量子力学总结

量子力学的基本假设，可以概括如下：波函数物理系统的状态用波函数描述。算符描写系统的每一个力学量，都对应于一个线性厄米算符本征态本征值薛定谔方程态函数随时间的演化遵从薛定谔方程态叠加原理系统内任意两个全同粒子互换，都不会改变系统的状态。热辐射现象：任何温度下，宏观物体都要向外辐射电磁波。辐射电磁波能量的多少，以及电磁波按波长的分布都与温度有关，故称为热辐射。黑体定义：如果一个物体在任何温度下，对任何波长的电磁波都完全吸收，则称这种物体为绝对黑体，简称黑体。普朗克假说：对于一定频率v的电磁辐射，物体只能以hv为单位发射或吸收它，其中h是一个普适常量。换言之，物体发射或吸收电磁辐射只能以“量子”方式进行，每个能量子的能量为£=hv其中h=6.6260755x10-34Js称为普朗克常量。Einstein光电效应方程加=1*》+A2maxEinstein对光电效应的解释：1） 截止频率V0红限的解释2） 初动能和反向遏止电压与频率v成线性关系，而与光强无关的解释3） 光电效应瞬时性的解释4） 饱和光电流正比于光强的解释光的波粒二象性光子的能量£=h光子的动量hP七康普顿散射单色X射线被物质散射时，散射线中除了有波长与入射线相同的成分外，还有波长较长的成分，这种波长变长的散射称为康普顿散射或康普顿效应。康普顿效应是X射线单光子与物质中受原子核束缚较弱的电子（自由电子）相互作用的结果。、、e△人=2人sin2- c2波长的改变与散射物质无关，仅取决于散射角玻尔的基本假设1） 定态假说：原子能够，而且只能够稳定地存在于与离散的能量（E1E2,…湘应的一系列的状态中，这些状态为原子系统的稳定状态，简称为定态。处于定态的原子中的电子只能在一定的轨道上绕核作圆周运动，且不辐射能量。2） 量子化条件：电子以速度v在半径为r的圆周上绕核运动时，只有角动量L等于h/（2p）的整数倍的那些轨道才是稳定的.L=mrv=nh=n3） 跃迁假设（频率条件）：原子能量的任何变化，都只能在两个定态之间以跃迁的方式进行。原子在两个定态（分别属于能级En和瑜，设En>Em）之间跃迁时，要发射或吸收的电磁辐hv=E一E n m

射的频率hn的光子:德布罗意波任何运动的粒子皆伴随着一个波，粒子的运动和波的传播不能相互分离。一个质量为m的实物粒子以速率羽运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，也具有以频率n和波长l所描述的波动性。—种波称为德布罗意波（物质波）。德布罗意波既不是电磁波，也不是机械波，而是一种概率波，用来对微观粒子运动进行统计描述。 E~~ E~~hv= ，人=h^^PDeBroglie波的统计意义：某处物质波振幅的平方（物质波的强度）与粒子在该处邻近出现的概率成正比。DeBroglie波是对微观粒子运动的统计描述，是一种几率（概率）波。在某处德布罗意波的振幅平方是与粒子在该处出现的概率成正比的。这就是德布罗意波的统计解释。某一时刻出现在某点附近体积元dxdydz中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比，一波函数模的平方代表某时刻在空间,点附近单位体积内发现粒子的概率，即IW（，）I2称为概率密度。W（r）亦称为概率幅。波函数应该是单值、有限、连续函数（标准化条件）。对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述，这就是著名的Heisenberg不确定关系（测不准关系）。AxAp>方/2AyAp>力/2它反映了微观粒子运动的基本规律。AzAp>力/2它反映了微观粒子运动的基本规律。在量子力学中，描写系统的每一个力学量都对应于一个算符。算符是量子力学中的一个重要的基本概念。如果甲1，^2，…，的，…等都是体系的可能状态，那末，它们的线性叠加态W=cV+。W+…+。W+…=£cv也是这个体系的一个可能状态。11 22 nn nnn量子态的叠加是指一个粒子的两个态的叠加，其干涉也是自己与自己的干涉，决不是两个粒子互相干涉。量子力学：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道IM2大的地方粒子出现的可能性大，I圳2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。当粒子处于V1和V2的线性叠加态V时，粒子是既处于V1，又处于态V2位置x及其函数U（x）的平均值X=-x）=J+"x|v（x）|2dx=J+"v*（x）xV（x）dx=（V,xV）-s -"

V(x)=：：V(x)：：.=j+8V(x)|w(x)|2dx无限深方势阱离散谱束缚态：在无限远处为零的波函数所描写的状态。一般而言，束缚态的能级是离散的，构成离散谱。一、无限深方势阱"离散广束缚态：在无限远处为零的波函数所描写的状态。构成离散谱构成离散谱(1)无限深方势阱x=0x=ax=0x=a0, (0<x<a)(xW0或x，a)♦势阱外粒子不可能穿透无限高的势阱壁(如金属中自由电子可在金属内自由运动，但一般不能逸出金属表面)。因此按照波函数的统计诠释，要求在势阱壁上及势阱外波函数为零，即W(x)=0. (xW0或x^a)♦势阱内定态薛定谔方程d叩2mE -+W=0dx定态薛定谔方程d叩2mE -+W=0dx2 力2虫^+k叩=0方2d2十d~W(x)=EW(x)2mdx22mE令k=—力——常系数二阶常微分方程。则此方程的解可表示为W(x)=Asin(kx+8)其中4,4和8是待定常量：A由归一化条件确定;4和8由边条件确定。♦束缚态边条件 W(X)=Asin(kx+5)根据薛定谔方程所提出的关于波函数连续性的要求，势阱内粒子的波函数，必须满足如下的边界条件：W(0)=0, W(a)=0边条件W(0)=0，即W(0)=Asin5=0匚二＞5=0(•.•A#0,否则W三0，意味着粒子根本不存在，无意义)边条件W(a)=0,即W(a)=Asinka=0匚二＞ka=n冗，即k=皿,(n=1,2,3，…)a(舍去n=0的情况，因为若n=0,必有W三0，没有物理意义)则势阱内波函数可表示为W(X)=W(X)=Asin四Xn a♦能量本征函数及其归一化只有当能量取离散值E时，相应的波函数W才是满足边条件的、物理上可接受的。与E相应的能量本征函数为nW“(x)=Asin^^ (0vx＜a)利用归一化条件 Ja|wn(x)|2dx=1A2Jasin2(砰x)dx=-A2a=1 IaI=0a2则得归一化的能量本征函数2 n兀x、sin(),(0<x<a)WnWn(x)0. (x<0orx>a)(2)离散谱♦能量量子化和零点能由k=玉丘DE=件力 2mn=4,E=16E3,E2=9E]力2兀2n2E=E= n2ma2O(n=1,2,3,・。:,E2=*21，E= 1 2.^^^^ax——能量本征值或能级，n称为能量量子数(主量子数)。◊当粒子被束缚在势阱中时，体系的能量是量子化的，即所构成的能谱是离散的。◊粒子的最低能级一一基态的能量E1主0，即粒子具有零点能(Zeropointenergy)。经典物理中粒子的基态能量可为零。零点能是一切量子系统所特有的现象，它说明了势阱中粒子不可能是静止的，即使在绝对零度条件下，也在永无休止的运动。

能量本征函数及其归一化只有当能量取离散值E时，相应的波函数W才是满足边条件的、物理上可接受的。与E相应的能量本征函数为nWgx)=Asinn^x (0<x<a)利用归一化条件 "|wn(x)|2dx=1A2fasin2(皿x)dx=-A2a=1 Al=，-a2 a则得归一化的能量本征函数2n兀x、sin(), (0<x<a)aa|W|2-M___iWj20 a/2a相应的波函数W以及概率密度IW|2曲线:"x相应的波函数W以及概率密度IW|2曲线:"x)=■.16E1n0a/2a1)波函数W为驻波，n波长人=2a