等差数列的性质第二课时课件

第二课时等差数列的性质第二课时等差数列的性质1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．2．理解等差数列的性质．3．掌握等差数列的性质及其应用．4．掌握等差中项的概念与应用.1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项(或通项)(重点，难点)2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重点)3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可出现，多为中低档题.1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项(或通项)(重点，难等差数列的性质第二课时课件1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)．3．若数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，则a1＋a6＝23，a2＋a5＝23，a3＋a4＝23.你能看出有什么规律吗？1．等差数列的定义1．等差数列增减性对于数列an＝a1＋(n－1)d(1)当d＞0时，{an}为

；(2)当d＜0时，{an}为

；(3)当d＝0时，{an}为

递增数列递减数列常数列．1．等差数列增减性递增数列递减数列常数列．2．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使

，那么A叫作a与b的等差中项，且A＝3．等差数列的其它常用性质a，A，b成等差数列性质1若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝

性质2若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1a1＋an＝a2＋

＝a3＋

＝…性质3若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以

为公差的等差数列性质4若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为

的等差数列am＋anan－1an－2pd1＋qd2md2．等差中项a，A，b成等差数列性质1若{an}为等差数列，1．下列说法中，正确的是()A．若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列B．若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列C．若存在自然数n使2an＋1＝an＋an＋2，则{an}是等差数列D．若{an}是等差数列，则对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2答案：

D等差数列的性质第二课时课件2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A．9 B．20C．9.5 D．33解析：方法一：∵a1＋a4＋a7＝45∴3a4＝45又∵a2＋a5＋a8＝39∴3a5＝39∴d＝a5－a4＝13－15＝－2a3＋a6＋a9＝3a6＝3(a5＋d)＝33，故选D.2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a方法二：∵{an}是等差数列，∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，首项为45，公差为39－45＝－6，∴a3＋a6＋a9＝39－6＝33.答案：

D3．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________．答案：

－34．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝__________.答案：

3方法二：∵{an}是等差数列，5．在等差数列{an}中：(1)a2＋a3＋a10＋a11＝48，求a6＋a7；(2)a1－a4－a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13；(3)a3＋a11＝10，求a2＋a4＋a15.解析：

(1)∵a2＋a11＝a3＋a10＝a6＋a7，而a2＋a3＋a10＋a11＝48，∴2(a6＋a7)＝48，得a6＋a7＝24.5．在等差数列{an}中：(2)∵a1＋a15＝a4＋a12＝2a8.而a1＋a15－(a4＋a12＋a8)＝2，即2a8－3a8＝2.∴a8＝－2.∴a3＋a13＝2a8＝－4.(3)∵a3＋a11＝2a7＝10，∴a7＝5.又a2＋a4＋a15＝a7＋a7＋a7＝3a7＝15.∴a2＋a4＋a15＝15.(2)∵a1＋a15＝a4＋a12＝2a8.等差数列的性质第二课时课件等差数列性质的应用(1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列的通项公式；(2)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.等差数列性质的应用(1)先利用等差数列的性质转化为求a2、a6，再求出首项a1和公差d，得出通项公式；(2)既可以先求a5，也可以通过首项与公差求解．(1)先利用等差数列的性质转化为求a2、a6，再求出首项a1[解题过程](1)∵a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15.∴a4＝5，∴a2＋a6＝10，且a2a6＝9.∴a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的两根若a2＝1，a6＝9,则d＝2，∴an＝2n－3；若a2＝9，a6＝1，则d＝－2.∴an＝13－2n.故an＝2n－3或an＝13－2n.[解题过程](1)∵a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，(2)方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.方法二：因为{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d，即5a1＋20d＝450，∴a1＋4d＝90，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180.(2)方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，[题后感悟]

求等差数列的通项公式，必须求出首项a1与公差d，为此，利用等差数列的性质，转化为等差数列的两项的方程组求解.等差数列的项与项数有着密切的联系，由m＋n＝k＋l＝2w可得am＋an＝ak＋al＝2aw，在解决等差数列的有关问题中应用非常简便．[题后感悟]求等差数列的通项公式，必须求出首项a1与公差d1．在等差数列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.解析：

(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12.等差数列的性质第二课时课件等差数列的性质第二课时课件等差数列的性质第二课时课件等差数列的性质第二课时课件等差数列的性质第二课时课件[题后感悟]

(1)到目前为止，判断一个数列{an}为等差数列的方法有：①定义法，即an＋1－an＝d；②通项公式法，即an＝An＋B；③等差中项法(无穷数列)，2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N＋)．(2)要证三个数a，b，c成等差数列，只需证2b＝a＋c即可，若已知三个数a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c.[题后感悟](1)到目前为止，判断一个数列{an}为等差数等差数列的性质第二课时课件等差数列的性质第二课时课件(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．等差数列的性质第二课时课件[策略点睛][策略点睛][规范作答](1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，这三个数为－2,2,6或6,2，－2.[规范作答](1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d即1－d2＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.等差数列的性质第二课时课件[题后感悟]

利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．[题后感悟]利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一3．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四数．解析：

设所求四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d依题意可得，等差数列的性质第二课时课件等差数列的性质第二课时课件1．等差数列通项公式的推广由等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，容易得到an＝am＋(n－m)d，这可以看作等差数列通项公式的推广公式．事实上，am＋(n－m)d＝a