2022-2023学年辽宁省大连市第五十九中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年辽宁省大连市第五十九中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是（）A．y=﹣1B．y=﹣2C．y=x﹣1D．y=﹣x﹣1

参考答案：A考点:轨迹方程．专题:导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析:由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值﹣1，从而得到两切线焦点的轨迹方程．解：由抛物线x2=4y得其焦点坐标为F（0，1）．设A（），B（），直线l：y=kx+1，联立，得：x2﹣4kx﹣4=0．∴x1x2=﹣4…①．又抛物线方程为：，求导得，∴抛物线过点A的切线的斜率为，切线方程为…②抛物线过点B的切线的斜率为，切线方程为…③由①②③得：y=﹣1．∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y=﹣1．故选：A．点评:本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题．

2.执行右图所给的程序框图，输出的S的值等于(

)A.17

B.25

C.26

D.37参考答案：C略3.曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为

（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．120°参考答案：C4.在花园小区内有一块三边长分别为3米、4米、5米的三角形绿化地，有一只小狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某时刻，小狗与三角形三个顶点的距离均超过1米的概率是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略5.一个棱长为的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）

A．

B．C．

D．参考答案：D试题分析：由三视图可知，此几何体是在正方体的两端分别截取两个三棱锥，每个三棱锥的体积为，因此此几何体的体积；考点：几何体的三视图6.函数f(x)＝lnx＋2x－1零点的个数为()A．0

B．1C．2

D．3参考答案：B7.若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（

）

（A）－2

（B）4

（C）－6

（D）6参考答案：C8.已知集合A＝{(x，y)|=1，x，yR}，B={(x，y)|y=ax+2，x，yR}，若AB＝，则a的值为（

）。A．a＝1或a＝

B．ａ＝１或a＝

C．a＝2或a＝3

D．以上都不对参考答案：B9.某实心钢质工件的三视图如图所示，其中侧视图为等腰三角形，俯视图是一个半径为3的半圆，现将该工件切削加工成一个球体，则该球体的最大体积为（）A． B． C．π D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体为半个圆锥，根据三视图的数据求底面面积与高，求出其轴截面的内切球的半径，代入公式计算即可．【解答】解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，圆锥的底面半径为3，高为4，所以母线长为5，设其轴截面的内切球的半径为r，则，∴r=1，∴该球体的最大体积为，故选A．10.

将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色．证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．参考答案：证明：首先证明平面上一定存在三个顶点同色的直角三角形．任取平面上的一条直线l，则直线l上必有两点同色．设此两点为P、Q，不妨设P、Q同着红色．过P、Q作直线l的垂线l1、l2，若l1或l2上有异于P、Q的点着红色，则存在红色直角三角形．若l1、l2上除P、Q外均无红色点，则在l1上任取异于P的两点R、S，则R、S必着蓝色，过R作l1的垂线交l2于T，则T必着蓝色．△RST即为三顶点同色的直角三角形．设直角三角形ABC三顶点同色(∠B为直角)．把△ABC补成矩形ABCD(如图)．把矩形的每边都分成n等分(n为正奇数，n>1，本题中取n=1995)．连结对边相应分点，把矩形ABCD分成n2个小矩形．AB边上的分点共有n+1个，由于n为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，(否则任两个相邻分点异色，则可得A、B异色)，不妨设相邻分点E、F同色．考察E、F所在的小矩形的另两个顶点E￠、F￠，若E￠、F￠异色，则△EFE￠或△DFF￠为三个顶点同色的小直角三角形．若E￠、F￠同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形，…．这样依次考察过去，不妨设这一行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色．同样，BC边上也存在两个相邻的顶点同色，设为P、Q，则考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形．否则，PQ所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色．现考察EF所在行与PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都与N同色，△MNH为顶点同色的直角三角形．由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比为1995，且这两个直角三角形的顶点分别同色．证明2：首先证明：设a为任意正实数，存在距离为2a的同色两点．任取一点O(设为红色点)，以O为圆心，2a为半径作圆，若圆上有一个红点，则存在距离为2a的两个红点，若圆上没有红点，则任一圆内接六边形ABCDEF的六个顶点均为蓝色，但此六边形边长为2a．故存在距离为2a的两个蓝色点．下面证明：存在边长为a，a，2a的直角三角形，其三个顶点同色．如上证，存在距离为2a的同色两点A、B(设为红点)，以AB为直径作圆，并取圆内接六边形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一点为红色，则存在满足要求的红色三角形．若C、D、E、F为蓝色，则存在满足要求的蓝色三角形．下面再证明本题：由上证知，存在边长为a，a，2a及1995a，1995a，1995′2a的两个同色三角形，满足要求．证明3：以任一点O为圆心，a及1995a为半径作两个同心圆，在小圆上任取9点，必有5点同色，设为A、B、C、D、E，作射线OA、OB、OC、OD、OE，交大圆于A￠，B￠，C￠，D￠，E￠，则此五点中必存在三点同色，设为A￠、B￠、C￠．则DABC与DA￠B￠C￠为满足要求的三角形．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f(x)＝x3－2ex2＋mx－lnx，记g(x)＝，若函数g(x)至少存在一个零点，则实数m的取值范围是_____参考答案：12.．假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费（万元）有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0由资料可知y和x呈线性相关关系，由表中数据算出线性回归方程中的

据此估计，使用年限为10年时的维修费用是

万元.参考答案：13.运行右面的算法伪代码，输出的结果为S=

．参考答案：；14.运行右图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出M的值是______参考答案：2

略15.定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f(x)>x的解集为_．参考答案：16.若，则=__________。参考答案：17.命题“存在”的否定是

。参考答案：对任意的略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）＝0，当x＞0时，。（I）求函数f（x）的解析式；（II）解不等式f（）＞－2。参考答案：（Ⅰ）当时，，则， ……2分∵函数是偶函数，∴，

……4分∴函数是偶函数的解析式为

……6分（Ⅱ）∵，

……7分∵是偶函数，∴不等式可化为，……………9分又∵函数在上是减函数，∴，解得：，即不等式的解集为

……12分19.（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知参考答案：若时，有6种情况┉7分若分别在和内时，共有12种情况.┉┉┉9分

20.[选修4-5：不等式选讲]已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）参考答案：【考点】不等式的证明．【分析】利用作差，再因式分解，即可得到结论．【解答】证明：∵a≠b，∴a4+6a2b2+b4﹣4ab（a2+b2）=（a﹣b）4＞0，∴原不等式成立．21.某制造商11月生产了一批乒乓球,随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位,保留两位小数)，将数据分组如下表（1）请在上表中补充完成频率分布表,并在右图中画出频率分布直方图;（2）若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40，试求这批球的直径误差不超过的概率；（3）统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是40.00）作为代表.据此,估计这批乒乓球直径的平均值.参考答案：略22.节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品.现用两种不同型号的节能灯做实验，各随机抽取部分产品作为样本，得到实验结果的频率直方