专题二 (一) 二次函数之动线段和最小问题

专题二(一)二次函数之动线段和最小问题本文介绍了二次函数中动线段和最小问题的解法。其中，两条动线段的和的最小值问题被称为“牛喝水”问题，需要指出对称轴“河流”；三条动线段的和的最小值问题被称为“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，需要指出两条对称轴“反射镜面”。一、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：通过直线m作A、B的垂线，得到A'、B'，则P为A'、B'的中点。（2）点A、B在直线同侧：通过直线m作A的垂线，得到A'，则P为A'、B的中点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：将P、Q、B投影到n上得到P'、Q'、B'，将P'、Q'、A投影到m上得到P''、Q''、A''，则P为P''、Q'、B'的中点，Q为P'、Q''、A''的中点。（2）一个点在内侧，一个点在外侧：将P、Q、B投影到n上得到P'、Q'、B'，将P'、Q'、A投影到m上得到P''、Q''、A''，则P为P''、Q''、A''的中点，Q为P'、Q''、B'的中点。（3）两个点都在内侧：将A、B投影到m上得到A'、B'，则P为A'、B的中点，Q为B'、A的中点。（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m、n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E，使得围成的四边形ADEB周长最短。将A、B投影到m上得到A'、B'，将A、B投影到n上得到A''、B''，则D为A'、B''的中点，E为A''、B'的中点。变式二：已知点A位于直线m、n的内侧，在直线m、nB'分别上求点P、Q，使得PA+PQ+QA周长最短。将A投影到m、n上得到A'、A''，则P为A'、B'的中点，Q为A''、B'的中点。二、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小。1、两点在直线两侧：通过直线m作A、B的垂线，得到A'、B'，则P为A'、B'的中点。2、两点在直线同侧：通过直线m作A的垂线，得到A'，则P为A'、B的中点。（二）动点在圆上运动：点B在圆O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小。1、点与圆在直线两侧：通过圆心O作B的垂线，得到B'，再通过直线m作A、B'的垂线，得到A'、P'，则P为A'、B'的中点。2、点与圆在直线同侧：通过圆心O作A的垂线，得到A'，则P为A'、B的中点。三、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：通过直线m作A、B的垂线，得到A'、B'，则P为A'、B'的中点，Q为P沿着m平移PQ的距离得到的点。（2）点A、B在直线m同侧：通过直线m作A、B的垂线，得到A'、B'，则P为A'、B的中点，Q为B'、A的中点。使得AD+DB′最小，若存在，请求出此时的抛物线函数解析式，并求出该位置的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P(1,2)，与y轴交于点A(0,-1)，与直线y=2x-1相交于点B和C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标；(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MC的值最小，并求出点M的坐标；(4)在抛物线的对称轴上找一点M，使得△PAB的面积最小，并求出点M的坐标．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P(0,1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)求抛物线的函数解析式；(2)把△ABP绕点B逆时针旋转90°，得到△BPC，判断△BPC的形状，并说明理由；(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MC的值最小，并求出点M的坐标；(4)在抛物线的对称轴上找一点M，使得△PAB的周长最小，并求出点M的坐标．1.如图，已知抛物线的对称轴为与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，其中A(-3,0)、C(0,-2)．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得C△PBC值最小．请求出点P的坐标．2.如图，已知抛物线y=-x^2+bx+c与一直线相交于A(-1,0)，C(2,3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求这条抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M(3,m)，求使MN+MD的值最小时m的值．3.如图，已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点P的坐标为(1,-3)，交x轴于A、B两点，交y轴于点C(0,-3)．（1）求这条抛物线的表达式．（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC，判断四边形ADBC的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，已知抛物线y=3x^2+18x-55和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长．5.如图，已知抛物线y=ax^2的顶点为P(0,1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）把△ABP绕点B逆时针旋转90°，得到△BPC，判断△BPC的形状，并说明理由；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MC的值最小，并求出点M的坐标；（4）在抛物线的对称轴上找一点M，使得△PAB的周长最小，并求出点M的坐标．点，使四边形A'B'CD的周长最短，求抛物线的函数解析式。1.求解析式和坐标首先，由于点H为二次函数的顶点，因此x轴的对称轴为直线x=-a。由于点H与点B关于直线l对称，因此直线l过点H的中垂线，即直线x=-a的中垂线。因此，直线l的解析式为y=-x/3-2。由于点A、B在x轴上，因此它们的纵坐标为0。由于点B在点A的右侧，因此点B的横坐标大于点A的横坐标。设点A的横坐标为x1，则点B的横坐标为x2=x1+d（d为正数）。由于点H为顶点，因此它的横坐标为-x1。代入二次函数的解析式可得：0=ax1^2+2ax1-3aH(-x1,-ax1^2+2ax1-3a)由于点B关于直线l对称，因此点B的纵坐标等于点H关于直线l对称后的纵坐标。代入直线l的解析式可得：0=-x2/3-2x2=-6因此，点B的坐标为B(-6,0)。将点B的坐标代入直线BK的解析式可得：y=(d/(x1+6))(x+6)由于直线BK与直线AH平行，因此直线BK的斜率等于直线AH的斜率。直线AH的斜率为-2x1，因此直线BK的斜率也为-2x1。代入直线BK的解析式可得：d/(x1+6)=-2x1d=-2x1(x1+6)因此，点K的坐标为K(-6-d,d/(x1+6))，点M的坐标为M(x1,0)，点N的坐标为N(-x1,0)。2.求二次函数解析式由于点H为顶点，因此二次函数的解析式为y=a(x+x1)^2+b，其中a为二次函数的开口方向和大小，b为二次函数的纵坐标平移量。代入点H的坐标可得：0=a(x1-x1)^2+bb=-3a因此，二次函数的解析式为y=a(x+x1)^2-3a。3.求使四边形周长最短的抛物线函数解析式四边形A'B'CD的周长为AB+BC+CD+DA'。由于点B在直线l上，因此线段BC的长度为2x1/3+2。由于点A在直线l上，因此线段DA'的长度为2x1/3+2。由于点C在抛物线上，因此线段CD的长度可以用微积分的方法求出。设抛物线的解析式为y=ax^2+bx