj jjh2h⎧un13(1.14)⎧u

2u⎪

tax2

,⎨x

R, t

0,x

R,⎪⎩

u(x,

0)

f

(x),考虑扩散方程的初值问题(1.15)j jjjh2j

1⎧un1

un

un2un

unaj j1

0⎪⎨⎪u0

f⎩j

0,

1,

2,-,差分格式：(1.14)⎧u 2u⎪tax2,⎨x143

积分方法2 2j jnn1D

{(x,

t)

|

x

h

x

x

h

,

t

t

t

}选定积分区域oxj-1jj+1tn+1n3积分方法2 2j jnn1D{(x,t)|15nD Dj 2 j 2h2n jx

j

hx

j

2u 2u2

[u(t

,

x)

u(t ,

x)]dxh n n

a

n1

[

u

(t,

x

)

u

(t,

x

)]dtt h hx

xuu

a[ (t

,

x

xxt对(1.14)积分有：

t

dxdt

a

x2

dxdt应用数值积分可得：[u(tn

,

xj

)

u(tn

,

xj

)]hn j 2h)

(t

,

x

)]nD Dj 2 j 2hn jxjhxj216jn j 2x

jn j 2xj1n n j

1n n j n j

1x

j1u

(t ,x)dx

u(t ,

x)

u(tn

,

x

j

)xxu

(t ,

x

h)h

u

(t

,

x)dx

u(t

,

x

)

u(t

,

x

)x

x[u(tn

,

x

j

)

u(tn

,

xj

)]h2

a[u(tn

,

x

j

1)

2u(tn

,

x

j

)

u(tn

,

x

j

1)]x∵

u

(t ,

x

h)h

jjh2j

1j

1un1

un

un2un

un

a即：

j积分方法也称为有限体积法．jn j 2xjn j 2xj1n n j1n n 17有限体积法（Finite

Volume

Method）又称有限容积法、控制体积法基本思路：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。有限体积法（FiniteVolumeMethod）又184

隐式差分格式(1.16)⎧u

2u0

x

l, t

0a

x2⎪⎪

t⎨⎪⎪⎩考虑扩散方程的初边值问题(1.17)j jj jh2j

1⎧un

un1

un2un

unaj j1

0⎪⎪u0

f⎨⎪⎪un

0,un

0,0 Jj

0,...,

J

,n

0⎩u(x,

0)

f

(x) 0

x

lu(0,

t)

u(l,

t)

0 t

0差分格式：4隐式差分格式(1.16)⎧u 2u0x19有限差分格式在新时间层上包含有多于一个节点，这种有限差分格式称为隐式格式．适用于求解微分方程的初边值问题或者满足周期条件的初值问题．0(1.18)njjjjnnJunj

1j

1au

(1

2a)u

au u

0,

u

0,⎧⎪⎨⎪⎩

0写成下列等价形式：n

un1，f

，j

0,...,

J

,n

0，有限差分格式在新时间层上包含有多于一个节点，这种有限差分格201Tnn2f ,

f,...,

fn1

0nJ

1⎤⎥⎢a⎢⎢A

⎢⎥⎥⎥⎥⎥

a

⎥

a

1

2aa⎢⎢⎢⎢⎢⎣n⎥1

2a

⎥⎦AU

U

,U

.⎡1

2a

a1

2a.a.......1 2nn nnJ

1令

U

u ,

u ,...,

uT，则上式可写为：1Tnnf ,f,...,fn1 0n⎤⎢a⎢21严格对角占优，对称三对角阵；可用追赶法求解；显格式计算简单、快捷，但稳定性一般比隐格式差；隐格式求解线性方程组，计算复杂、工作量大，但隐格式一般数值稳定，且可采用较大的时间步长．严格对角占优，对称三对角阵；可用追赶法求解；显格式计算简单22§2

有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性1、差分格式能否任意逼近微分方程相容性2、差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解收敛性3、差分格式的计算过程是逐层推进的，前面各层误差的影响是否会导致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖稳定性4、差分格式解的存在性、唯一性§2 有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性1、差分格式能否任23h j hLun

0,对于齐次问题，可以将微分方程和差分方程记为Lu

0，其中L是微分算子其中L

是相应的差分算子1

截断误差j jjhj

1t

xun1

un

ununa方程(1.1)微分算子L为 Lu

u

a

u格式(1.8)相应差分算子L

为 Lun

h h jh j hLun0,对于齐次问题，可以将微分方程和差24(2.1)设u是所讨论的微分方程的充分光滑的解，将算子L和Lh分别作用于u(x

j

,

tn

)，记两者的差为Ｔ(x

j

,

tn

)，即h

u(xj

,

tn1)

u(xj

,

tn

)

a

u(xj

1,

tn

)

u(xj

,

tn

)(

u(xj

,

tn

)

a

u(xj

,

tn

))t x

O(

h)Ｔ(x

j

,

tn

)

Lhu(x

j

,

tn

)

Lu(xj

,

tn

)称Ｔ(x

j

,

tn

)为截断误差．讨论格式(1.8)的截断误差即Ｔ(x

j

,

tn

)

Lhu(x

j

,

tn

)

Lu(xj

,

tn

)(2.1)设u是所讨论的微分方程的充分光滑的解，将算子L25我们也用“精度”一词说明截断误差．一般，如果一个差分格式的截断误差Ｔ

O(

q

hp

)，就说差分格式对时间t(

)是q阶精度的，对空间x(h)是p阶精度的．特别，当p

q时，说差分格式是p阶精度的．差分格式(1.13),(1.15),(1.17)都是对t(

)一阶精度，对x(h)二阶精度．而差分格式(1.11)是一阶精度格式．我们也用“精度”一词说明截断误差．对空间x(h)是p阶精度的262 222txx

x⎧⎪Δtv

x,

t

v

x,

t

Δt

v

x,

t

⎨Δv

x,

t

v

x

Δx,

t

v

x,

t

⎪⎩⎧⎪Δtv

x,

t

v

x,

t

v

x,

t

Δt

⎨Δv

x,

t

v

x,

t

v

x

Δx,

t

⎪⎩⎧

v

x,

t

v

⎛

x,

t

1

Δt

⎞

v

⎛

x,

t

1Δt

⎞⎜

⎟

⎜

⎟⎪⎪⎝⎠

⎝⎠⎨⎪

v

x,

t

v

⎛

x

1

Δx,

t

⎞

v

⎛

x

1

Δx,

t

⎞⎜⎟

⎜⎟⎪⎝⎠

⎝⎠⎩定义差分：一阶向前差分一阶向后差分一阶中心差分2 222txxx⎧⎪Δtvx,tv27

222x

v x,

t

⎡

v

x,

t

⎤x

⎣

x⎦

⎡v

⎛

x

1

Δx,

t

⎞

v

⎛

x

1

Δx,

t

⎞⎤⎟

⎜x

⎢

⎜⎟⎥⎠

⎝⎣

⎝⎠⎦类似可定义高阶差分，如：22oxx

xΔ

v

x,

t

1

(ΔΔ

)v

x,

t

1

[v

x

Δx,

t

v

x

Δx,

t

]

v

x

Δx,

t

2v

x,

t

v

x

Δx,t

两个区间上的中心差分： 222x v x,t ⎡ v x,282Δtu

x,

t

u

x,

t

u

x,

t

u

x,t

1

u

2

1

u 32 3t

2

t

2

x,

t

6

t3

x,

t

...级数形式u 1

2u=

t

x,

t

2

t

2

x,

余项形式，在t和t+

之间

24224x

u1

u

u x,

t x,

t h x2 12

x4

2u

2

1 4u 4x,

t h

,

t

hx2 12

x4x,

t h

... 级数形式余项形式，在x和x+Δx之间j jjunh2j

1j

1un1

un2un

una

0以扩散方程为例，差分格式：2Δtux,tux,t29

22223424orxah2

u x,

t1x,

t

tΔ

u x,

t

⎞⎛

1

2u1

3ua 4ux,

t

...

x,

t h

...⎜⎟2

t6

t12

x⎝⎠a 4ux,

2

t12

x差分算子

u

2ut x,

t

a

x2

x,

t

微分算子

,

t

h⎛

1

2u2

⎞⎜⎟⎝⎠级数形式余项格式 22223424orxa30

222hxT x,

tah21t

Lu

LuΔ

u x,

t

u x,

t

01

2ua 4u

h

...2

t

2 12

x41

2u

a

4uT

x,

t

x,

,

t

h2

t

2 12

x4

O

O

h2

截断误差：截断误差的主项（主部）： 222hxT x,tah21tL31截断误差T

(xj

,

tn

)是在(x

j

,

tn

)点上差分方程近似微分方程的误差．

,

h越小，误差越小．求差分格式的截断误差:

将相应问题的充分光滑解代入差分格式，再进行Taylor级数展开．222 4xh2

u(x,

t)1 1(

,

t)tT

(x,

t)

Δ

u(x,

t)

a

uah

u

(x,)

2

t

2 12 t

4对扩散方程隐格式，有：截断误差T(xj,tn)是在(xj,tn)点32j jjj jjh2u2j

1j

1n1n1nj

1j

1un1

un1

un2un

una

0

u

2a(u2un

un

)对于扩散方程，还可以建立差分格式：称作Richardson格式，或写为：j-1 j j+1n+1nn-1截断误差为：T

(x,

t)

O(

2

)

O(h2

)三层格式：计算第n+1层用到n,n-1层节点多层格式：多于两层的差分格式j jjj jjh2u2j1j1n1n1nj33jm njuj

1nj

m⎧Pun

unP u ⎨⎪⎩定义空间平移算子：P

:

⎪２

相容性k nun1

nk

l

L

u

j h j

k j k差分格式写成算子形式：la P

u ,

a

是依赖于

,

h的系数．若当h,

0时，T

xj

,

tn

0，则称差分格式与定解问题是相容的．jm njuj1n⎧PununP u ⎨定义空34

njj nnnjj nju x ,

t

u

00时，差分格式的解u

u

x

,

t

，即e

收敛性：当h,

．３

收敛性

nj这里u

x,

t

是微分方程之解，u

是差分格式之＂真解＂，（真解指在求解差分格式过程中，忽略了各种误差，如舍入误差，也就是说求解差分格式的过程是严格精确的）． njj nnnjj nju x ,tu 35

0jjnjnnnjjjmnmjunhor

uj

1n1nmj

nmm0un1

unj juna

1

a

a

P

uu

⎡

1

a

a

P⎤u

⎡

1

a

a

P⎤

f⎣⎦⎣⎦

a

fn

C 1

aEx1:对流方程：ut

aux

0, a

0考虑差分格式：

0,,=

/h可见，上述差分格式计算un时要用到初始条件在点集x

j

,

x

j

1,...,

x

j

n上的值． 0jjnjnnnjjjmn36tx特征线(xj

,tn

)xj

atn

xjxjn

nj n j改变初始条件

f

x在xj

atn上的值，必然改变微分方程之解在

x

,

t

上的值．而对上述差分格式来讲，u 依赖于x

j

,

x

j

1,...,

x

j

n，x

j

atn不在此集合．因此差分格式之解不能收敛到微分方程之解，即差分格式不收敛，因此，当a

0时，不能用此格式．如图，对流方程在点xj

,

tn

的解的依赖区域是x轴上的一个点x

j

atntx特征线(xj,tn)xjatnxjxjn37x

2122⎧⎪ut

auxx

0, x

R,t

0⎪⎩u

x,

0

f

x,

x

R⎛

⎞G

x

2exp

⎜

⎟2⎜⎟⎝⎠Ex2:扩散方程初值问题：⎨解析解：u

t,

x

RG

2at

x

y

f

y

dy

G

2at

u0

xjjnjun

uj

1j

1n1h2nj

1j

1un1

unj j2un

una

0

1

2aa

uun差分格式：改写成：u（1）x212⎧⎪utauxx0, xR,t38

njjj nh2uun1j n1nj

1j

1

nnj

1u

xj

,

tn1

u

xj

,

tn

T

xj

,

tn

u

xj

1,

tn

2u

xj

,

tn

u

xj

1,

tn

a⎡⎤u x ,

t1

2au

u x ,

t⎣⎦au

x ,

tu截断误差：改写成：u

xj

,

t

n1

1

2a

u

xj

,

t

n

a

⎡⎣u

xj

1,

t

n

u

xj

1,

t

n

⎦⎤

T

xj

,

t

n

（2）（1）（2），得：

j

1

nj n⎡

u

x

,

t

⎤T

x

,

t

⎣⎦ njjj nh2uun1j n1n39

2nj jj njnjj nn jjjnnn

en1nj

1j

1en1nj

1nj

1

1

2a

e

a

e

en

T

x

,

t

1

2aa

ea

e

T

x

,

t

1

2a

E

a

E

a

E

M

h

En

M

h

2∵T

xj

,

t

n1

O

O

h

2即：e若1

2a

0，即2a

1，有而

T

xj

,

t

n

M

h

2令E

sup

en则有：en1 2nj jj njnjj nn40

20n 00 jj j jj 0 jjnn jj nu x ,

thE :

u

u x ,

0

f

x

f , e0

0,

E

supe0

0从而

En1

En

M

h

2递推得

E

E

nM

从而有 En

nM

h 2假定初边值问题中t

T，则n

T，从而En

TM

h 2令

,

h

0，则有E

0，即u

结论：当2a

1时，差分格式收敛．相容不一定收敛，收敛性是个难题． 20n 00 jj j jj 0 41jj

l

j

l

1

j

l利用差分格式计算时是按时间逐层推进的．例如二层格式，计算n

1层上的值un1时，要用到第n层上计算出来的结果un

,

un,...,

un

．而计算时的舍入误差（n

0时是初始数据不精确）必然会影响到n

1层上的值，因此需要分析这种误差的传播情况．希望误差的影响不会越来越大，以致掩盖差分格式解的面貌，此即稳定性问题．4 稳定性jjl jl1 jl利用差分格式计算时是按时42

jjnjun1

nnj

1

u

a

uuEx1:考虑对流方程ut

aux

0, a

0的差分格式的稳定性．仅考虑初始误差的传播情况，不考虑逐层计算过程中的舍入误差，设初始误差绝对值为，符号交替取"

",""，差分格式的解在x

j

,

t

n

处的误差为： jjnjun1 nnu a uuEx143nj当n

时，

（ a

0

固定，）不稳定；a

0时，若1

2a

1，即

a

1，则稳定．

nmnjm

nnmmnm

nCnmj

nmm0nmj

nmj

nmm0nmm01

aa

g

C1

aa

1nm

1

aa

1

2aj n mnn

C∵unj当n时，（ a0 固定，）不44⎧1,x

0.5⎩数值实例：a

1，g(x)

⎨0,

x

0.5时的结果．1.0

1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.810.5t差分解x精确解1⎧

⎪1,

x

2

0.81

1.31⎨⎪⎩0,x

1.31精确解u

x,

t

g

x

t

，取h

0.1,

0.9,即

0.09．n

9,

t

n

9

0.09

0.81．u

x,

t

g

x

0.81⎧1,x0.5⎩数值实例：a1，g(x)452u

x,

t

⎪⎨⎩⎪0,x

1.4

1.0,即

0.1,t

n

0.9．⎧1,

x

1

0.9

1.4x1.40.90.5t精确解x1.50.990.5tu

x,

t

⎨⎩0,x

1.49

1.1,即

0.11,t

n

0.99⎧1,x

1.49振荡!2ux,t⎪⎨⎩⎪0,x46分析和数值实例说明，稳定性不仅与差分格式本身有关，还与网格比有关．下面主要考虑初值问题（包括可进行周期延拓的初值问题）的差分格式的稳定性，即考虑初值误差的传播．j h j差分格式统一写成：un1

L

unLh是依赖于

,

h的线性差分算子，对变系数PDE，Lh还依赖于x

j

,

t

n，这里仅考虑只依赖x

j而不依赖t

n的情况．分析和数值实例说明，稳定性不仅与差分格式本身有关，还与网格47

2nnjnjhunu⎛⎞1

2

⎜⎝

j

⎟⎠递推下去，有：un

Lnu0

．j h j为度量误差及其他应用，引入范数h ，u

u00nnj h j j jjj

nn1

n

K

0h h对差分格式u

L

u

，设u

有误差

，引起u

的误差

，若K

0,

s.t.当

0,n

T时，一致地有：即n步误差可由初始误差来控制,则称差分格式关于初值稳定． 2nnjnjhunu⎛⎞12⎜⎝48hLnun

K

K u0h h对线性差分格式，稳定条件有两个等价形式：1.K

0,

s.t.当

0,n

T时，一致地有：2.K

0,

s.t.当

0,n

T时，一致地有：

K

0对非线性差分格式，只能用

nhLnunKK u0对线性差分格式，稳定条件有两个等495

Lax等价定理（Lax，1953，收敛性与稳定性的关系）Th2.1：对适定的线性初值问题，若差分格式相容，则差分格式的稳定性是收敛性的充要条件．（1）证明收敛性往往困难，而判别稳定性较易，有许多方法和准则．利用Lax等价定理

，收敛性的判别就转化为稳定性的判别．（2）定理使用的条件：初值问题（包括周期性边界条件的初边值问题）；初值问题适定；初值问题线性，对非线性问题可能不成立．5Lax等价定理（Lax，1953，收敛性与稳定性的关系）50

^^1v x edxi

x2v

e d

1 2i

xv

v x ——FT——IFT§3 研究有限差分格式稳定性的Fourier方法1

Fourier变换设v

x

L2

R, ^^1v x edxix2v e51

22^v

xv

edd

1

2v

d

i

x

dx

则：v

x

——Fourier积分公式性质：Parseral等式即在平方积分的范数意义下，Fourier变换保持了度量． 22^vxv edd152⎧u

au

0,⎪

t

x⎨x

R,

t

0,x

R⎪⎩u(x,0)

g(x),对流方程的初值问题2

Fourier方法0)nnj jjjun1nj

1⎧

u

a(u

u⎪⎨u

gj

g(xj

)⎪⎩以差分格式（1.12）为例进行讨论⎧uau0,⎪t x⎨xR,53

2 22nn jj jjj jU x,

t

u

,x

h

x

x

h(x)

g

x

,x

h

x

x

h扩充这些函数的定义域使其在整个实轴上有定义nn nU

x,

tn1

U

(x,

t )

a

U

(x,

t

)

U

(x2

h,

t

)对任意x

R,(x,

t)

(xj

,

tn

),上式是有意义的．由此得出:Uˆ

(k,

tn1)

⎡⎣1

a(1

e )⎤⎦Uˆ

(k,

tn

)ikh 2 22nn jj jjj jU x,tu ,x54Uˆ

(k,

tn1

)

G(

,

k

)Uˆ

(k,

tn

)G

,

k

称为增长因子．G

,

k

1

a

(1

e

ikh

)h可以通过

和来表示．G(

,

k)与n无关Uˆ

(k,

tn

)

G(

,

k)

Uˆ

(k,

t0

)nUˆ(k,tn1)G(,k)Uˆ(55

22220ˆˆnnUUk,

t

dkk,

t dk

KU i,

t2

K2Uˆ

i,

t

K

20U

i,

t0

2

Ui,

tn

K2 2U

i,

t0

2设增长因子G

,

k

的任意次幂是一致有界,界为K，即||G(

,

k)n||

K由Parseval等式有常系数的差分格式（1.12）是稳定的. 22220ˆˆnnUUk,t dk56如果是常系数稳定hunG(

,

k

)n

K稳定

K

u0hG(

,k

)n

K常系数差分格式稳定的充分必要条件:存在常数

0

0,

K

0,

使得

0n

T

,

k

R时,

有

G(

,

k

)n

K

.如果是常系数hunG(,k)nK稳定K u057

Tp1 2 p i i设

x,

y

Ω

R2

,

y可以是时间变量t．向量函数u

u

,

u ,-,

u

R

，其中u

u x,

y ,

i

1,-,

p．已知连续向量函数h

x,

y,

u

R

p，矩阵函数A

x,

y,

u

Rp

p．3

一阶方程组3.1方程组u

A

x,

y,

u

u

h

x,

y,

u

0y x称为一阶拟线性方程组，头两项是主部． Tp1 2 p i i设x,yΩ58若A与u无关，即A

A

x,

y

，且h

x,

y,

u

B

x,

y

u

q

x,

y

,⎪⎨⎪⎩其中B

Rp

p

,

q

R

p，则称3.1是线性方程组．若A、B、q是常数矩阵，常数向量，即与x、y无关，则称（3.1）是常系数方程组．分类：⎧椭圆型：对固定的

x,

y,

u

,

A

x,

y,

u

x,

y

无实特征向量，⎪双曲型：A有p个线性无关的实特征向量，此时A有p个实特征值（重特征值重复计数）⎪严格双曲型：A有p个互异的实特征值．若A与u无关，即AAx,y，且hx,59⎧⎪x

1s⎪⎩

y

2s特征：若x

y平面上的曲线⎨满足1

's

1

s

,2

s

,

u

1

s

,2

s

2

's

0—

—特征方程则称为方程组的特征曲线，其中是

A

x,

y,

u

x,

y

在曲线上的特征值．⎧⎪x1s⎪⎩y2s特征：若x60

1 2Tw,

wv,w

x1⎤

w⎪⎪

yw

⎡0⎢1⎨wwy0

⎥

x⎣

⎦⎪

2

1x⎪⎩

yA

⎡0⎢1 0

⎥⎣⎦Ex

1：在Cauchy

Riamann方程组中，令w1

u,

w2

⎧w1

w2，方程组可写成即1⎤无实特征向量，方程组是椭圆型的。 1 2Tw,wv,wx1⎤ w⎪⎪61a

0dt

t

x

dt

t

xEx

2：一维对流方程

u

a

u

0t x双曲型的特征方程：dx

adt

0实特征线：

x

at

是常数沿某条特征线x

at

，方程解为u

x,

t

u

at

,

t

,则有

du

u

u

dx

u

a

u

0，即沿特征线，u

常数．a0dt t x dt t xEx2：一62稳定性概念及相关的Fourier方法的推导都可以推广到线性常系数差分方程组．c2⎧u0

0,⎪⎪

t 0

x⎨

u

0⎪⎪⎩

t 0

xu和分别表示质点速度和密度，初值u

x,

0

v

x,

x,

0

x．稳定性概念及相关的Fourier方法的推导都可以推广到线性630

0

0),j jjnjjjnjc2unc200

2h2h2h

2hn1nj

1nj

1n1n0 j

1j

1⎧un1

un

nnj

1 j1

0,⎪⎪

un

j

1 j1

0⎨⎪⎪⎩⎧un1

un

(

⎪⎪

j

(u

un

)⎪⎪⎩建立差分方程组改写为⎨0 00),j jjnjjjnjc2unc20640000000Tj j jnjj2h

nj

n1jnj

1nj

1n1⎡0c2

⎤⎡0c2

⎤

⎢

0

⎥

0

⎥⎢

⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎥⎥⎦⎡0c2

⎤⎢

0

⎥⎢⎣

2h⎥⎦

1u2h

u⎢⎣

2h 0u 2h

uuA T u令un

⎡⎣un,

n⎤⎦

，采用平移算子T,

上式也可以写成1其中A1

⎢

2h0⎥，A0

I，A1

A1．0000000Tj j jnjj2h n 65

jj j jjjnj j j

n n pn1p

p

l

ln1(x,

)

RC(x ,

)

uAx ,

T u ,

u

R ,

AA一般的差分方程组可以写成l由于h

g(

),即h和

满足一定关系，所以在A

(x,

)中仅标出．令lx ,

T

，则u

C(x ,

)u

．（3.2）C(xj

,

)称为差分算子． jj j jjjnj j j n n p66jj j j jun

⎡C(

x ,

)⎤n

u0．如果C(

x ,

)不依赖x

，则为⎣

⎦常系数差分方程组，则可利用Fourier积分得到：Uˆ

(k,

t )

G(

,

k

)Uˆ

(k,

t ),n1 nUˆ

(k,

tn

)

G(

,

k

)

Uˆ

(k,

t )，n0Uˆ

(k,

t )

Rp

,G(

,

k

)

Rp

p，nG

,

k

为增长矩阵．差分格式(3.2)稳定的充分必要条件是存在常数

0，K．使得当

0

,

n

T

及所有k

R有G

,

k

n

Kjj j j jun⎡C(x ,)⎤nu0．如67j

(G

,

k

)

1

M

,

j

1,

2,-,

p定理3.1：差分格式（3.2）稳定的必要条件是当

0

,

n

T，对所有k

R有4

判别准则G

,

k

n

K

,

0

,

n

T

,

k

R

j

(G

,

k

)表示G(

,

k)的特征值，M

为常数．证明：由差分格式稳定可以得出j(G,k)1M,68

1nT

G

,

k

n

G

,

k

n

G

,

k

n

G

,

k

n

K

K ,

0

n

G

,

k

K

T

,

0

0表示矩阵谱半径，利用谱半径与范数的关系设K

1，则有

G

,

k 1TG,kn69对于0

0中的

,K

T

,以形如1

k1的一个线性表达式为界K

T

1＋k1

,由谱半径的定义可得

j

G

,

k

1

M．条件(3.3)被称为von

Neumann条件．von

Neumann条件是稳定性的必要条件．对于00中的,KT,以形如1702hj

1t

xun1

un

un

j juna例3.1．讨论逼近对流方程

u

a

u

0的显式格式j

1

0的稳定性.

122jnjnnjja2hh

unnj

1j

1

uun⎛⎞x

x

,

x

⎜

j2

⎟⎝

⎠un1

x

un

x

a

⎡⎣un

x

h

un

x

h⎤⎦

,

x

R解：变形为u时，ux

u

，这样就有2hj1t xun1un unj ju712Uˆ

n1

k

Uˆ

n

k

a

⎡⎣eikh

eikh

⎤⎦Uˆ

n

k

.2

1

ai

sin

khG

,

k

2

1

a2

2

sin2

kh.对上式两边做Fourier变换，有可得增长因子G

,

k

1

a

(eikh

eikh

)当sin

kh

0时，不管怎样选择网格比，总有G

,

k

1所以差分格式是不稳定的．2Uˆn1kUˆnka72

222n n ikjhjjjnikhikjhikhna2ue

uaan1

nnj

1

j

1n1

ikjhikhn1ikh

u

un⎧⎫1e

e⎨⎬⎩⎭⎧⎫

1e

e⎨⎬⎩

⎭G

,

k

1

a

(eih

eih

)实际上只要取u

e

，代入相应的差分方程，有

e

再把公因式eikjh消去，可以得到得到增长因子(或增长矩阵) 222n n ikjhjjjnikhikj73Δ

nn设复数矩阵A

⎡⎣aij

⎤⎦

C

，AH

⎡⎣a ⎤⎦

Cnn—

—A的共轭转置．ij若AH

A

I，称A为酉矩阵；若A

AH，称A为Hermite矩阵；（实对称矩阵必是Hermite阵）若AAH

AH

A，称A为正规矩阵；（所有对角阵，Hermite阵，酉阵都是正规阵）Δ nnAH⎡⎣a ⎤⎦Cnn——A742对于正规矩阵A有

A

A，即A的2

范数等于其谱半径．

nnnnn

ln(1

G

,

k

M

)⎡⎤

G

,

k

G

,

k⎣⎦⎡⎤1

M

e⎣⎦定理3.2 如