空间向量及其运算

空间向量及其运算最新考纲要求学生了解空间向量的概念，基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解和坐标表示，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，并能够运用向量的数量积判断向量的共线和垂直。本节内容是空间向量的基础，包括空间直角坐标系、空间向量的基本定理、公式和四种运算等内容。一般不单独命题，常以简单几何体为载体，以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明以及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力。空间向量的相关概念包括零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量和共面向量等。其中，共线向量定理指出，空间两个向量a与b(b≠)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb；共面向量定理的向量表达式为p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量；空间向量基本定理指出，如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫作空间的一个基底。空间向量的数量积是指两个向量的模相乘再乘以它们的夹角的余弦值，记作a·b，其中a，b为非零向量。空间向量数量积的运算律包括(λa)·b＝λ(a·b)、交换律：a·b＝b·a、分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c等。空间向量的坐标表示及其应用是指将向量的坐标表示成有序实数组的形式，可以用于计算向量的模、夹角、共线关系和垂直关系等。在应用中需要注意共线向量和共面向量的区别，平行于同一平面的向量为共面向量。2.零向量不能作为基向量，因为它与任何一个非零向量共线，与任何两个非零向量共面。3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体的“线线”夹角和“点点”距离都是固定的。坐标系的位置不同只会影响计算的繁简，不会影响结果。向量表示：对于向量a和b，有a·b、|a|、〈a，b〉的定义和计算公式。坐标表示：向量a可以表示为a1i+a2j+a3k，其中i、j、k是三个互相垂直的单位向量。向量a与向量b的数量积可以表示为a·b=a1b1+a2b2+a3b3。向量a与向量b的向量积可以表示为a×b=(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k。题组一思考辨析：1.(1)正确，因为两个非零向量共面的充分必要条件是它们线性相关，即其中一个向量可以表示为另一个向量的线性组合。(2)错误，因为数量积不满足结合律。(3)错误，因为由a·b=b·c可以推出a与c共线而不是a=c。(4)错误，因为两向量夹角的范围是0到π之间，而两异面直线所成角的范围是0到π/2之间，两者不同。(5)正确，四个向量的和等于零向量，即AB＋BC＋CD＋DA＝0，因此有AB＋BC＋CD＋DA＝AB＋BC＋CD＋DA＝(AB＋BC)+(CD＋DA)=AD+BC。(6)错误，因为a·b<0表示向量a和b的夹角是锐角或者是钝角，而不是只有钝角。题组二教材改编：2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。由于BM=BB1+B1M=AA1+(AD-AB)/2，因此与BM相等的向量是－a+b+c。3.正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF的长为2/√2=√2。因为EF=1/2(B-C+D-A)，而B-C+D-A是正四面体的高，其长度为2√2/3，因此EF的长度为2/√2=√2。在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，点B(-2,-1,6)，点C(3,2,1)，点D(4,3,0)，求直线AB与CD的位置关系。解：首先根据已知点求出向量AB和向量CD，得到AB=(-3,-3,3)，CD=(1,1,-1)。由于AB与CD没有公共点，因此它们要么平行，要么异面。又因为AB与CD共线，所以它们不可能平行，只能是异面。因此，选项为C。已知向量a=(2,3,1)，向量b=(-4,2,x)，且a⊥b，求|b|。解：由于a⊥b，所以a·b=0，即2*(-4)+3*2+1*x=0，解得x=2。因此，向量b=(-4,2,2)，|b|=√((-4)^2+2^2+2^2)=√(16+4+4)=√24=2√6。因此，答案为26。在空间几何体ABCD-A中，各面为平行四边形，设AA1=a，AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，求向量AP和向量MP+NC1。解：根据题意，向量AP=AA1+AD+D1P=a+c+b。又因为M是AA1的中点，所以向量MP=MA+AP=-a+(a+c+b)/2=(a+b+c)/2。又因为NC1=NC+CC1=BC+AA1=AD+AA1=c+a，所以向量MP+NC1=(a+b+c)/2+(c+a)=(2a+2b+3c)/2=a+b+1.5c。因此，向量AP=a+c+b，向量MP+NC1=a+b+1.5c。利用三角形法则或平行四边形法则，可以将所求向量用已知基向量表示出来。例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点，用AB、AD、AA1表示OC1，则OC1=AB+AD+AA1/2。在三棱锥O-ABC中，M、N分别是AB、OC的中点，设OA=a，OB=b，OC=c，用a、b、c表示NM，则NM=(a+b-c)/2。在例2中，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，需要证明E、F、G、H四点共面，以及BD∥平面EFGH。首先连接BG，得到EG=EB+BG=EB+(BC+BD)/2=EB+BF+EH=EF+EH，由共面向量定理的推论可知E、F、G、H四点共面。其次，因为EH=AH-AE=AD-AB=BD，所以EH∥BD。又因为EH在平面EFGH内，而BD不在平面EFGH内，因此BD∥平面EFGH。证明三点共线和空间四点共面的方法比较：对于三点共线，可以利用向量的线性关系进行证明，例如PA=λPB，则对于任意一点O，OP=OA+tAB，也可以利用向量共面的性质，例如对于四点共面，可以利用向量共面的性质进行证明，例如MP=xMA+yMB，则对于任意一点O，OP=OM+xMA+yMB。对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋(1－x－y)OB。解析：(1)判断向量MN是否与向量AB，AA1共面。由已知，AM＝kAC1，BN＝kBC1，因此MN＝MA＋AB＋BN＝kC1A＋AB＋kB1C1＝kB1A＋AB－kAA1。所以，向量MN与向量AB，AA1共面。(2)判断直线MN是否与平面ABB1A1平行。当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内；当0＜k＜1时，MN不在平面ABB1A1内，但由(1)知MN与AB，AA1共面，因此MN与平面ABB1A1平行。综上，当k＝0时，MN在平面ABB1A1内；当0＜k≤1时，MN与平面ABB1A1平行。例3：如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点。(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值。解析：(1)证明MN⊥AB，MN⊥CD。设AB＝p，AC＝q，AD＝r，由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°。因此，MN＝AN－AM＝(AC＋AD)－AB＝(q＋r－p)/2。由向量点乘的性质可得MN·AB＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)/2＝(a2cos60°＋a2cos60°－a2)/2＝0。同理可证MN⊥CD。(2)解异面直线AN与CM所成角的余弦值。设向量AN与MC的夹角为θ，由向量点乘的性质可得AN·MC＝|AN||MC|cosθ。由已知，AN＝(AC＋AD)＝(q＋r)，MC＝AC－AM＝q－p，因此AN·MC＝(q＋r)·(q－p)＝|q|2－q·p＋|r|2－r·p。代入a2＝|p|2＝|q|2＝|r|2和cos60°＝1/2可得AN·MC＝a2/2－a2cos60°＝a2/2－a2/2＋a2/2cos60°＝a2/4。综上，cosθ＝AN·MC/|AN||MC|＝a2/4÷a2/2＝1/2，所以异面直线AN与CM所成角的余弦值为1/2。又因为|AN|=|MC|=a，所以AN·MC=|AN||MC|cosθ=a×a×cosθ=a²cosθ。因此，cosθ=a²/(AN·MC)，向量AN与MC的夹角的余弦值为cosθ，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为cos(π/2-θ)=sinθ=a/√(3a²)=√3/3。向量的数量积可以用来证明线段的垂直关系，也可以通过向量共线确定点在线段上的位置。夹角公式可以用来求异面直线所成的角，也可以求平面与平面的夹角。可以通过|a|=a·a，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解。在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°。(1)求AC₁的长。记AB=a，AD=b，AA₁=c，则|a|=|b|=|c|=1，〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60°，所以a·b=b·c=c·a=-1/2。|AC₁|²=(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(a·b+b·c+c·a)=3+3(-1/2)=6，因此|AC₁|=√6。(2)求BD₁与AC₁夹角的余弦值。BD₁=b+c-a，AC₁=a+b，所以|BD₁|=2，|AC₁|=3，BD₁·AC₁=b²-a²+a·c+b·c=1。因此，cos(∠BD₁,AC₁)=BD₁·AC₁/(|BD₁||AC₁|)=1/6，BD₁与AC₁夹角的余弦值为1/6。正确命题的个数是2个，分别是①和④。解得x＝2，y＝－3，代入得λ＝－9，故选答案－9。改写为：已知向量a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则必有c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，解得x＝2，y＝－3，代入得λ＝－9，因此答案为－9。解析：(1)设向量MA＝a，MB＝b，MC＝c，则OM＝a＋b＋c，又由向量共面的充要条件可知，a，b，c共面当且仅当存在实数k1，k2，k3，使得k1a＋k2b＋k3c＝0且k1＋k2＋k3＝0.将OM＝a＋b＋c代入可得k1(a－OM)＋k2(b－OM)＋k3(c－OM)＝0且k1＋k2＋k3＝0，即向量OM，OA－OM，OB－OM，OC－OM共面.(2)设M在平面ABC内，则向量MA，MB，MC在平面ABC内，即它们的线性组合k1MA＋k2MB＋k3MC在平面ABC内，又由于OM＝k1OA＋k2OB＋k3OC，所以OM也在平面ABC内.反之，若M在平面ABC内，则OM在平面ABC内，故向量MA，MB，MC在平面ABC内，即M在平面ABC内.答案：(1)共面；(2)不在平面ABC内.(1)根据题意，将OA+OB+OC=3OM变形得到OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC)，即MA=MB+MC=-MB-MC，因此MA、MB、MC共面。(2)由(1)知道MA、MB、MC共面且过同一点M，因此M、A、B、C四点共面，即点M在平面ABC内。(1)根据题意计算2a+b得到(0,-5,5)，因此|2a+b|=2+(-5)²+5²=25。(2)令AE=tAB，则OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t)。若OE⊥b，则OE·b=0，解得t=6/14=3/7。因此存在点E，使得OE⊥b，此时E点的坐标为(-9/7,-22/7,26/7)。(1)将ON表示成向量OB+BN，再将BN表示成向量BA+AN，得到ON=OB+BA+AN=2OA+2OD。因此MN=ON-OM=OB+OC-OA=2OD，即MN=2OD。根据勾股定理得到OG²=OM²+MG²=(1/4)AB²+(1/4)BC²，即OG²=(1/2)AD²，因此OG=AD/√2。又因为OG=xOA+yOB+zOC，所以x+y+z=1/√2+0+0=1/√2。(2)根据题意AB·AC=0，AC·AD=0，AB·AD=0，因此△AMD为直角三角形。由勾股定理可知AM²=1/4(AB²+AC²)，AD²=1/4(AB²+AC²)，因此AM=AD/√2，即△AMD为等腰直角三角形，因此为直角三角形。15.已知点O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是(1,1,2)。解析：设OQ=λOP，则OQ=(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则QA=(1-λ，2-λ，1-2λ)，QB=(2-λ，1-λ，2-2λ)，因此QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(1-2λ)(2-2λ)=6λ^2-12λ+6=6(λ-1)^2，当λ=1时取最小值，此时Q点坐标为(1,1,2)。16.如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点。(1)证明CE⊥A′D；(2)