第四章·几何图形初步·第4课时·互余角、互补角、方向角、方位角

初中数学第四章《几何图形初步》“角、角度制”培训教程知识点精讲第一节：余角和补角若两个角之和等于90直角，就形成了余角。问(1)：什么是余角？余角具有什么性质？答：若两个角之和等于90直角，则这两个角互为余角，其中一个角就是另一个角的余角。即：若∠1＋∠2=90，则∠1和∠2互为余角。答：余角具有以下性质：①互为余角的两个角之和等于90直角。即：若∠1和∠2互为余角，则∠1＋∠2=90。②等角的余角都相等。已知：任意两等角∠1=∠2，∠1的余角为∠A，∠2的余角为∠B。求证：∠A=∠B。证明：∵互为余角的两个角之和等于90直角。∴∠1＋∠A=90，∠2＋∠B=90。∴∠A=90－∠1，∠B=90－∠2。∵∠1=∠2。代换得：∠A=90－∠1，∠B=90－∠1。则：∠A=∠B。即：等角的余角相等。若两个角之和等于180平角，就形成了补角。问(2)：什么是补角？补角具有什么性质？答：若两个角的和等于180平角，则这两个角互为补角，其中一个角就是另一个角的补角。即：若∠1＋∠2=180答：补角具有以下性质：①互为补角的两个角之和等于180平角。即：若∠1和∠2互为补角，则∠1＋∠2=180。②等角的补角相等。已知：任意两等角∠1=∠2，∠1的补角为∠A，∠2的补角为∠B。求证：∠A=∠B。证明：∵互为余角的两个角之和等于180的平角。∴∠1＋∠A=180，∠2＋∠B=180。∴∠A=180－∠1，∠B=180－∠2。∵∠1=∠2。代换得：∠A=180－∠1，∠B=180－∠1。则：∠A=∠B。即：等角的补角相等。【例1】①已知：∠1＋∠2=90，且∠1是锐角。求证：∠2一定是锐角。②已知：∠3＋∠4=180，且∠3是钝角。求证：∠4一定是锐角。分析：运用反证法。①假设∠2不是锐角，由此推出∠1＋∠2≠90。②假设∠4不是锐角，由此推出∠3＋∠4≠180。①②推出的结论与题目中的已知条件相矛盾，由此得出假设不成立，原结论成立。证明①：假设∠2不是锐角。则：∠2是0角，90角，或大于90的角。已知：∠1是一个大于0小于90的锐角。则：∠1＋∠2一定小于或大于90，即∠1＋∠2≠90。这显然与题目中的已知条件“∠1＋∠2=90”所以，假设不成立，原结论成立，锐角∠1的余角∠2一定是锐角。即：锐角的余角一定是锐角。证明②：假设∠4不是锐角。则：∠4是0角，90角，或大于90的角。已知：∠3是大于90小于180的钝角。则：∠3＋∠4一定小于或大于180，即∠3＋∠4≠180。这显然与题目中的已知条件“∠3＋∠4=180”所以，假设不成立，原结论成立，钝角∠3的补角∠4一定是锐角。即：钝角的补角一定是锐角。【注1】同理也可以证明：锐角的补角一定是钝角。已知：∠5＋∠6=180，且∠5是锐角。求证：∠6一定是钝角。证明：假设∠6不是钝角。则：∠6可能是0角，大于0小于90的锐角或90的直角，180的平角或是大于180的角。已知：∠5是大于0小于90的锐角。则：∠5＋∠6一定小于或大于180，即∠5＋∠6≠180。这显然与题目中的已知条件“∠5＋∠6=180”所以，假设不成立，原结论成立。即：锐角的补角一定是钝角。【注2】以上证明中运用了间接证明结论的一种常用方法——反证法。反证法，又称归谬法。其基本步骤是：一、先假设要求证的结论不成立；二、再由假设推理得出与题目中的已知数据和条件，已知的定义、公理或定理相矛盾的结论，即“归谬”；三、最后得出结论：假设不成立，要求证的结论成立。当要证明的题目直接证明比较困难，可尝试运用“反证法”间接证明，注意掌握这一方法。第二节：方向角和方位角当组成一个角的两条射线用于表示方向时，这个角就不仅有角度，而且还有方向。这个角就是用于确定物体方向的角——方向角。问(1)：什么是方向角？如何划分各种不同的方向角？观察点O观察点O（注：图中大写字母是英文缩写，N代表“北”，S代表“南”，W代表“西”，E代表“东”，即“上北下南，左西右东”。）答：如图，WE是水平线，NS是水平线的垂线。WE和NS垂直相交，交点是观察点O。通常规定：地图上从观察点出发，指向某一方向的射线称之为方向线，指向某一目标的方向线就是目标方向线。如图，从观察点O出发：垂直于水平线的向上的射线ON指向正北方向，就是正北方向线，垂直于水平线的向下的射线OS指向正南方向，就是正南方向线；向左的水平射线OW指向正西方向，就是正西方向线；向右的水平线OE指向正东方向，就是正东方向线。如图，从观察点O出发，射线OP、OP、OP、OP指向目标方向，就是目标方向线。由此可以把方向角定义为：方向角就是地图上从观察点出发，以正北或正南方向线为起始线，以偏向正东或正西的目标方向线为终止线，按顺时针或逆时针方向旋转形成的0～90的角。方向角的顶点是观察点，起始线是从观察点出发的正北或正南方向线，终止线是目标方向线。答：依据方向角的定义，可以把方向角划分为两种类型。①北偏东、北偏西的方向角：北偏东的方向角就是从观察点出发，以正北方向线为起始线，顺时针旋转到偏向正东的目标方向线形成的角。如图：射线ON和OP之间形成的角∠1就是北偏东的方向角。北偏西的方向角就是从观察点出发，以正北方向线为起始线，逆时针旋转到偏向正西的目标方向线形成的角。如图：射线ON和OP之间的形成的角∠2就是北偏西的方向角。②南偏东、南偏西的方向角：南偏东的方向角就是从观察点出发，以正南方向线为起始线，逆时针旋转到偏向正东的目标方向线形成的角。如图：射线OS和OP之间的形成的角∠3就是南偏东的方向角。南偏西的方向角就是从观察点出发，以正南方向线为起始线，顺时针旋转到偏向正西的目标方向线形成的角。如图：射线OS和OP之间的形成的角∠4就是南偏西的方向角。除方向角之外，还有一个常用的确定物体方位的角——方位角。问(2)：什么是方位角？如何区分“方向角”和“方位角”？观察点O观察点O答：方位角就是地图上从观察点出发，以正北方向线为起始线，以目标方向线为终止线，按顺时针方向旋转形成的0～360的角。如图，从观察点O出发，以正北方向线ON为起始线，以目标方向线OP、OP、OP、OP为终止线，按顺时针方向旋转形成的∠NOP、∠NOP、∠NOP、∠NOP就是方位角。答：“方向角”和“方位角”不同。①起始线不同：方向角以从观察点出发的正北或正南方向线为起始线，有两条起始线。方位角以从观察点出发的正北方向线为起始线，有一条起始线。②旋转方向不同：方向角的起始线按顺时针或逆时针方向旋转到目标方向线。方位角的起始线按顺时针方向旋转到目标方向线。③角度不同：方向角是0～90角。方位角是0～360角。观察点O观察点O如图：从观察点O出发的、代表“东、南、西、北”四个方向的方向线ON和OE，OE和OS，OS和OW，OW和ON都垂直相交于点O，形成的四个角都是90直角。从观察点O出发的方向线OP、OP、OP、OP分别是四个直角的平分线。其中：ON代表正北方向，其方向角度数为“北偏东0”或“北偏西0”，方位角度数为“方位角0”。OE代表正东方向，其方向角度数为“北偏东90”或“南偏东90”，方位角度数为“方位角90”。OS代表正南方向，其方向角度数为“南偏东0”或“南偏西0”，方位角度数为“方位角180”。OW代表正西方向，其方向角度数为“北偏西90”或“南偏西90”，方位角度数为“方位角270”。其中：OP代表东北方向，其方向角度数为“北偏东45”，方位角度数为“方位角45”。OP代表东南方向，其方向角度数为“南偏东45”，方位角度数为“方位角135”。OP代表西南方向，其方向角度数为“南偏西45”，方位角度数为“方位角225”。OP代表西北方向，其方向角度数为“北偏西45”，方位角度数为“方位角315”。【例2】如图，海中有一小岛PA、B、C处分别测得小岛P在北偏东60、北偏东35和北偏西30方向上。图中横向虚线代表东西方向线，竖向虚线代表南北方向线。问：(1)若以小岛P为观察点，A、B、C分别在小岛P的什么方向上？(2)若以小岛P为观察点，A、B、C分别在小岛P的什么方位？(1)解：如图，由方向角的定义可知：以小岛P为观察点，要求的方向角分别是：∠QPA，∠QPB，∠QPC。已知方向角：∠NAP=60，∠DBP=35，∠FCP=30。∵各条南北方向线互相平行。∴内错角相等，∠QPA=∠NAP=60，∠QPB=∠DBP=35，∠QPC=∠FCP=30。即：以小岛P为观察点，A、B、C分别在小岛P的南偏西60，南偏西35，南偏东30方向上。(2)解：如图，由方位角的定义可知：以小岛P为观察点，要求的方位角分别是：∠RPA=180＋∠QPA，∠RPB=180＋∠QPB，∠RPC=180－∠QPC。已知：∠QPA=60，∠QPB=35，∠QPC=30。∴∠RPA=180＋60=240，∠RPB=180＋35=215，∠RPC=180－30=150。即：以小岛P为观察点，A、B、C的方位角分别是240，215，150。典型题型精编解析选择题：1.已知∠和∠互补，且∠>∠，若∠是锐角，则下列判断正确的一组是（）①∠－∠一定是锐角②∠只有补角，没有余角；∠既有补角，又有余角③∠的补角和∠的余角互补④∠一定是钝角A.①和②B.①和③C.②和③D.②和④【答案】D【解析】由已知得：∠＋∠=180，且∠>∠，∠是锐角。则：∠一定是钝角。钝角减锐角可能是锐角、直角或钝角，不一定是锐角。所以①判断错误。钝角只有补角，没有余角。锐角既有补角，又有余角。已知∠是钝角，∠是锐角。所以②判断正确。∠的补角=∠，∠的余角=90－∠。∠的补角＋∠的余角=∠＋90－∠=90。即：∠的补角和∠的余角互余。所以③判断错误。因为锐角和钝角相加才能互补，所以满足已知条件的∠一定是钝角。④判断正确。故②和④正确。选D。2.已知锐角，则∠的补角和余角之差等于∠的补角和余角之和的，则∠的度数为（）A.15B.30C.45D.90【答案】C【解析】∠的补角=180－∠，∠的余角=90－∠。由已知列等式：(180－∠)－(90－∠)=[(180－∠)＋(90－∠)]。整理得：90=(270－2∠)。解得：∠=45。故选C。3.以下结论错误的是（）A.反证法的第一步是提出假设B.方向角和方位角只能确定目标的方向C.等角的余角和补角都相等D.钝角和锐角之差的补角是锐角【答案】D【解析】反证法的第一步就是先提出假设，提出与要证明的结论相反的假设。方向角和方位角显示的是从观察点出发目标所在的方向角度，不能确定目标具体的位置。由余角和补角的定义可知：等角的余角和补角都相等。所以，选项A、B、C均正确。钝角和锐角之差可能是锐角、直角或钝角，钝角的补角是锐角，直角的补角是直角，锐角的补角是钝角。钝角和锐角之差的补角是锐角、直角或钝角。故选项D错误,选D。4．如图，点O在点A的南偏东30方向，则点A应在点O的()，方位角为()A.南偏东60方向，330B.南偏东60方向，150C.北偏西30方向，330D.北偏西30方向，150【答案】C【解析】如图，过点O左两条互相垂直的水平线和竖直线。水平线是左西右东，竖直线是上北下南。由方向角的定义可知：以点A为观察点，南偏东30，即∠1=30。且：图中的竖直线互相平行。所以，内错角相等，∠1=∠2=30。由方向角的定义可知：以点O为观察点，点A应在点O的北偏西30方向上。由方位角的定义可知：以点O为观察点，点A的方位角为180＋150=330。故选C。填空题：1.若一个角的余角与这个角的补角的和比平角的多3，则这个角等于________度。【答案】21【解析】设这个角为。∠的余角=90－∠，∠的补角=180－∠。由已知列等式：(90－∠)＋(180－∠)－·180=3。整理得：45－2∠=3。解得：∠=21。2.如图，O是直线AB上一点，∠EOA=∠FOD=90，且OD是∠EOC的三等分线，OB平分∠COD，图中与∠1互余的角有_____________，与∠2互补的角有_____________。【答案】∠2、∠3；∠FOB、∠EOC、∠AOD【解析】如图，∠1＋∠2=∠EOA=90，∠1＋∠3=∠FOD=90。∴∠1和∠2、∠3互余。由已知得：∠DOC=2∠3,∠DOC=2∠4。∴∠3=∠4=∠5。如图，∠2＋∠FOB=平角AOB=180。即：∠2和∠FOB互补。且∠FOB=∠FOD＋∠4=90＋∠4，又∠EOC=∠EOB＋∠5=90＋∠5，∠AOD=∠EOA＋∠3=90＋∠3。∴∠FOB=∠EOC=∠AOD。∴∠2和∠EOC、∠AOD互补。3.若∠1与∠2互为补角，则∠1的余角与∠2的补角之和=___________。 【答案】90【解析】由余角和补角的定义可得：∠1的余角=90－∠1，∠2的补角=180－∠2。∴∠1的余角＋∠2的补角=（90－∠1）＋(180－∠2)=270－(∠1＋∠2)。由已知得：∠1＋∠2=180。代换得：∠1的余角＋∠2的补角=270－180=90。4.如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB=∠AOC，射线OE是射线OB的反向延长线。若射线OD平分∠COE，则射线OD的方向角是________度，方位角是________度。【答案】南偏东75；105【解析】解题思路：(1)先确定射线OD的方向角和方位角：如图，∠SOD就是射线OD的方向角，∠NOD就是射线OD的方位角。(2)由已知求∠SOD：如图，已知：∠1=15°，∠2=40°。则：∠AOB=∠AOC=∠1＋∠2=15＋40=55，∠COB=2·55=110。由平角∠BOE=180可知：∠COE=180－110=70。由射线OD平分∠COE可知：∠DOE=∠DOC=·70=35。由对顶角相等可知：∠3=∠2=40。∴如图，∠SOD=35＋40=75。(3)由已知求∠NOD：如图，∠NOD=∠1＋∠AOC＋∠DOC=15＋55＋35=105。解答题：1.在图中长方形纸片ABCD两边AB、CD上分别取点E、F，连接点E、F。把∠AEF和∠BEF对折，折线分别为EG、EC，折叠后点A、B分别落在线段EF延长线上点处，EF上点处。问：(1)∠GEA和∠CEB具有什么数量关系？(2)折叠后图中互补的角有多少对？分别列举出来，并说明理由。【答案】(1)解：如图，设∠1、∠2、∠3、∠4。由对折可得：∠1=∠3，∠2=∠4。由平角可得：∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180。∴2(∠1＋∠2)=180。即：2∠GEC=180。∴∠GEC=90。由平角可得：∠GEC＋∠GEA＋∠CEB=180。∴∠GEA＋∠CEB=90。(2)解：①已知：∠GEC=90，∠D=90。∴∠GEC和∠D互补。②已知：∠GEC=90。由对折可得：∠A=∠=90。∴∠GEC和∠互补。③已知：∠GEC=90。由对折可得：∠B=∠CE=90。∴∠GEC和∠CE互补。④已知：∠GEC=90。由平角可得：∠CF=∠CE=90。∴∠GEC和∠CF互补。⑤已知：∠D=∠=90。∴∠D和∠互补。⑥已知：∠D=∠CE=90。∴∠D和∠CE互补。⑦已知：∠D=∠CF=90。∴∠D和∠CF互补。⑧已知：∠=∠CE=90。∴∠和∠CE互补。⑨已知：∠=∠C