河南省南阳市第十三中学高三数学理联考试题含解析

河南省南阳市第十三中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设D为△ABC所在平面内一点，且=3，则=（）A．+

B．+C．+

D．+参考答案：A【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据向量的三角形法则进行转化求解即可．【解答】解：∵∴==（﹣），则=+=+（﹣）=，故选：A2.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围为

（

）

A．[-,+∞]

B．(-∞,-3)

C．(-∞,-3)∪[－,+∞]

D．[－,]

参考答案：C；解析=x2+2ax+5,则f(x)在[1，3]上单调减时，由，得a≤-3;

当f(x)在[1，3]上单调增时，=0中，⊿=4a2-4×5≤0,或，

得a∈[－,]∪[,+∞]．

综上：a的取值范围是(-∞,-3)∪[-,+∞]，故选C．3.设命题：“，”，为(

)（A），（B），（C），（D），参考答案：B4.已知两条直线和互相平行，则等于（

）

A.1或-3

B.-1或3

C.1或3

D.-1或3参考答案：A因为直线的斜率存在且为，所以，所以的斜截式方程为，因为两直线平行，所以且，解得或，选A.5.平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，且区域D的面积为16，若M(x,y)为D上的动点，点A的坐标为（2,4），则Z＝的最小值是（）A.－4B．4C．28D．－10参考答案：A区域D为等腰直角三角形，可求。，易知在点（2，-2)取最值。6.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是

A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】球的体积公式

G8【答案解析】D

解析：由，得，设选项中的常数为，则，选项A代入得；选项B代入得；选项C代入得；选项D代入得，由于D的值最接近π的真实值

故选D．【思路点拨】根据球的体积公式求出直径，然后设选项中的常数为，表示出，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可。7.已知是所在平面内一点，为边中点，且，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.若变量，满足约束条件，则的最大值等于（

）A．

B．

C．11

D．10参考答案：D作出不等式组对应的平面图象如下图的阴影部分，表示斜率为的直线系，表示直线在轴上的截距，由图象可知当直线过点时取得最大值，最大值为9.如图，边长为a的正方形组成的网格中，设椭圆C1、C2、C3的离心率分别为e1、e2、e3，则(

) A．e1=e2＜e3 B．e2=e3＜e1 C．e1=e2＞e3 D．e2=e3＞e1参考答案：D考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由图形可知，椭圆C1、C2、C3的长半轴长，短半轴长，分别计算离心率，即可求得结论．解答： 解：由图形可知，椭圆C1的长半轴长为2a，短半轴长为1.5a，则e1==椭圆C2的长半轴长为4a，短半轴长为2a，则e2==椭圆C3的长半轴长为6a，短半轴长为3a，则e2==∴e2=e3＞e1，故选D．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10.下列命题的说法错误的是（

）A．命题“若则”的逆否命题为：“若,则”.B．“”是“”的充分不必要条件.C．对于命题则D．若为假命题，则均为假命题.参考答案：【知识点】特称命题；复合命题的真假；命题的真假判断与应用．A2

【答案解析】D解析：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．选项A正确；若x=1，则x2﹣3x+2=0．反之，若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2．∴“x=1是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．选项B正确；命题p：?x∈R，x2+x+1＞0为全称命题，其否定为特称命题，即￢p：?x0∈R，．选项C正确；若p∧q为假命题，则p或q为假命题．选项D错误．故选：D．【思路点拨】直接写出原命题的逆否命题判断A；求出一元二次方程x2﹣3x+2=0的解判断B；直接写出全称命题的否定判断C；由复合命题的真值表判断D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在x＝－1时有极值0，则m＝______；n＝_______；参考答案：m＝2，n＝9。12.已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，且方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为．参考答案：-【考点】函数的零点．【专题】计算题．【分析】函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，可知x1=，x2=π，因为方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，需要分两种情况进行讨论：m＞0和m＜0，再利用等差数列的性质进行求解；【解答】解：函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，∴x1=，x2=π，∵方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，若m＞0则，x3，，π，x4，构成等差数列，可得公差d=﹣=π，则x1=﹣π=﹣＜0，显然不可能；若m＜0则，，x3，x4，π，构成等差数列，可得公差3d=﹣，解得d=，∴x3=+，m=cosx3==﹣，故答案为：﹣；【点评】此题主要考查三角函数的性质及三角函数值的求解问题，涉及函数的零点构成等差数列，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道基础题；13.已知函数f（x）=loga（x2﹣ax+2）在（2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为．参考答案：1＜a≤3【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】先讨论外层函数的单调性，发现外层函数只能为增函数，即a＞1，再将问题转化为内层函数为增函数且内层函数大于零恒成立问题，列不等式组即可得a的取值范围【解答】解：若0＜a＜1，y=logat在（0，+∞）上为减函数，则函数t=x2﹣ax+2在（2，+∞）上为减函数，这是不可能的，故a＞1a＞1时，y=logat在（0，+∞）上为增函数，则函数t=x2﹣ax+2在（2，+∞）上为增函数，且t＞0在（2，+∞）上恒成立只需，解得a≤3∴1＜a≤3故答案为1＜a≤3【点评】本题主要考查了复合函数单调性的判断方法和应用，对数函数的单调性，二次函数的图象和性质，分类讨论的思想方法14.数列满足，则的通项公式＝

参考答案：15.函数，则函数的值域是

。参考答案：答案:

16.由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x3与在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得．【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出y=x3与的图象，则封闭图形的面积．故答案为：．17.已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是

．参考答案：且试题分析：由于与的夹角为锐角，，且与不共线同向，由，解得，当向量与共线时，得，得，因此的取值范围是且．考点：向量夹角．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分16分）已知：，，且（）．（Ⅰ）当时，求的最小值及此时的、的值；（Ⅱ）若，当取最小值时，记，，求，；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设，，试求的值．注:.参考答案：（Ⅰ）,

,当且仅当,即时,取等号.所以,当时,的最小值为.（Ⅱ）,

,当且仅当,即时,取等号.

所以,,.（Ⅲ）因为,

所以.19.如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（1）求证：平面平面；（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（3）求与平面所成角的最大值．参考答案：解：（I）由题意，，，是二面角的平面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．--------4分（II）作，垂足为，连结，则，是异面直线与所成的角．

--------------------------5分在中，，，．又．在中，．

----------7分异面直线与所成角的大小为．

----------------------8分（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且．当最小时，最大………………10分这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．-

----------------------1220.如图1，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，BC=AC=1，现将△DAC沿AC折起，得到三棱锥D﹣ABC（如图2），且DA⊥BC，点E为侧棱DC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面DBC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）在∠ACB的角平分线上是否存在点F，使得DF∥平面ABE？若存在，求DF的长；若不存在，请说明理由参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AE⊥CD；结合AC⊥BC，AD⊥BC，推出BC⊥平面ACD．得到AE⊥BC；证明AE⊥平面BCD，即可推出平面ABE⊥平面BCD．（Ⅱ）利用VE﹣ABC=VB﹣ACE，结合BC是三棱锥的高，求解．（Ⅲ）取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO=OF，连接AF，DF，BF．说明射线CO是角∠ACB的角分线．正面OE∥DF，推出DF∥平面ABE．然后最后求解DF即可．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，有AD=BC=AC，又因为E为侧棱DC的中点，所以AE⊥CD；又因为AC⊥BC，AD⊥BC，且AC∩AD=A，所以BC⊥平面ACD．又因为AE?平面ACD，所以AE⊥BC；因为BC∩CD=C，所以AE⊥平面BCD，又因为AE?平面ABE，所以平面ABE⊥平面BCD．…（Ⅱ）解：因为VE﹣ABC=VB﹣ACE，BC⊥平面ACD，所以BC是三棱锥的高，故，又因为BC=1，，，所以，所以有…（Ⅲ）解：取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO=OF，连接AF，DF，BF．因为BC=AC，所以射线CO是角∠ACB的角分线．又因为点E是的CD中点，所以OE∥DF，因为OE?平面ABE，DF?平面ABE，所以DF∥平面ABE．因为AB、FC互相平分，故四边形ACBF为平行四边形，有BC∥AF．又因为DA⊥BC，所以有AF⊥AD，又因为AF=AD=1，故．…21.空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康的危害也就越大。根据国家标准，指数在0-50之间时，空气质量为优；在51-100之间时，空气质量为良；在101-150之间时，空气质量为轻度污染；在151-200之间时，空气质量为中度污染；在大于200时，空气质量为重度污染。环保部门对某市5月1日至5月15日空气质量指数预报如下表:日

期123456789101112131415空气质量指数7556261562301638821020620178981059793某人选择5月1日至5月13日某一天到达该市，并停留三天.（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求随机变量的分布列及数学期望；（Ⅲ）根据上表判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大（不要求计算，只写出结果）.

参考答案：解析：（Ⅰ）记事件为此人到达当日空气重度污染，则由表中数据可得…………2分（Ⅱ）此人在该市停留期间空气质量优良天数统计如下表：到达日期12345678910111213空气质量优良天数3210111012222

所以随机变量的概率分布如下：

X0123P

所以……………………10分（Ⅲ）从5月3日开始连续三天的空气质量指数方差最大.………………12分

略22.（本题满分12分）记集合，是中可重复选取的元素．（1）若将集合中所有元素按从小到大的顺序排列，求第2008个数所对应的的