高考数学 热点难点突破技巧 第07讲 导数中的双变量存在性和任意性问题

#(a,b)内至少有一个值f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的一个函数值大，即f(x)>g(x).maxmin【例1】已知函数f(x)二4lnx-ax+—■^(a>0).x(I)讨论f(x)的单调性；(II)当a>1时，设g(x)=2ex-4x+2a若存在x(II)当a>1时，设g(x)=2ex-4x+2a若存在x1x2e使f(x)>g(x),12实数a的取值范围.(e为自然对数的底数，e=271828L)【解析】(I)八-]=纟-_口=迹—一歼讥x>0.XXJT令h{jc)=-ax2+4x-(df+3)盘=13时」"|=加-3,/V)的减区间为(0扌増区间为扌则盘尹0曰寸,A=—(盘一1)国一斗)所以当心时,A<0,A(x|<0,/V)在区间(0,-00)1单调递减.当0<a<1时，A>0，x+x=—>0，x-x=12a122-、■-(a—1)(a+4)=>0x=2当xe(0，x)时，h(x)<0，1f(x)单调递减,当xe(x，x)时，h(x)>0，12f(x)单调递增,当xe(x，+8)时，h(x)<0，f(x)单调递减,所以当a=0时，f(x)的减区间为[0，寸，增区间当a>1时，f(x)的减区间为(0，+8)当0<a<1时，f(x)的减区间为2-J-(a-1)(a+4)\--(a—1)(a+4)、，+8增区间为2+J-(a—1)(a+4)2-、!-(a—1)(a+4)增区间为3=-3=-4ln2+a+6(II)由(I)可知f(x)在1，2上的最大值为fI|g(x)=2ex-4g(x)=0x=In2xe-,ln2I时，g(x)<0,g(x)单调递减，_2丿xe(ln2,2],g(x)>0,g(x)单调递增，所以g(x)在-,2上的最小值为g(ln2)=4-4ln2+2a,3由题意可知-4ln2+-a+6>4-4ln2+2a，解得a<4,所以1<a<42【点评】(1)存在性问题和任意性问题都是最值关系问题,关键是是什么样的最值关系,所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解(见前面的知识要点),也可以这样记忆,双存在性问题两边的最值相反.【反馈检测1】设函数f(x)=(x2+ax+b)ex(xeR),若x=1是函数f(x)的一个极值点，试求出“关于a的关系式(用a表示b)，并确定f(x)的单调区间；在(1)的条件下，设a>0，函数g(x)=(a2+14)ex+4，若存在g,ge[0,4]使得-2If(g)-g(g)l<-成立，求a的取值范围.-2题型二双任意性问题使用情景不等式的两个自变量属性都是任意的.解题理论“任意xe(a,b)，对任意的xe(c,d)，使得f(x)<g(x)成立”称为不--1--212等式的双任意性问题.任意xe(a,b),对任意的xe(c,d),使得--1--2f(x)<g(x)成立，即f(x)在区间(a,b)任意一个值f(x)比函数g(x)在区12间(c,d)内的任意一个函数值都要小，即f(x)<g(x).••maxmin“任意xe(a,b)，对任意的xe(c,d)，使得f(x)>g(x)成立”，即f(x)--1--212在区间(a,b)内任意一个值f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的任意一个函数值都要大，即f(x)>g(x).minmax

【例2】已知函数f(x)=Inx.若不等式mf(x)>a+x对所有me【0,1],xel—,e2I都_e_成立，求实数a的取值范围.【解析】则a<m【解析】则a<mInx—x对所有的me[o,1],xe—,e2都成立，e_令H(x)二Inx令H(x)二Inxgm—x，me[0,1]xee1因为xee2，所以—1<Inx<2e【点评】(1)存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解(见前面的知识要点)，也可以这样记忆，双任意性问题，两边的最值相反.扛用〕=衣也+_【反馈检测2】已知函数讨论L：的单调性；对于任意“；|■I，任意'曰二“,总有I匸丄：；：「，求'"的取值范围.题型三存在任意性使用情景不等式的两个自变量一个属性是存在性的，一个是任意性的.解题理论“存在xe(a,b)，对任意的xe(c,d)，使得f(x)<g(x)成立”称为不等..1..212式的存在任意性问题.存在xe(a,b)，对任意的xe(c,d)，使得..1..2f(x)<g(x)成立，即f(x)在区间(a,b)内至少有一个值f(x)比函数g(x)12在区间(c,d)内的任意一个函数值都要小，即f(x)<g(x).••minmin“存在xg(a,b)，对任意的xg(c,d)，使得f(x)>g(x)成立”即f(x)--1--212在区间(a,b)内至少有一个值f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的任意一个函数值都要大，即f(x)>g(x).maxmax1—a【例3】(2010高考山东理数第22题)已知函数f(x)=Inx—ax+—1(agR).x1当a<2时，讨论f(x)的单调性；2(II)设g(x)=x2—2bx+4.当a二1时，若对任意xg(0,2),存在xgh,2],使412f(x)>g(x)，求实数b取值范围.12【解析】卢⑶=丄一衣+U=竺土空二^"Q〕V.vV令=屆-v+1-t7(v>0)(1)当a=0时，h(x)二一x+1(x>0)，当xg(0,1),h(x)>0,f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当xg(1,+s),h(x)<0,f'(x)>0，函数f(x)单调递增.1当a丰0时，由f'(x)=0，即ax2一x+1—a=0，解得x=1,x=—112a1当a=时x=x，h(x)>0恒成立，此时f'(x)<0，函数f(x)单调递减；21211当0<a<时，一1>1>0,xg(0,1)时h(x)>0,f'(x)<0，函数f(x)单调递减；2a1xg(1-—1)时，h(x)<0,f'(x)>0，函数f(x)单调递增；a1xg(一—1,+8)时，h(x)>0,f(x)<0，函数f(x)单调递减.a1当a<0时一—1<0，当xg(0,1),h(x)>0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减；a当xg(1,+x),h(x)<0,f'(x)>0，函数f(x)单调递增.综上所述：当a<0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,+8)单调递增；1当a=时x=x，h(x)>0恒成立，此时f'(x)<0，函数f(x)在(0,+s)单调递减；212TOC\o"1-5"\h\z111当0<a<时，f(x)在(0,1)单调递减，(1,—-1)单调递增，(一—1,+^)单调递减.2aa1(II)当a=二时，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意xe(0,2),411有f(x)i=f(1)=-mm2又已知存在xeh,2]使f(x)>g(x)，所以-1>g(x)，xeh,2]，(※)212222又g(x)=(x-b)2+4-b2,xe[1,2]当b<1时，g(x)=g(1)=5—2b>0与(探)矛盾；min当be11,2］时，g(x)=g(1)=4-b2>0也与(探)矛盾；min117当b>2时，g(x)=g⑵=8-4b<-b>石mm2817综上所述，实数b的取值范围是［,+8)8【点评】(1)存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解(见前面的知识要点)，也可以这样记忆，存在任意性问题，两边的最值相同.=—―—+(住+-ax-2【反馈检测3】已知函数…'.当时，求函数门匚的单调区间；―芒1已知'=1，函数"1:.若对任意J都存在*d，使得成立，求实数h的取值范围.高中数学热点难点突破技巧第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理参考答案51【反馈检测1答案】(1)［5,+8)；(2)(0,丄］33【反馈检测1详细解析】⑴=十匸十皿十方0二斤十◎十Q.T十@十方)阳且*1是悭I数/'3的一个极值点.'.z(l)即瓦1+(2+G+仗+明=0,解得X-3-2d则f\x)=^+Q+咖-+(J—呦二才(工•-l>［r+G+Q］令f'(x)二0，得x=1或x=-3-a•.•x=1是极值点，・•・-3-a丰1，即a厘一412当一3-a>1即a<-4时，由f(x)>0得xe(-3-a,+8)或xe(-8,1)由f(x)<0得xe(1,-3-a)当一3-a<1即a>-4时，由f(x)>0得xe(1,+8)或xe(-8,-3-a)由f(x)<0得xe(-3-a,1)综上可知：当a<-4时，函数f(x)的单调递增区间为(-8,1)和(-3-a,+8)，单调递减区间为(1,-3-a)；当a>-4时，函数f(x)单调递增区间为(-8,-3-a)和(1,+8)单调递减区间为(-3-a,1)(2)由(1)知，当a>0时，f(x)在区间(0,1)上的单调递减，在区间(1,4)上单调递增，・•・函数f(x)在区间［0,4］上的最小值为f(1)=-(a+2)e又Tf(0)二bex=-(2a+3)<0，f(4)=(2a+130>0・•・函数f(x)在区间［0,4］上的值域是［f(1),f(4)］，即［-(a+2)e,(2a+130］又g(x)=(a2+14)ex+4在区间［0，4］上是增函数，且它在区间［0，4］上的值域是［(a2+14)e4,(a2+14)e8］•/(a2+14)e4—(2a+13)e4=(a2-2a+1)e4=(a-1)2e4>0・•・存在g,ge［0,4］使得If(g)-g(g)|<1成立只须仅须121121

TOC\o"1-5"\h\z(a2+14)e4—(2a+13)e4<1n(a-1)2e4<1n(a-1)2<n1一<a<1+-【反馈检测2答案】（I）当■'-'W，"二递减区间为口一",不存在增区间；当心小时,11①-）（■.-"，递增区间L，；（II）【反馈检测2详细解析】（I）f何=口贬+拠]『何二f—古二宁（20）当a<0时，f（I）<O'恒成立,即代刘递减区间为（O+db不存在増区间；当20时，令rW>Offlz>^令11—⑴〕（-」+吟・•・■'■■"：递减区间为"，递增区间订；综上：当'时，；飞递减区间为口-八，不存在增区间；11『W）C-+©当”内时，"二递减区间为'（!'，递增区间"；inx+--bx<0x=alnx■+--hxinx+--bx<0x（II）令■…'，由已知得只需小IL即1,inx1inx^bx<0b兰\■—x恒成立，即龙允设聊（龙）二工1刃“用一2（丁E[2岸]），贝yjn（x]=1-（1+【me）=_Inx<0.・..'.ei厂在|1.■|递减，小二-汕迁〔即;：:C<<£In?.1Jin?.1即小J:【反馈检测3答案】（I）详见解析；（II）反馈检测3详细解析】

」「上递TOC\o"1-5"\h\z2・2—门・2・口」「上递-<a<2f(x)>0^<x<2.ff(x)<0^j>20<r<严、时，增，