第11讲三角恒等式二(数学竞赛)

23#.同理：r'<r也矛盾.：r'=r:.a+P+r=兀.6.解(1)2j2(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB又2R=2p2.由正弦定理得：2冋(2R)2-(费］=(a-b)-b:.a2-c2=ab-b22R由余弦定理得：2abcosC=ab.cosC=2:.C=一3,''3(2)S=absinC=ab又由(1)知:4a2+b2-ab=c2=(2RsinC)2=63L:.6=a2+b2-ab>ab/.ab<6/.S=ab<3.42当且仅当a=b时取等号，即AABC为等边三角形时取等号.7•证明S=—absinC=—aha•晋=sinC如=sin—Cb2同理：：.=sin2Ab2hc2+ha2=sin2A+sin2Cb2同理可得：hb2+hc2=sin—B+sin—Cha2+hb2=sin2A+sin2B.a2c2左边=2(sin2A+sin2B+sin2C).9我们只要证明：2(sin2A+sin2B+sin2C)<.29即证：(1-C0S2A)+(1-C0S2B)+(1-C0S2C)<—.23即证：cos2A+COS2B)+COS2C>-—.而cos2A+cos2B)+cos2C=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1>2cos2C-2|cosC\-1=1332(|cosC|-尹-—>-—因此原不等式成立.2S8.证明易知：ra=又ra>2Rb+c-a4R2sinAsinBsinC>2r二sinAsinBsinc>(sinB+sinC-sinA).2R(sinB+sinC一sinA)-0+04sin2—i-0+04sin2—i2C0S22-0=2cos21.2Z-!2sin20+0一1+1+cos(0+0)12*)显然sinB+sinC一sinA<sinB(sinC)sinA〉sinB(sinC)a〉b(c).另外：2R〉rbosinAsinBsinC<sinC+sinA一sinB.只要sinAsinBsinC<sinC(sinA〉sinB)显然成立.2R〉rb.同理2R〉rc.证明*.*sin20+sin20=(sin0+sin0)2一2sin0sin01212121-2-cos(0-0)+cos(0+0)21212上式中，当01+02<2时，2sin2筈2-1<00+0=弓时，2sin29+^2—1=0；12220+00+0>善时，2sin^+-2-1<0.1222可得出，当2+02<号时，01与02有一个为有一个为零时，sin20]+sin202有最大值；0+0>-y且|0-0|越小时,sin20+sin20值越大.1221212n二3时，即0+0+0=兀时，sin20+sin20+sin20<3是容易证明的.1231234而n而n'4时，可知01、02、耳、71中必有两个角和不超过2由前面的结论知，0+0<2时，sin2q+sin202当0,或02=0时，有最大值.1221212于是所求的最大值可转化成三个角的和为冗，其正弦值的平方的最大值问题.另一方面n=2时，0+0=兀，sin20+sin20<2.sin2sin20+sin20+•12+sin20n的最大值为4-+X+X+01+X+X+01+Xi-1n可见zi=11+X+X++X01i-10=0二=0二0时，取等号.TOC\o"1-5"\h\z45nio.解•・・"X=+x•++x•++X'1成立.,'cosAcosC小一.・cosC=\cosB2(cos2A+cos2B+cos2C)•••左边>4(cos2A+cos2B+cos2C)=右边.i=1I-"1+X+X++XX+X++X<01n=1*ii+1n2

令0=arcsin(x+x+令i0101而x.=而x.=sin0i-sin0i-i=2cos'0-0◎sm一i-i<cos00-0sm一i一1i-12「肿n0「肿n0-0利用sinx<x,x屮迈|，可知巴<2cos0i•i2i-1=(0-0)cos0ii-1xcos0<0-0（i=1，2，，n）.对上式求和有£ixcos0<0-0（i=1，2，，n）.对上式求和有£ii-1<0-0

n~2-i-1i=1i-1但sin0=xi+xi-1cos0=i1一sin20=i-1i-1：l-(x+x++xF01n)2=1+x+x++x・i・：x+x++xr01i-1ii+1ni-1代入上式可得出所证不等式右侧成立．证明利用嵌入不等式x2+y2+z2>2xycosA+2yzcosB+2zxcoscTOC\o"1-5"\h\zcosAcosBcosCcosAcosBcosAcosC()2+()2+()2>2・・cosB+2・・cosA+cosBcosCcosAcosBcosCcosBcosAcosBcosCcosAcosBcosBcosCcosAcosC2-・cosC=2(++).cosCcosAcosCcosAcosB在利用嵌入不等式cosAcosBcosBcosCcosAcosC++>cosCcosAcosB小cosAcosB'cosAcosCcosAcosBcosBcosC厂2-・cosA+2-・cosB+2.'cosBcosCcosAcosCcosB.cosCcosA2.'cosBcosCcosA++<.a2b2c22(2004年印度数学奥林匹克)AABC三边为a,b,c.外接圆半径为R，旁切圆半径