同济版大一高数下第七章第九节常系数非齐次线性微分方程课件

主讲教师:王升瑞高等数学第三十八讲1主讲教师:高等数学第三十八讲1常系数非齐次线性微分方程第八节二、第七章一、三、2常系数非齐次线性微分方程第八节二、第七章一、三、2二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法3二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解一、 特征方程令：令：令：其中是x的m多项式4一、 特征方程令：令：令：其中是x的m多项式4例1.的通解.解:先求Y特征方程为设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为对应齐次方程的通解为：再求y*,通解为5例1.的通解.解:先求Y特征方程为设所求特解为代入方程例2：的通解。解:先求Y特征方程为设所求特解为对应齐次方程的通解为：再求y*,代入方程整理得:矛盾！问题是y*所设，本题与例1的区别在于题中缺y项。设6例2：的通解。解:先求Y特征方程为设所求特解为对应齐次将代入原方程于是所求特解为通解为若有初始条件求特解将初始条件代入整理得特解为比较系数,得7将代入原方程于是所求特解为通解为若有初始条件求特解将初始条件例3：的通解。解:先求Y特征方程为设所求特解为代入方程:于是所求特解为再求y*,通解为8例3：的通解。解:先求Y特征方程为设所求特解为代入方程例4.

求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故原方程通解为由初始条件得解得9例4.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解于是所求解为原方程通解为解得例4.求解定解问题10于是所求解为原方程通解为解得例4.求解定解问题10二、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式11二、为实数,设特解为其中为待定多(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解12(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解例1：的通解。解:先求Y特征方程为设所求特解为代入方程比较系数,得:于是所求特解为再求y*,通解为13例1：的通解。解:先求Y特征方程为设所求特解为代入方程例2.

的通解.

解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为特解为代入方程比较系数,得所求通解为若设非齐次方程特解为代入方程比较系数,得矛盾14例2.的通解.解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解例3.

求方程的通解.解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为15例3.求方程的通解.解:本题特征方程为其根为设非齐次方例4：求满足且在原点处与直线相切的曲线表达式。解:特征方程为设所求特解为代入方程整理得比较系数,得于是所求特解为再求y*,通解为16例4：求满足且在原点处与直线相切的曲线表达式。解:特征方程为由题意可得初始条件：代入代入所求曲线方程为：例4：求满足且在原点处与直线相切的曲线表达式。17由题意可得初始条件：代入代入所求曲线方程为：例4：求满足且在例5：求一个特解。解：设代入方程可见通解:18例5：求一个特解。解：设代入方程可见通解:18三、具有如下形式的特解其中a,b为待定系数。k的取法规则是：

取取对应齐次方程的特征方程的特征根上述结论也可推广到高阶方程的情形.可以证明19三、具有如下形式的特解其中a,b为待定系数。k例1.

的通解.

解:特征方程为其根为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的根,因此设非齐次方程特解为20例1.的通解.解:特征方程为其根为比较系数,得因此特例2

求微分方程的通解。特征方程特征根设将代入原方程，整理后并约去非零因式解21例2求微分方程的通解。特征方程特征根设将代入原方程，整理比较两端的同类项系数，得方程的特解方程的通解得例2

求微分方程的通解。22比较两端的同类项系数，得方程的特解方程的通解得例2求微分例3求下列微分方程的通解特征根:令非齐次方程特解为代入方程可得原方程通解为解特征方程23例3求下列微分方程的通解特征根:令非齐次方程特解为代入例4.且满足方程提示:

则问题化为解初值问题:最后求得24例4.且满足方程提示:则问题化为解初值问题:最后求得24解特征方程设原方程的特解为例5原方程分为25解特征方程设原方程的特解为例5原方程分为25故原方程的通解为由即例526故原方程的通解为由即例526例6求的通解。解：由由设代入上式整理得：通解：27例6求的通解。解：由由设代入上式整理得：通解：27例7.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解28例7.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方2929内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.30内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则作业P3471(1),(5),(6),(10);2(2),(4);631作业P3471(1),(5),(6),例6.

求微分方程的通解。(其中为实数).解:特征方程特征根:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为3