传递现象基本方程

传递现象基本方程1第1页，课件共63页，创作于2023年2月二、不可压缩流体流体的压缩性可以用体积的应变来描述，即ΔV/V0，一般说来，当ΔV/V0<5%时，流体就可以视为不可压缩流体。液体：可视为不可压缩流体气体：只有在压力变化不大的情况下才可视为不可压缩流体2023/7/302第2页，课件共63页，创作于2023年2月三、描述流体流动的两种观点1.拉格朗日观点以流体中的每一个质点作为研究对象，考察流体中的每一个质点的运动状态和物理量随时间和空间位置的变化规律。这种方法着眼于固定的流体质点，而不是空间中的固定场点。采用拉格朗日观点研究流体流动时，流体的状态函数是流体质点的起始位置和时间的函数，例如要研究初始位置在x0，y0，z0处的流体质点速度随时间的变化情况，这时速度u可以表示为：注意：这里的x0，y0，z0是质点标号，是t=0时刻质点的位置，不是场点坐标。对于不同的流体质点x0，y0，z0有不同的数值。2023/7/303第3页，课件共63页，创作于2023年2月2.欧拉观点：

欧拉观点并不研究每个流体各个质点的运动规律，而是把着眼点放在空间中固定场点处的流体，考察流体质点在经过固定的空间点时运动状态和物理量随时间的变化规律。采用欧拉观点来研究流体流动时，流体质点的运动状态和相关物理量是时间和空间位置的函数。比如按照欧拉观点，空间中流体任一点的流速u可以写成

注意：这里的x，y，z

是场点坐标，即空间位置坐标。拉格朗日观点常用于微分动量方程和能量传递微分方程的推导，推导时研究对象选择的是空间中固定质量的流体微元，其位置和体积可以变化的。此外，拉格朗日观点也常用于理论分析当中。2023/7/304第4页，课件共63页，创作于2023年2月欧拉观点常用于质量传递微分方程的推导。推导时，选取的流体微元体积、位置固定，输入和输出流体微元的物理量则随时间而变。不管采用那种观点，所得的结果都是相同的，只不过采用不同的观点，解决问题的难易程度不同。2023/7/305第5页，课件共63页，创作于2023年2月四、描述流体流动的两种几何方法1.迹线迹线为同一流体质点在不同时刻的运动轨迹，即该质点在不同时刻运动位置的连线.显然迹线的概念与拉格朗日观点相对应。流线是用来描述流场中各点流动方向的曲线。它是某一时刻速度场中的矢量线，即在该线上任意一点的切线方向与该点在这一时刻的速度方向一致.显然流线的概念和欧拉观点相对应。2.流线2023/7/306第6页，课件共63页，创作于2023年2月五、描述流体流动的三种时间导数根据连续介质模型，与传递现象有关物理量(如温度、速度、浓度、压力和密度等)均是时间和空间的连续函数，这些物理量随时间的变化率，是传递过程的速率大小的量度。假设以Ф代表某物理量，则其随时间和空间位置的变化可以表示为该物理量对位置和时间的全微分为2023/7/307第7页，课件共63页，创作于2023年2月这时，该物理量的全导数就变为2、随体导数如果全导数中的位置随时间的变化率等于流体在空间中的速度分量即，随体导数，记为3、偏导数

偏导数是指在固定位置处某物理量对时间的导数，记为偏导数又称为局部导数或当地导数。将上式中的各项同除以dt，则得到该物理量对时间的全导数1、全导数2023/7/308第8页，课件共63页，创作于2023年2月偏导数的物理意义：空间中固定位置处观察到的某物理量随时间的变化率。全导数的物理意义：当观察者以任意速度运动时，某物理量随时间的变化率。随体导数的物理意义：当观察者随流体一起运动时，某物理量随时间的变化率。三种导数的物理意义：2023/7/309第9页，课件共63页，创作于2023年2月六、稳态过程和非稳态过程如果一个过程的各个物理量与时间无关，这个过程就是一个稳态过程。反之，就是一个非稳态过程。稳态过程的物理量仅仅是空间位置的函数。如果以x，y，z来表示空间位置，以t

来表示时间那么某个物理量Ф

就可以表示为Ф＝Ф（x，y，z

）因为稳态过程Ф与时间无关，即2023/7/3010第10页，课件共63页，创作于2023年2月第2节质量传递微分方程质量传递微分方程也称为连续性方程，常用欧拉观点来进行推导。一、质量传递微分方程的推导在流体场中的空间点M(x,y,z)处取一流体微元（长、宽、高分别为dx、dy、dz），设位于M点处的流体速度为u，密度为ρ，且u和ρ均为时间和空间的函数，那么在M点处流体的质量通量就是ρ·u

？如果u在x,y,z方向上的分速度分别为ux，uy和uz，

那么ρ·u

在x,y,z三个坐标轴上的分量分别为ρux，ρuy，ρuz。根据质量守恒定律，对所选取的微元控制体进行微分质量衡算，有2023/7/3011第11页，课件共63页，创作于2023年2月（流入的质量流率）－（流出的质量流率）＝（质量变化速率）x方向上流入的质量流率：x方向上流出的质量流率：在x方向上的净质量流率为2023/7/3012第12页，课件共63页，创作于2023年2月同理，在y方向和z方向上的净质量流率分别为因为微元控制体内任一时刻流体的的质量为因此，微元体内质量变化速率为由于（流入的质量流率）－（流出的质量流率）＝（质量变化速率）所以有2023/7/3013第13页，课件共63页，创作于2023年2月移项得，二、连续性微分方程的分析将连续性微分方程展开，得可以看出，上式的前四项为密度的随体导数，即Dρ/Dt引入汉密尔顿算符:,则有连续性方程可以简化为2023/7/3014第14页，课件共63页，创作于2023年2月将上式对时间求随体导数有定义为比容，即单位质量的物体所占据的体积。从定义可知和互为倒数，即上式两边同除以ρυ将其带入方程中，得2023/7/3015第15页，课件共63页，创作于2023年2月上式的左边表示流体微元的体积膨胀速率或变形速率上式的右边表示速度的向量散度，它等于流体微元在三个坐标轴方向上线性形变速率之和。在某些特定情况下，连续性方程还可以简化，例如对于稳态流动，所以，连续性方程可以简化为2023/7/3016第16页，课件共63页，创作于2023年2月对于不可压缩流体，由于密度是一个常数，所以连续性方程可简化为写成向量形式为在研究传递现象过程中遇到的流体大多为不可压缩流体，因此上式是传递现象研究中最基本和最重要的方程之一。2023/7/3017第17页，课件共63页，创作于2023年2月柱坐标下的连续性方程r——为径向距离θ——为方位角z——为轴向距离2023/7/3018第18页，课件共63页，创作于2023年2月球坐标下的连续性方程r——为径向距离θ

——为余纬度Ф

——为方位角2023/7/3019第19页，课件共63页，创作于2023年2月三、多组分体系的连续性方程前面讲的连续性微分方程是单组分的连续性方程，没有考虑多组分相互扩散的影响。当流体中存在多种组分的浓度梯度时，这时质量传递要用多组分连续性方程来描述。与单组分的连续性方程不同的是在多组分连续性方程中，物质浓度的变化除了由于流体流动造成的外扩散以外，还有由于分子热运动所导致的内扩散，以及体系内部由于可能出现的化学反应导致的物质的生成或消耗。因此，多组分连续性方程中要比单组分的连续性方程多出一个分子扩散项和化学反应项。1、多组分体系连续性方程的建立2023/7/3020第20页，课件共63页，创作于2023年2月由分子扩散导致的A组分浓度变化速率可用来表示式中jA为A组分的扩散通量，为扩散通量随位置变量变化率的全微分，即扩散通量的向量散度。考虑到分子扩散造成的质量传递速率的变化，对组分A而言，其连续性方程就可以写作如果体系中还有A参与的化学反应，则A组分的连续性方程需要进一步改写为式中，rA表示单位体积由于化学反应引起的A的质量变化速率。这里规定A生成，rA取正值；A消耗，rA取负值2023/7/3021第21页，课件共63页，创作于2023年2月将菲克扩散定律的表达式

带入上式，有2、多组分体系连续性方程的简化对于不可压缩流体，若不存在化学反应，则上式可简化为：若参与传质的介质不运动(如固体或静止流体)，则随体导数变为偏导数，于是上式可进一步简化为此即为费克第二定律的数学表达式。2023/7/3022第22页，课件共63页，创作于2023年2月在此基础上，若传质过程达到稳态，则上述方程可进一步简化为：此即为固体或静止流体稳态传质的拉普拉斯方程。3、多组分体系连续性方程的其它形式柱坐标系下多组分体系中A组分的的质量传递微分方程为球坐标系下多组分体系中A组分的的质量传递微分方程为2023/7/3023第23页，课件共63页，创作于2023年2月流体的动量传递微分方程又称为运动方程，它是通过对流体微元进行动量微分衡算得到的，其依据为牛顿第二定律，即动量守恒定律，推导是采用的观点是拉格朗日观点。一、动量传递微分方程的推导（一）动量守恒定律在流体微元上的应用根据牛顿第二定律，作用在流体微元上的合外力可表示为即流体微元所受到的合外力等于流体微元的动量随时间的变化率推导过程采用拉格朗日观点，从流场中选取一个固定质量的流体微元，考察该流体微元随周围流体一起流动时的动量变化情况。第三节动量传递微分方程2023/7/3024第24页，课件共63页，创作于2023年2月在流场中选取一个长、宽、高分别为dx,dy,dz

的流体微元，该微元体的体积dV=dxdydz,注意其体积和位置是可以随时间变化的，对该流体微元应用牛顿第二定律有，由于力和速度都是向量，上式为一向量方程，其在x,y,z三个坐标轴方向上的分量为注意：这里为什么要用随体导数?2023/7/3025第25页，课件共63页，创作于2023年2月（二）作用在流体微元上的外力分析1、体积力（Bodyforce）体积力是作用在物体整体上的外力，也称为质量力，它的大小与物体的质量成正比。体积力在本质上是一种非接触力，比如万有引力、电磁力等。体积力以FB来表示。如果用fB表示单位质量的流体受到的体积力，那么流体微元受到的体积力dFB为若fB

在三个坐标轴上的分量分别为X、Y、Z，则dFB在x,y,z三个坐标轴方向上的分量为

2023/7/3026第26页，课件共63页，创作于2023年2月2、表面力（Surfaceforce）单位面积上的表面力定义为表面应力或机械应力，一般以τ来表示。相应地表面应力也可分为压应力和剪应力。表面应力的表示方法：表面应力分量有两个下标，例如τxy，第一个下标表示与应力作用面相垂直的坐标轴，第二个下标表示应力的作用方向。从对应力下标的定义可知，当两个下标相同时，τ表示的是压应力；当两个下标不同时，τ表示的是剪应力。作用在物体表面上的力，又称机械力，表面力本质上是一种接触力，以FS来表示。表面力有两种，一种是垂直作用在物体表面上的力，称为正压力或法向力；另一种是平行作用在物体表面上的力，称为切向力或剪切力。2023/7/3027第27页，课件共63页，创作于2023年2月下面以x方向为例，考察流体微元受到的表面力如右图所示，流体微元在x方向上受到6个表面应力的作用，其中2个为压应力，4个为剪应力。以dFsx表示流体微元在x方向上受到的表面力之和，那么2023/7/3028第28页，课件共63页，创作于2023年2月（三）用应力表示的运动方程由于作用在流体微元上的合外力为体积力和表面力之和，即而根据牛顿第二定律，所以有，上式即为x方向上以应力表示的运动方程。2023/7/3029第29页，课件共63页，创作于2023年2月同理，可以推导出在y，z方向上以应力表示的动量衡算方程分别为：y方向z方向上述3个方程中一共有9个应力，分别为τxx、τxy、τyx、τyy、τxz、τzx、τzz、τzy、τyz。写成矩阵的形式为：2023/7/3030第30页，课件共63页，创作于2023年2月可以证明，这个矩阵是对称阵，即证明如下：取一个长宽高分别为dx,dy,dz流体微元，以其中心作为坐标原点，考察在xoy截面上，流体微元受到的剪应力状况，如右图所示，流体微团受到4个剪应力的作用，在剪应力的作用下流体微团将发生旋转。（压应力由于通过流体微元的中心，因此不会使流体微团旋转）这里规定力矩逆时针为正，顺时针为负由力矩平衡可得：2023/7/3031第31页，课件共63页，创作于2023年2月化简可得同理在其它截面上有：由此可见在上述9个表面应力中只有6个是独立的，但这6个独立变量都是未知量，而方程只有3个。因此要想使方程能够求解，需要知道它们与已知量或与方程中其它未知量之间的关系。由于表面应力跟速度梯度有关系，因此应该将表面应力与速度梯度联系起来。2023/7/3032第32页，课件共63页，创作于2023年2月（四）牛顿流体的应力－速度梯度关系方程前已述及，对于牛顿型流体的一维流动，在平行于流动方向上的切向力与速度梯度之间的关系为：对于三维流动，每一切向力与其相应的两个方向上的速度梯度有关，其关系为牛顿型流体剪应力－速度梯度关系方程1、牛顿流体剪应力－速度梯度关系方程2023/7/3033第33页，课件共63页，创作于2023年2月2、牛顿型流体压应力－速度梯度关系方程对于静止流体，压应力与静压力大小相等，方向相反。但对于流动流体，压应力除了包括静压力以外，还有一部分压应力是由流体的粘性引起的，它使流体微元承受拉伸或压缩，发生线性形变。直角坐标系下，各压应力和流体的速度梯度关系如下：牛顿型流体压应力－速度梯度关系方程x方向y方向z方向2023/7/3034第34页，课件共63页，创作于2023年2月现在把牛顿型流体的压应力和剪应力与速度梯度的关系带入到用应力表示的动量衡算方程中，经化简以后就得到了流体运动方程的最终形式：x方向y方向z方向将以上三式写成向量形式为：上式即为牛顿流体的运动方程，也称为奈维－斯托克斯方程，该式对于稳态流动或非稳态流动、可压缩流体或不可压缩流体、理想流体或非理想流体均适用，但不适用于非牛顿流体？2023/7/3035第35页，课件共63页，创作于2023年2月二、动量传递微分方程的简化1、不可压缩流体的运动方程由于不可压缩流体的连续性方程为所以运动方程2、理想流体的运动方程什么是理想流体？就可以简化为2023/7/3036第36页，课件共63页，创作于2023年2月r方向θ方向z方向三、其它坐标系下的动量传递微分方程柱坐标下不可压缩流体的运动方程r——为径向距离θ——为方位角z——为轴向距离与连续方程一样，在某些情况下采用柱坐标或球坐标表示的奈维－斯托克斯方程更为简便、直观。2023/7/3037第37页，课件共63页，创作于2023年2月球坐标系下不可压缩流体的奈维－斯托克斯方程r——为径向距离θ

——为余纬度φ

——为方位角r方向分量θ方向分量φ方向分量其中，2023/7/3038第38页，课件共63页，创作于2023年2月四、对动量传递微分方程的分析（一）方程的可解性以直角坐标系下的奈维斯托克斯方程为例，对于等温流动(μ

=常数)，方程中共有5个未知数，而运动方程只有3个，加上一个连续性方程和一个流体流动状态方程f(ρ,p)=0，这样5个方程、5个未知数，因此，从理论上讲方程是可解的。但实际上，由于方程组的非线性和边界条件的复杂性，到目前为止，还无法将奈维－斯托克斯方程的普遍形式的解求出，只能针对某些特定的简单情况才可能求得其解析解。奈维－斯托克斯方程描述的是任意瞬时流体质点的运动规律。原则上讲，方程既适用于层流也适用于湍流，但实际上，该方程只能直接应用于层流，而不能直接地用于求解湍流问题。2023/7/3039第39页，课件共63页，创作于2023年2月（二）方程中重力项的处理对于大多数的实际问题，流体受到的体积力只是重力，即fB=g。当流体为不可压缩流体时，重力这一体积力与流体的静压力有着密切的关系。对于静止的不可压缩流体，直角坐标系下的奈维－斯托克斯方程当流体流动时，流体内部的压力除了静压力外，还有一项动压力，即推动流体向前流动所需要的压力，用pd来表示。这时，将其带入奈维－斯托克斯方程得ps——流体的静压力可以简化为：2023/7/3040第40页，课件共63页，创作于2023年2月这样，以动压力梯度表示的运动方程中将不出现重力项，从而简化了对方程的求解。从物理意义上讲，静压力由重力引起，因此静压力与重力刚好相互抵消，这时运动方程中的各项就都只与流体流动有关。引入动压力可以使方程中不出现重力项，但这并不意味着重力在任何情况下都不会对流体流动产生影响。因为重力项虽然在方程中可能不出现，但在边界条件中有可能出现。这里分两种情形进行考虑：（1）如果在边界条件中只包含有速度项而不含有压力项，直接利用上式求解时将不会出现重力项。在此情况下可以认为重力的存在不会对流体的流动造成影响，比如在封闭管道中流体流动问题。（2）如果在边界条件中含有压力项，利用上式求解时将会出现重力项（即

ps

项），这时重力项通过边界条件又重新出现了，它将对流体流动起作用，比如具有自由表面的流体流动问题。最后指出，以动压力梯度表示的流体运动方程仅适用于不可压缩流体2023/7/3041第41页，课件共63页，创作于2023年2月第四节能量传递微分方程一、能量传递微分方程的推导能量传递微分方程又称能量方程，它是以热力学第一定律，即能量转化与守恒定律为理论依据推导出来的。根据热力学第一定律，在某个过程中，系统总能量的变化等于系统所吸收的热与系统对环境所做的功之差，用公式表示为

——单位质量的流体所具有的动能gz——单位质量的流体所具有的势能U

——单位质量的流体所具有的内能

——单位质量的流体所吸收的热

——单位质量的流体对环境所做的功2023/7/3042第42页，课件共63页，创作于2023年2月下面采用拉格朗日观点推导能量传递微分方程。按照拉格朗日观点，在流体中任选一具有固定质量的微元体，在整个流动过程中，令此微元体在流体中随波逐流，观察者随着流体微元一起运动，考察在此过程中的能量转换情况。由于流体微元在做随波逐流的运动，因此该流体微元与周围流体之间没有相对运动，故动能变化为零，同时该流体微元与周围流体之间也无相对位置变化，因此位能变化也为零。故流体微元的总能量中只有内能发生了变化。流体微元对环境所做的功可以用表面应力对流体微元所做的功来表示，只不过这时需要在前面加一个负号。这样将热力学第一定律应用于流体微元就有：（流体微元的内能增长速率）＝（流入流体微元的热流率）＋（表面应力对流体微元的做功速率）2023/7/3043第43页，课件共63页，创作于2023年2月W——表面力对单位质量的流体所做的功。流体微元的内能变化速率加入流体微元的热流速率表面应力对流体微元的做功速率注意：这里的导数为什么要用随体导数？下面分别对上式中各项能量传递速率加以分析：1、流入流体微元的能量速率流入流体微元的能量有三种：一种为环境流体以导热方式传入微元体的热流，另一种为流体微元的自身发热速率（比如有化学反应或核反应等就会有能量变化），还有一种为辐射传热，不过由于辐射传热在通常温度下一般很小，可以忽略不计。（1）以导热方式流入微元体的能量速率用公式可表示为2023/7/3044第44页，课件共63页，创作于2023年2月设沿三个坐标轴方向流入微元体的热通量分别为：qx、qy、qz，并假定微元体的热传导是各向同性的，则沿x方向流入微元体的热流率为沿x方向流出微元体的热流率为所以，沿x方向输入微元体的净热流率为同理，沿y方向和z方向输入微元体的净热流率为和2023/7/3045第45页，课件共63页，创作于2023年2月所以，在三个方向上以导热方式输入流体微元的总热流率为（2）微元体自身的放热速率以q来表示单位体积的流体微元内部放热速率，故流体微元的放热速率为所以，进入流体微元的热流率如果是各向同性导热，将傅立叶导热定律带入有2023/7/3046第46页，课件共63页，创作于2023年2月2、表面应力对流体微元所做的功表面应力有法向力和切向力两种，共9个力，在这些应力的作用下，流体微元将发生体积变化（如膨胀和压缩）和形状变化（扭曲变形）。下面对法向应力和切向应力对流体微元做的功分别加以讨论。（1）法向应力对流体微元所做的功在法向应力的作用下，流体微元将发生膨胀和压缩，流体微元的体积应变速率可以用

来表示，根据连续性方程此膨胀速率＝▽·u，因此压应力对流体微元所做的膨胀功为，此处的负号表示压力的方向与流体微元表面的压应力的方向相反。（2）切向应力对流体微元所做的功在切向应力的作用下，流体内部将产生摩擦热（切向力即摩擦剪应力，它是由流体的粘性引起的，因此也称为粘性力）。如果令单位体积流体微元摩擦生热速率为Φ

（称为散逸热速率，单位与q相同，均为J/(m3·s)，这样流体微元因粘性力而做功的速率为2023/7/3047第47页，课件共63页，创作于2023年2月这样表面应力对流体微元的做功速率即为流体压应力和剪应力所的做功速率之和，即该方程即为能量方程（能量传递微分方程）的普遍形式，式中各项均表示单位体积的流体能量变化速率，单位均为J/(m3·s)而2023/7/3048第48页，课件共63页，创作于2023年2月写成向量形式为二、能量方程的化简（一）对于不可压缩流体这时，由连续性方程可知，▽·u＝0，所以能量方程可以简化为一般情况下，除了高粘度的流体或高速运动的流体外，摩擦热Φ很小，通常可以忽略不计，即φ=0，这时能量方程可简化为如果流体没有内热源，或虽有化学反应但热效应不大，即q可视为零，这时能量方程可再次简化为2023/7/3049第49页，课件共63页，创作于2023年2月根据U的定义有，cv为恒容热容，对于不可压缩流体或固体，cv≈

cp，将其带入上式并在直角坐标系下展开有上式两边同除以得，2023/7/3050第50页，课件共63页，创作于2023年2月（二）固体导热由于固体中物质没有宏观运动，因此各速度项为零，即ux=uy

=uz

=0。所以能量方程中的所有随体导数就都变成了偏导数。即，由于固体不可压缩，所以▽·u＝0，同时内部没有流动，摩擦热φ

＝0，这样能量传递微分方程或就可以简化为2023/7/3051第51页，课件共63页，创作于2023年2月上式两边同除以得，上式即为有内热源的固体热传导方程如果固体中没有内热源，即q＝0，该方程还可以进一步简化为该方程即为傅立叶第二导热定律的表达式，也被称为傅立叶场方程，它描述的是无内热源的固体三维非稳态导热问题。如果固体导热不仅没有内热源，而且是稳态导热，这时热传导方程可以简化为：该方程称为稳态导热的拉普拉斯(Laplace)方程2023/7/3052第52页，课件共63页，创作于2023年2月如果固体导热为稳态导热，但有内热源，这时能量方程可简化为或者该方程称为泊松(Poisson)方程2023/7/3053第53页，课件共63页，创作于2023年2月三、柱坐标和球坐标系下的能量方程（一）柱坐标系下的能量方程对于不可压缩流体、摩擦热可以忽略、且无内热源时，柱坐标系下的能量方程为其中：r——为径向距离；θ——为方位角；z——为轴向距离（二）球坐标系下的能量方程对于不可压缩流体、摩擦热可以忽略、且无内热源时，球坐标系下的能量方程为其中：r——为径向距离；θ

——为余纬度；φ

——为方位角2023/7/3054第54页，课件共63页，创作于2023年2月第5节定解条件方程的定解条件包括初始条件和边界条件。5.1初始条件初始条件就是当初始时刻时，传递现象微分方程中各物理量所处的状态，如在直角坐标系下的速度、压力和密度、温度的初始条件可表示为：2023/7/3055第55页，课件共63页，创作于2023年2月5.2边界条件5.2.1固体壁面处的速度条件对于粘性流体，由于流体粘附于固体壁面上，所以壁面上某一点流体的速度就是壁面上该点的速度。如果固体壁面是由多孔介质组成的（例如固体催化剂、分子筛和某些膜），流体可穿过介质的孔进行渗透，此时，流体在壁面处的切向速度分量等于零，而与固体壁面相垂直的法向速度分量等于流体穿过壁面的速度。理想流体的粘性力为零，因此，流体不会粘附在固体壁面上，流体在壁面上的切向速度不为零，即理想流体会在固体壁面上滑脱。2023/7/3056第56页，课件共63页，创作于2023年2月5.2.2固体壁面处的温度条件⑴若固体表面是绝热的，则在固体壁面处法线方向温度梯度为零。⑵若固体壁面是等温的，则在固体壁面处，T=Tw，Tw为固体壁面的温度。⑶对于由多孔介质组成的固