变异数分析与实验设计

变异数分析与实验设计第1页，课件共46页，创作于2023年2月第13章

變異數分析與實驗設計變異數分析介紹變異數分析：檢定k個母體平均數是否相等

多重比較程序實驗設計介紹完全隨機設計隨機區集設計因子實驗第2页，课件共46页，创作于2023年2月變異數分析(ANOVA)可用來檢定三個或三個以上得自觀察型或實驗型研究的資料母體平均數是否相等。我們可以使用這些樣本資料的結果進行下列假設檢定。

如果拒絕H0

，

我們不能下結論說所有的母體平均數都不相等。拒絕H0

意指至少有兩個母體平均數不相等。H0：1=2=3=...=k

Ha：所有母體平均數不全相等變異數分析介紹第3页，课件共46页，创作于2023年2月變異數分析的假設每個母體之反應變數均呈常態分配。所有反應變數的變異數，記為2，均相等。由每個母體抽取之樣本必須互為獨立。第4页，课件共46页，创作于2023年2月變異數分析：檢定k個母體平均數是否相等母體變異數之處理間估計值母體變異數之處理內估計值比較變異數之估計值：F檢定ANOVA表第5页，课件共46页，创作于2023年2月2之處理間估計值的概念，稱之為處理間均方(MSTR)。

MSTR的分子稱為處理間平方和(SSTR)。

MSTR的分母為SSTR的自由度。母體變異數之處理間估計值第6页，课件共46页，创作于2023年2月共同變異數2之處理內估計值的概念，稱之為誤差均方(MSE)。MSE的分子稱為誤差平方和(SSE)。MSE的分母為SSE的自由度。母體變異數之處理內估計值第7页，课件共46页，创作于2023年2月比較變異數之估計值：F檢定若虛無假設為真且ANOVA之假設均成立，MSTR/MSE的抽樣分配將會服從MSTR自由度為k-1，MSE自由度為nT–k的F

分配。如果k個母體平均數不全相等，則因MSTR高估2，MSTR/MSE值將提高。因此，當MSTR/MSE之值太大，使其不似來自F

分配時，我們將拒絕H0。第8页，课件共46页，创作于2023年2月假設

檢定統計量

拒絕法則

其中F值係由分子自由度k-1，分母自由度nT-k

之F分配查表而得。若F>F，拒絕H0F=MSTR/MSEH0：1=2=3=...=k

Ha：所有母體平均數不全相等檢定k個母體平均數是否相等第9页，课件共46页，创作于2023年2月此圖顯示顯著水準為時的拒絕域，其中F為臨界值。MSTR/MSE之抽樣分配不拒絕H0拒絕H0MSTR/MSE臨界值F第10页，课件共46页，创作于2023年2月變異來源

平方和自由度

均方

F 處理

SSTR k-1 MSTRMSTR/MSE 誤差

SSE nT-k MSE 總和 SST nT-1

SST除以它的自由度nT-1，即為總樣本異變數，其為將nT個觀察值視為同一組樣本計算而得。ANOVA表第11页，课件共46页，创作于2023年2月範例變異數分析 國家電腦產品公司(NCP)係生產印表機與傳真機的公司，它在亞特蘭大、達拉斯、西雅圖三地均設有工廠。為瞭解到底有多少員工知道全面品管的概念，我們從每間工廠各隨機選取6名員工參加品質認知測驗。18名員工的測驗成績及各個工廠的樣本平均數、樣本變異數及樣本標準差均列於表13.1。第12页，课件共46页，创作于2023年2月變異數分析

廠1 廠2 廠3

觀察值 亞特蘭大

達拉斯 西雅圖

1 85 71 59 2 75 75 64 3 82 73 62 4 76 74 69 5 71 69 75 6 858267

樣本平均數 79 74 66

樣本變異數 34 20 32樣本標準差5.834.475.66範例第13页，课件共46页，创作于2023年2月變異數分析虛無與對立假設

H0:1=2=3

Ha:所有母體平均測驗成績不全相等

其中： 1=母體1平均測驗成績

2=母體2平均測驗成績 3=母體3平均測驗成績範例第14页，课件共46页，创作于2023年2月變異數分析處理間均方

因為樣本數均相同

x=(79+74+66)/3=73 SSTR=6(79-73)2+6(74-73)2+6(66-73)2=516 MSTR=516/(3-1)=258誤差均方

SSE=(6–1)34+(6–1)20+(6–1)32=430 MSW=430/(18-3)=28.67=範例第15页，课件共46页，创作于2023年2月變異數分析F

檢定

假設虛無假設為真，此時MSTR與MSE為兩個相互獨立的2之不偏估計值。第11章曾提及，對一個常態分配母體而言，兩個相互獨立的母體變異數2之估計值的比，所形成的抽樣分配必服從F

分配。因此，若虛無假設為真且ANOVA之假設均成立，MSTR/MSE的抽樣分配將會服從分子自由度為k–1，分母自由度為n–k

的F

分配。拒絕法則

若F=MSTR/MSE>3.68，則拒絕H0

範例第16页，课件共46页，创作于2023年2月範例變異數分析檢定統計量

F=MSB/MSW=258/28.67=9.00結論

由於F=MSTR/MSE=258/28.67＝9.00大於臨界值F=3.68。因此，我們有充分的證據拒絕三個母體平均數相等的虛無假設。換言之，變異數分析支持NCP公司中，三家工廠平均測驗成績不全相等之結論。第17页，课件共46页，创作于2023年2月變異數分析ANOVA表

變異來源

平方和

自由度

均方F

處理

516 2 258.009.00

誤差

430 15 28.67 總和

946 17範例第18页，课件共46页，创作于2023年2月費雪LSD程序

假設變異數分析已提供拒絕母體平均數相等之虛無假設的統計證據。此時，費雪最低顯著差異(LSD)程序可用以決定哪些母體平均數間存在差異。第19页，课件共46页，创作于2023年2月假設

檢定統計量拒絕法則

其中ta/2值係查自由度為nT

–k之t分配表而得。若t<-ta/2或t>ta/2，拒絕H0費雪LSD程序H0:i

=jHa:i

j第20页，课件共46页，创作于2023年2月假設

檢定統計量

拒絕法則

其中以檢定統計量xi–xj為基礎之費雪LSD程序__H0:i=jHa:i

j若|xi-xj|>LSD，則拒絕H0__xi-xj__第21页，课件共46页，创作于2023年2月費雪LSD

假設

=0.05,虛無與對立假設

(1)

H0:1=2

Ha:1

2統計檢定量

|x1-x2|=|79-74|=5結論 我們無法下「亞特蘭大之平均測驗成績與達拉斯之平均測驗成績不相等」之結論。__範例第22页，课件共46页，创作于2023年2月費雪LSD虛無與對立假設

(2)

H0:1=3

Ha:1

3統計檢定量

|x1-x3|=|79-66|=13結論 由於此值大於6.59，我們可以拒絕亞特蘭大廠與西雅圖廠之平均測驗成績相等之假設。__範例第23页，课件共46页，创作于2023年2月費雪LSD虛無與對立假設(3)

H0:2=3

Ha:2

3統計檢定量

|x2-x3|=|74-66|=8結論 由於母體2與母體3的樣本平均數差為8>6.59，我們也拒絕達拉斯廠與西雅圖廠之平均測驗成績相等之假設。__範例第24页，课件共46页，创作于2023年2月實驗設計介紹統計研究可分為實驗型與觀察型兩類。在實驗型研究中，控制研究中另一個或更多個其他因素，即可獲得這些因素如何影響欲探討變數之資料。在觀察型研究中，我們不需控制因素。在觀察型研究中建立因果關係較實驗型研究困難。第25页，课件共46页，创作于2023年2月實驗設計介紹因素是實驗中選取之欲探討變數。處理是因素之水準。實驗單位是在實驗中欲研究之主體。完全隨機設計是每個處理被隨機指派給實驗單位之實驗設計。如果實驗單位性質互異，區集的方法可使其同質化，即隨機區集設計。第26页，课件共46页，创作于2023年2月完全隨機設計母體變異數之處理間估計值母體變異數之處理內估計值比較變異數估計值：F檢定ANOVA表兩兩比較第27页，课件共46页，创作于2023年2月實驗設計中，2的處理間估計值稱為處理間均方(MSTR)。計算MSTR的公式如下：其分子稱為處理間平方和

(SSTR)。其分母k-1為SSTR的自由度。母體變異數之處理間估計值第28页，课件共46页，创作于2023年2月2的第二個估計值為處理內估計值，稱為誤差均方(MSE)。

計算MSE的公式如下：其分子稱為誤差平方和(SSE)。其分母nT–k為SSE的自由度。母體變異數之處理內估計值第29页，课件共46页，创作于2023年2月

變異來源平方和

自由度均方 F

處理

SSTR k-1

誤差

SSEnT

-k

總和 SST nT-1完全隨機設計之ANOVA表第30页，课件共46页，创作于2023年2月範例

Chemitech公司發展出一套新的自來水過濾系統。過濾系統之零件必須向幾個供應商購買，Chemitech公司將在位於南卡羅萊納州哥倫比亞市的工廠組裝這些零件。工業工程部門則須負責決定此套新過濾系統的最佳組裝方式。在考慮很多可行的組裝方式後，工業工程部門選出三種較佳的方法：方法A、B及C。這些方法在組裝產品的先後次序上有所差異。Chemitech公司的管理者希望能知道哪種組裝方式可在一星期內生產最多的過濾系統。第31页，课件共46页，创作于2023年2月範例

方法

觀察值 AB C 1 58 58 48 2 64 69 57 3 55 71 59 4 66 64 47 5 67 68 49

樣本平均數 62 66 52

樣本變異數

27.5 26.5 31.0樣本標準差 5.245.155.57第32页，课件共46页，创作于2023年2月完全隨機設計虛無與對立假設

H0:1=2=3

Ha:所有母體平均數不全相等

其中：

1=方法A平均每星期產量

2=方法B平均每星期產量 3=方法C平均每星期產量範例第33页，课件共46页，创作于2023年2月完全隨機設計處理間均方

因為樣本數均相同

x=(x1+x2+x3)/3=(62+66+52)/3=60

SSTR=5(62-60)2+5(66-60)2+5(52-60)2=520 MSTR=520/(3-1)=260均方誤差

SSE=4(27.50)+4(26.5)+4(31)=340 MSE=340/(15-3)=28.33=___範例第34页，课件共46页，创作于2023年2月完全隨機設計拒絕法則

假設=0.05,F0.05=3.89

假設F>3.89，則拒絕

H0

檢定統計量

F=MSTR/MSE=260/28.33=9.18結論 由於F

之觀察值大於臨界值，因此，我們拒絕虛無假設，得到母體平均數不全相等之結論。範例第35页，课件共46页，创作于2023年2月完全隨機設計ANOVA表

觀察來源

平方和

自由度

均方F

處理520 2 260.009.18

誤差

340 12 28.33

總和

860

14範例第36页，课件共46页，创作于2023年2月隨機區集設計ANOVA程序計算與結論第37页，课件共46页，创作于2023年2月隨機區集設計之ANOVA程序將總平方和(SST)分割為三部分：處理間平方和、區集造成的平方和及誤差平方和。公式如下：

總自由度nT–1為處理之自由度k-1、區集之自由度

b–1及誤差項之自由度(k-1)(b-1)之和。SST=SSTR+SSBL+SSEANOVA程序第38页，课件共46页，创作于2023年2月變異來源平方和

自由度均方F處理

SSTR k-1 區集 SSBL b-1誤差

SSE(k-1)(b-1) 總和 SST nT-1隨機區集設計之ANOVA表第39页，课件共46页，创作于2023年2月範例 一項測量空中交通管制員的疲累與壓力的研究，建議應修改並重新設計管制員的工作站。在考量數個工作站的設計案後，我們選出其中三個可降低管制員壓力的較佳方案。現在面對的主要問題為：這三個方案對管制員壓力的影響程度為何？為解答此問題，我們需先設計一個實驗，以測量在3個設計案下，空中管制員的壓力。第40页，课件共46页，创作于2023年2月管制員處理

(區集)

系統A

系統B

系統C

區集平均數

1 15 15 18 16.0 2 14 14 14 14.0 3 10 11 15 12.0 4 1312 17 14.0 5 1613 16 15.0 613