勾股定理经典例题(含答案)

勾股定理经典例题(含答案)AC·BC，求证：△ABC为直角三角形。思路点拨：利用勾股定理的构造应用，构造含角的直角三角形，然后利用已知条件进行推导。解析：连接BD，根据勾股定理，在△ABD和△CBD中，分别有：AB²=AD²-BD²BC²=BD²-CD²将CD·DE=AC·BC代入得：CD·DE=AC·(BD²-CD²)移项得：AC·CD+(AC·DE)=BD²·AC由于AC·BD=AB·BC，所以BD²·AC=AB²·BC²，代入上式得：AC·CD+AC·DE=AB²·BC²-AC·CD化简得：AC·DE=AB²·BC²-2AC·CD再利用勾股定理，在△ABC中有：AB²=AC²+BC²代入得：AC·DE=AB²·BC²-2AC·CD=AC²·BC²+BC⁴-2AC·CD=BC²(AC²-2CD²)+CD²(BC²-AC²)因为AC²-2CD²<0，所以BC²-AC²>0，所以CD²(BC²-AC²)<0，所以AC·DE<0，即AC和DE异向，所以∠BAC和∠EDC互余，即∠BAC为直角，所以△ABC为直角三角形。举一反三【变式】：如图，已知△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，D为BC中点，E为AC上一点，DE与AB垂直，求DE的长。思路点拨：构造含角的直角三角形，利用勾股定理进行计算。解析：连接AE，根据勾股定理，在△ADE和△ABC中，分别有：AD²=AE²-DE²AB²=AC²-BC²将DE与AB垂直代入得：AE·DE=AB²代入已知条件得：5·DE=9∴DE=1.8。勾股定理是数学中的一个基本定理，它的实际应用非常广泛。本文将介绍勾股定理在实际问题中的应用，包括用勾股定理求两点之间的距离问题和用勾股定理求最短问题。用勾股定理求两点之间的距离问题在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。我们需要求出A、C两点之间的距离，以及目的地C在营地A的什么方向。解析：首先，我们通过作BE//AD，得到∠DAB=∠ABE=60°。然后，由30°+∠CBA+∠ABE=180°可得∠CBA=90°，即△ABC为直角三角形。由已知可得BC=500m，AB=。利用勾股定理可得AC=1000m。其次，我们需要确定目的地C在营地A的什么方向。在Rt△ABC中，由BC=500m和AC=1000m可得∠CAB=30°。又因为∠DAB=60°，所以∠DAC=30°，即点C在点A的北偏东30°的方向。举一反三变式：一辆装满货物的卡车要开进一个高2.5米、宽1.6米的厂门，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？解析：我们需要判断当卡车位于厂门正中间时，其高度是否小于CH。如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于H。由OC=1米和OD=0.8米可得CD=0.6米。又因为车厢高度为2.5米，所以CH=0.6+2.3=2.9米。因此高度上有0.4米的余量，卡车能通过厂门。用勾股定理求最短问题国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，正在全国各地农村进行电网改造。某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，设计了四种架设方案，如图所示。我们需要计算哪种架设方案最省电线。解析：设正方形的边长为1，则图（1）和图（2）中的总线路长分别为3。在图（3）中，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=√2，BC=1，AC=√3。同理，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=√2，CD=1，AC=√3。因此，图（3）中的路线长为2√2+2√3≈5.65。在图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH=CH。由∠FBH=45°可得FB=EA=ED=FC=1/√2。因此，EF=1-2FH=1-1/√2。由此可得图（4）中总线路的长为4EA+EF≈5.66。综上所述，图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线。举一反三a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，因此，(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。由此可得a=3，b=4，c=5。因为32+42=52，所以a2+b2=c2。根据勾股定理的逆定理，可以得出△ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理通过数量关系来研究图形的位置关系，在证明中常常需要使用。举一反三，例如在四边形ABCD中，已知∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，需要求解四边形ABCD的面积。连结AC，因为∠B=90°，AB=3，BC=4，所以AC2=AB2+BC2=25（根据勾股定理），从而AC=5。又因为AC2+CD2=169，AD2=169，所以AC2+CD2=AD2，因此∠ACD=90°（根据勾股定理逆定理）。变式2：已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（其中m和n为正整数，且m＞n），需要判断△ABC是否为直角三角形。解析：根据勾股定理的逆定理，只需要证明a2+b2=c2即可。证明过程如下：因此，△ABC是直角三角形。变式3：如图，正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AD。需要判断FE是否垂直于DE。解析：设BF=a，则BE=EC=2a，AF=3a，AB=4a。根据题意，可以列出以下方程：EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接DF（如图），则DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。因此，DF2=EF2+DE2，即FE⊥DE。类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法例题1：若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，则根据勾股定理，有：（3x）2+（4x）2＝202化简得x2＝16，因此直角三角形的面积为6x2＝96。总结升华：在直角三角形中，可以通过设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解，计算边长和面积等。BD=BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合），因为AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等），所以BD=1。在直角三角形ABD中，根据勾股定理，AB²=AD²+BD²，即AD²=AB²-BD²=4-1=3。因此，AD=√3。由等腰三角形的性质可得，S△ABC=BC·AD=2√3。考虑一个直角三角形，周长为12cm，斜边长为5cm，求其面积。设两直角边长分别为x和y，则由勾股定理可得x²+y²=5²-2²=21。又因为周长为12cm，即x+y+√(x²+y²)=12，代入前式得2xy=12-21=-9。因此，直角三角形的面积为xy=-9/2=-4.5（cm²）。给定一个直角三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，求n。由勾股定理可得(n+1)²+(n+2)²=(n+3)²，化简得n²=4，因此n=2。判断以下各组数能否组成直角三角形。对于选择D，计算得8²≠(40+39)×(40-39)，因此以8，39，40为边长不能组成直角三角形。同理可判断其它选项，正确答案为A。四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求其面积。由勾股定理可得AC=5，且∠ACD=90°。因此，S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36。公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°。点A处有一所中学，AP＝160m。如果拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么学校是否会受到噪声影响？如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？解题思路：1.要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m，小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。2.要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解题过程：作AB⊥MN，垂足为B。在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，∴AB＝AP＝80。因为点A到直线MN的距离小于100m，所以这所中学会受到噪声的影响。假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，由勾股定理得：BC²＝100²-80²＝3600，∴BC＝60。同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么AD＝100(m)，BD＝60(m)，∴CD＝120(m)。拖拉机行驶的速度为:18km/h＝5m/s，所以t＝120m÷5m/s＝24s。答案：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。总结升华：勾股定理是求线段长度的重要方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三：【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了多少步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为3+4＝7(m)。设走“捷径”的路长为x，那么少走的路长为7-x。因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路，即2m。【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。请直接写出单位正三角形的高与面积。解析：单位正三角形的高等于边长的一半，即h=1/2。面积为底乘以高再除以2，即S=1/2×1/2×1=1/4。【答案】（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积为24平方个单位面积。（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，根据勾股定理得AC的长为。思路点拨：对于第二问，可以直接数数得出答案；对于第三问，需要利用勾股定理，通过作垂线将三角形转化为直角三角形，再求出AC的长。解：（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，根据勾股定理得AC的长为。总结升华：此题考查了勾股定理和垂线的应用。在解决问题时，可以通过转化将问题转化为已知的知识点来解决。（二）方程的思想方法4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求、的值。思路点拨：由勾股定理可得，再利用三角函数的定义求出、的值。解：在R