《计算电磁学》第二讲课件

第二讲有限差分法Dr.PingDU(杜平)SchoolofElectronicScienceandAppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology(HFUT)E-mail:pdu@7/31/20231第二讲有限差分法Dr.PingDU(杜平)它是函数的一阶差分。由于它是有限量的差，被称为有限差分。其与增量的商为一阶差商

(1)(2)微积分中一阶导数(3)可以看出，h越小，(2)和(3)的值越接近。§2.1差分运算基本概念设函数，其自变量有一很小的增量,则该函数的增量为7/31/20232它是函数的一阶差分。由于它是有限量的差，被称为(前向差分)一阶导数也可近似表达为

(后向差分)或者，(中心差分)(4)(5)(6)一阶导数可近似表示为它们对一阶导数的逼近度可通过Taylor级数展开式得到。7/31/20233(前向差分)一阶导数也可近似表达为(后向差分)或者，(中心式(4)和(5)都略去了

及更高幂次项。

式(6)相当于将相应的Taylor公式

的项及更高幂次项略去了。

(7)(8)(9)由Taylor级数展开，式(6)的截断误差小于式(4)和(5)。因此，一般采用中心差分公式。7/31/20234式(4)和(5)都略去了及更高幂次项。式(6)相当对二阶导数也可近似表达为差商的差商（二阶差商），如下

推导过程：

由式(7)和(8)，有

当略去及更高幂次项，可得到式(10).

(10)(11)7/31/20235对二阶导数也可近似表达为差商的差商（二阶差商），如下推导过在上面的差分公式中，自变量x的微分为.在广义差分中，可取如

有限差分法原理及步骤

原理：有限差分法是利用差分原理，将电磁场连续域的问题变为离散系统的问题来求解。

有限差分法分析电磁场边值问题，其步骤为：(12).7/31/20236在上面的差分公式中，自变量x的微分为采用一定的网格划分离散场域。常见的规则网格有正方形、矩形、平行四边形、等角六边形和极坐标网格等。基于差分原理，对场域内偏微分方程以及场域边界上的边界条件，也包括不同媒质分界面上的边界条件，进行差分离散化处理，给出相应的差分计算格式。结合选定的代数方程组的解法，编写计算程序，求解由上所得对应于待求边值问题的差分方程组。所得解答即为边值问题的数值解。

7/31/20237采用一定的网格划分离散场域。常见的规则网格有正方形、矩形、§2.2二维电磁场Poisson方程的差分格式设在一个由边界C限定的二维场域D内满足Poisson方程图1场域D及矩形网格离散(2.2-1)7/31/20238§2.2二维电磁场Poisson方程的差分格式设第一步:采用矩形网格离散场域D.点0对x的一阶偏导数可通过前向/后向差商得到，其为或可以看出，单侧差商误差较大。(2.2-2)(2.2-3)7/31/20239第一步:采用矩形网格离散场域D.点0对x的一阶偏导数可通为得到较精确的差分格式，引入待定常数、，对和进行Taylor级数展开，有令项系数为0，得和满足将(2.2-5)代入式（2.2-4），并舍去高次项，可得的另一差分表达式(2.2-4)(2.2-5)(2.2-6)7/31/202310为得到较精确的差分格式，引入待定常数、，对若，有推导二阶偏导数的差分表达式。令(2.2-4)中的项的系数为0，则和满足将(2.2-8)代入式(2.2-4)，忽略三阶以上的高次项，可得(2.2-7)(2.2-8)(2.2-9)7/31/202311若，有推导二阶偏导数的差分若，有与上面的类似，我们可以很容易地推导出若，有(2.2-10)(2.2-11)(2.2-12)7/31/202312若，有与上面的类似，我们可以很将(2.2-9)、（2.2-11）代入式（2.2-1)，可得二维Poisson方程的差分表达式当,，上式变为可用节点的下标将上式写为这就是“五点差分格式”。(2.2-13)(2.2-14)(2.2-15)7/31/202313将(2.2-9)、（2.2-11）代入式（2.2-1)，可得当，有当时(Laplace方程)，上式变为柱坐标系下的差分公式柱坐标系下Laplace算子的公式(2.2-16)(2.2-17)(2.2-18)7/31/202314当，有当时如果是旋转对称的，则上式右边第二项为0.经过简单推导，可得图2旋转对称场的不等距网格(2.2-19)7/31/202315如果是旋转对称的，则上式右边第二项为0.经过简单推其差分表达式对不等距网格为在等间距情形下，。令轴线处，点0位于第j(j>1)行,则。。根据式（2.2-20），有(2.2-20)(2.2-21)7/31/202316其差分表达式对不等距网格为在等间距情形下，若点0位于轴上，需特别处理。，。由罗必塔法则，这种情况下，Laplace方程变为(2.2-22)(2.2-23)7/31/202317若点0位于轴上，需特别处理。，等间距情形时，差分格式推导由于旋转对称性，。则式（2.2-25）变为(2.2-25)(2.2-24)(2.2-26)7/31/202318等间距情形时，差分格式推导由于旋转对称性，将式（2.2-24）、（2.2-26）代入式（2.2-23），有经过化简，可得(2.2-27)(2.2-28)7/31/202319将式（2.2-24）、（2.2-26）代入式（2