四川省成都市西河职业中学2022年高三数学文月考试题含解析

四川省成都市西河职业中学2022年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则等（A）

(B)

(C)

(D)参考答案：B略2.命题“若，则”以及它的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是【

】

A、0

B、2

C、3

D、4参考答案：B3.某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为(

) A．3+3 B．8+3 C．6+6 D．8+6参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，根据已知分析各个面的形状，求出面积后，相加可得该几何体的表面积解答： 解：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，下底面为边长为2的正方形，面积为4；上底面为边长为1的正方形，面积为1；左侧面和后侧面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，每个面的面积为右侧面和前侧面是上底为1，下底为2，高为的梯形，每个面的面积为故该几何体的表面积为4+1+2×+2×=8+3故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图，求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．4.命题函数在区间上是增函数；命题函数的定义域为．则是成立的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：D试题分析：命题函数在区间上是增函数，则在是增函数且，即；函数的定义域为．则恒成立，所以，，故选．考点：1．函数的单调性；2．函数的定义域；3．充要条件．5.双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐进线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为A． B． C． D．参考答案：A由双曲线的方程可得一条渐近线方程为；在中过点做垂直OF因为得到;所以;故选A.

6.已知函数f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4] B．[0，+2] C．[+2，e3﹣4] D．[e3﹣4，+∞）参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）=x3﹣31nx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a=﹣3lnx?a+1=x3﹣31nx，即方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，设函数g（x）=x3﹣31nx，其导数g′（x）=3x2﹣=，又由x∈[，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）=x3﹣31nx有最小值g（1）=1，又由g（）=+3，g（e）=e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）=x3﹣31nx有最大值g（e）=e3﹣3，故函数g（x）=x3﹣31nx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1=x3﹣31nx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．7.若，则等于

(

)

A．0

B.

C．

D．参考答案：B8.在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，，．有四个命题：①若，则点、一定在直线的同侧；②若，则点、一定在直线的两侧；③若，则点、一定在直线的两侧；④若，则点到直线的距离大于点到直线的距离．上述命题中，全部真命题的序号是……（

）A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①②③④参考答案：B①若,则或，所以点、一定在直线的同侧所以①正确。②若，则或，所以点、一定在直线的异侧，所以②正确。③若，则，当，也成立，但此时，点、在直线上，所以③错误。④若，则，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离，所以，所以④正确。所以全部正确的是①②④，选B.9.抛物线（）的焦点为，其准线经过双曲线（，）的左焦点，点为这两条曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C10.设复数（其中i是虚数单位），则等于

A.1－2i

B.1+2i

C.

－2i

D.2i参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知全集，集合，则=

．参考答案：｛0｝12.已知椭圆C:，点为其长轴的6等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆C于，则直线这10条直线的斜率乘积为

．参考答案：13.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，则的值为参考答案：试题分析：由于函数为奇函数，故.考点：函数的奇偶性、分段函数求值.14.若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是．参考答案：[，π）考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：不妨设||=1，则||=||=λ．令=，=，以OA、OB为临边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB为菱形．故有∠OAB=∠OBA=θ，与的夹角，即与的夹角，等于π﹣θ，且0＜θ＜．△OAC中，由余弦定理解得cos2θ=1﹣．再由≤λ≤1求得cos2θ的范围，从而求得θ的范围，即可得到则与的夹角的取值范围．解答：解：∵，不妨设||=1，则||=||=λ．令=，=，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则平行四边形OACB为菱形．故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB=∠OBA=θ，且0＜θ＜．而由题意可得，与的夹角，即与的夹角，等于π﹣θ．△OAC中，由余弦定理可得OC2=1=OA2+AC2﹣2OA?AC?cos2θ=λ2+λ2﹣2?λ?λcos2θ，解得cos2θ=1﹣．再由≤λ≤1，可得≤≤，∴﹣≤cos2θ≤，∴0＜2θ≤，∴0＜θ≤，故≤π﹣θ＜π，即与的夹角π﹣θ的取值范围是[，π）．点评：本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，余弦定理以及不等式的性质的应用，属于中档题．15.选修4-1：几何证明选讲已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为

3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝

.参考答案：由已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，利用勾股定理得：AB=5cm，再由切割线定理得:，所以BD=cm。16.在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式ρ=﹣4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为

．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】直线l的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y+1=0，圆ρ=﹣4cosθ即ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2+4x=0，即（x+2）2+y2=4，表示以（﹣2，0）为圆心，半径等于2的圆．∴圆C的圆心到直线l的距离为=，故答案为．17.从原点O向圆C:作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为

．参考答案：(写成1:2也对).把圆的方程化为标准方程为，得到圆心C的坐标为(0,6),圆的半径,由圆切线的性质可知,∠CBO=∠CAO=90?，且AC=BC=3，OC=6，则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60?+60?=120?所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为(写成1:2也对).三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}为等差数列，且a3=5，a5=9，数列{bn}的前n项和Sn=bn+．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an|bn|，求数列{cn}的前n项的和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的定义即可求出通项公式，再根据数列的递推公式即可求出{bn}的通项公式，（Ⅱ）由错位相减求和法求出数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）数列{an}为等差数列，∴d=（a5﹣a3）=2，又∵a3=5，∴a1=1，∴an=2n﹣1，当n=1时，S1=b1+，∴b1=1，当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=bn﹣bn﹣1，∴bn=﹣2bn﹣1，即数列{bn}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴bn=（﹣2）n﹣1，（Ⅱ）cn=an?|bn|=（2n﹣1）?2n﹣1，∴Tn=1×1+3×21+5×22+…+（2n﹣3）?2n﹣2+（2n﹣1）2n﹣1，则2Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣3）?2n﹣1+（2n﹣1）2n，相减，﹣Tn=1+2（22+23+…+?2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n=1+2×﹣（2n﹣1）2n=1+2n﹣1﹣4﹣（2n﹣1）2n=﹣3+（3﹣2n）2n，∴Tn=（2n﹣3）?2n+3．【点评】本题考查数列的通项公式的求法和数列求和，解题时要注意公式的灵活运用，特别是错位相减求和法的合理运用．19.（14分）已知为正整数，（I）用数学归纳法证明：当时，；（II）对于，已知，求证：，；（III）求出满足等式的所有正整数．参考答案：本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解析：解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，，，于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，于是，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，，．即．即当时，不存在满足该等式的正整数．故只需要讨论的情形：当时，，等式不成立；当时，，等式成立；当时，，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的只有．解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，，．①（ⅰ）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当时，不等式①成立，即，则当时，因为，所以．又因为，所以．于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当，时，，，而由（Ⅰ），，．（Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，即有．②又由（Ⅱ）可得，与②式矛盾．故当时，不存在满足该等式的正整数．下同解法1．

20.（14分）已知函数．(Ⅰ)求函数的最小值；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ)对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”.设函数，，与是否存在“分界线”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解析：(Ⅰ)解：因为，令，解得，令，解得，所以函数在上递减，上递增，所以的最小值为．

………3分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知函数在取得最小值，所以，即两端同时乘以得，把换成得，当且仅当时等号成立．由得，，，，…

，．将上式相乘得．………9分（Ⅲ）设.

则．

所以当时，；当时，．因此时取得最小值0，则与的图象在处有公共点．设与存在“分界线”，方程为.由在恒成立，则在恒成立.所以成立.因此.下面证明成立.

设，.

所以当时，；当时，.

因此时取得最大值0，则成立.所以，.

………14分21.(本小题满分12分）设正数等比数列的前项和为，已知，。（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和。参考答案：（1）设等比数列的公比为由得，解得或（舍）所以数列的通项公式是：（2）由（1），得所以……①得……②得所以22.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.

（注：方差其中为的平均数）参考答案