第三章-直梁弯曲课件

1第三章

直梁的弯曲

牛牛文库文档分享2拉压杆：承受轴向拉、压力梁：承受横向力墙楼板桥板§3-1平面弯曲的概念梁的类型

牛牛文库文档分享3起重机大梁P

牛牛文库文档分享4卧式容器受风载荷的塔设备

牛牛文库文档分享5火车轮轴

牛牛文库文档分享6PP弯曲特点：以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力（即横向力）或力偶的作用变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线

牛牛文库文档分享7常见梁截面

牛牛文库文档分享8在构件的纵向对称平面内，受到垂直于梁的轴线的力或力偶作用，使构件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的弯曲称为平面弯曲

牛牛文库文档分享9梁载荷的分类（4）类qq(x)均匀分布载荷线性（非均匀）分布载荷P集中力TT集中力偶T分布载荷载荷集度q(N/m)注意还有支座反力

牛牛文库文档分享10MA固定支座（fixedsupport)XAYAA滚动铰支座(rollersupport)YAA固定铰支座(pinsupport)YAXA支座种类支座反力A

牛牛文库文档分享11简支梁梁的类型受力分析外伸梁悬臂梁B

AP2P1YBYAXA简支梁：一端为活动铰链支座，另一端为固定铰链支座。吊车梁。

牛牛文库文档分享12P1P2外伸梁ABCYAYBXA外伸梁：一端或两端伸出支座之外的简支梁。卧式容器

牛牛文库文档分享13悬臂梁ABP1P2MAYAXA悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁。

牛牛文库文档分享14§3-2梁弯曲时的内力—

剪力和弯矩一、截面法求内力—剪力Q和弯矩M1受力分析，求支座反力

牛牛文库文档分享15以右侧计算？截面法

牛牛文库文档分享16左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力引起的剪力为正，反之为负，剪力等于该侧外力的代数和。

牛牛文库文档分享17弯矩等于该横截面一侧所有外力对该截面形心取力矩的代数和。梁上向上的外力均产生正弯矩；而向下的外力均产生负弯矩。截面左侧顺时针转向的力偶或截面右侧逆时针转向的力偶取正值，反之取负值

牛牛文库文档分享18对于细长的梁，实验和理论证明，它的弯曲变形和破坏，主要由弯矩引起，剪力的作用不大，以下讨论弯矩

牛牛文库文档分享19

§3-3弯矩方程与弯矩图

梁横截面上的弯矩，一般随横截面的位置而变化，以坐标x表示横截面位置，则弯矩可表示为x的函数：M=M（x）称为梁的弯矩方程为了形象地表示梁各个横截面上弯矩的大小与正负，将弯矩方程用图表示，称为弯矩图。一、弯矩图的作法：先求得梁的支座反力，列出弯矩方程(分段函数，范围，坐标原点的选取)，然后选择适当的比例，以x为横坐标，弯矩为纵坐标，按方程作图。正的弯矩画在x的上方，负弯矩画在下方。

牛牛文库文档分享20Pmnxl弯矩方程：（-）弯矩图PQM例1、图示一受集中力作用的悬臂梁，画该梁弯矩图。-例题3-1；左侧截面：取自由端分析/固定端分析？注意最大值

牛牛文库文档分享21弯矩图（-）QMqmnxl例2、图示一受均布载荷的悬臂梁，画该梁弯矩图。课本例题3-2,注意x坐标原点的选取

牛牛文库文档分享22例3：如图所示的简支梁AB，在点C处受到集中力F作用，尺寸a、b和L均为已知，试作出梁的弯矩图。x1FAFBx2FABaCbL解：1.求约束反力2.分两段建立弯矩方程

AC段：

牛牛文库文档分享23BC段：LFx1ABaCbx2M=FAX2-F(X2-a)

=-FX2+aFal

牛牛文库文档分享24Fx1ABaCbx23.画弯矩图时，时，时，时，直线M

牛牛文库文档分享25BAlFAYqFBY例4、简支梁受均布载荷作用试写出弯矩方程，并画出弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝FBy＝ql/22．写出弯矩方程yxCx3.依方程画出弯矩图Mx

牛牛文库文档分享26例5：如图所示的简支梁AB，在点C处受集中力偶M0作用，尺寸a、b和L均为已知，试作此梁的弯矩图。

解：1.求约束反力：力的方向2.分两段建立弯矩方程

BACM0abLAC段：

x1x2

牛牛文库文档分享27BC段：

BACM0abLx1x2

牛牛文库文档分享283.画弯矩图BACM0abLx1x2

牛牛文库文档分享29课本例题3-5

牛牛文库文档分享30弯矩图的规律

1.梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。

2.梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。

3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。P41表3-1

牛牛文库文档分享31解：（1）求支坐反力取全梁为研究对象，由平衡方程例6、一外伸梁受均布载荷和集中力偶作用，如图。试作此梁的弯矩图

牛牛文库文档分享32

(2)画弯矩图

(i)分段，初步确定弯矩图形状

仍将全梁分为CA、AD、DB三段。CA段有向下的均布载荷，弯矩图为凸形的抛物线；AD、DB两段则为傾斜直线；在A处因有集中力，弯矩图有一折角；在D处弯矩有突变，突变之值即为该处集中力偶之力偶矩。(ii)求特殊截面上的弯矩

为画出各段梁弯矩图，需求以下各横截面上弯矩：

牛牛文库文档分享33

(iii)

作图

在CA段内再适当算出几个弯矩值，标于坐标上，并与MC,MA的坐标相连，画出抛物线；再以直线MA,MD左和MD右，MB的坐标，可得全梁的弯矩图图c所示。由图可见，在D稍右处横截面上有绝对值最大的弯矩，其值为

牛牛文库文档分享34熟悉梁横向截面上的内力计算,弯矩方程,弯矩图的求解。要点提示

牛牛文库文档分享35作业72第18题(e)(h)

画剪力图和弯矩图

牛牛文库文档分享36回顾与比较内力应力FAyQMN

牛牛文库文档分享37纯弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－横力弯曲§3-4纯弯曲时梁横截面上的正应力

牛牛文库文档分享38纯弯曲时的变形特征：实验现象:1、横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交；2、纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短；

3、横截面的高度不变，宽度在上部略为增大，下部略为缩小。假设：1、平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。2、互不挤压假设：所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，相互之间没有挤压。

牛牛文库文档分享39推论：1、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切变形，梁横截面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的；2、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸侧纤维伸长。因此凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉伸，存在拉伸应力；3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层与横截面的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。

牛牛文库文档分享40梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律由平面假设可知，纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。

牛牛文库文档分享41弯曲变形与应力的关系

纵向纤维的线应变：正应力：

根据轴向拉压时的虎克定律有：应力与中性轴距离关系

牛牛文库文档分享42横截面上距中性轴为y处，取微面积dA，其上作用的内力为σ·dA，对中性轴的力矩为y·σ·dA，横截面上所有内力矩的总和就是横截面上的弯矩M，即

积分为横截面对中性轴z的惯性矩，用Jz表示，单位为m4，是与截面尺寸和形状有关的一个几何量。应力计算

牛牛文库文档分享43梁纯弯曲时正应力计算公式在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为：MPa即：最大正应力为(MPa)：M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。

M--截面上的弯矩(N.mm)y--计算点到中性轴距离(mm)Jz--横截面对中性轴惯性矩Wz--抗弯截面模量抗弯截面模量

牛牛文库文档分享44三、弯曲正应力公式的适用范围1、纯弯曲梁。一般梁由于剪力的存在，梁的横截面将发生翘曲，同时横向力将使梁的纵向纤维间产生局部挤压应力。弹性力学精确分析表明，当跨度L

与横截面高度h

之比L/h>5

（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。2、具有纵向对称面的各种截面形状的梁，但注意中性轴不是横截面的对称轴时，上下表面的抗弯截面模量不同。3、弹性变形阶段。

牛牛文库文档分享45

常用截面的惯性矩和抗弯截面模量1矩形截面惯性矩抗弯截面模量

牛牛文库文档分享46空心圆截面圆截面

牛牛文库文档分享47§3-5梁弯曲的强度条件强度条件：梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力，即M—危险截面处的弯矩（N.mm）-单位统一Wz—危险截面的抗弯截面模量（mm）

—材料的许用应力(Mpa)31设计截面2强度校核3计算许可载荷

牛牛文库文档分享48例

容器四个耳座支架在四根各长2.4m的工字钢梁的中点上，工字钢再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重110kN，工字钢为16号型钢，钢材弯曲许用应力[σ]=120MPa，试校核工字钢的强度。

牛牛文库文档分享49最大弯矩在梁的中间??-：由型钢表查得16号工字钢的Wz=141cm3（附录6）

牛牛文库文档分享50分析（1）确定危险截面（3）计算（4）计算，选择工字钢型号某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重材料的许用应力起重量跨度试选择工字钢的型号。（2）例题2

牛牛文库文档分享51（4）选择工字钢型号（3）根据计算（1）计算简图（2）绘弯矩图解：36c工字钢

牛牛文库文档分享52课本例题3-8~3-10

牛牛文库文档分享53例3：某梁由工字钢制成，材料为Q235A.F，[σ]=160MPa,P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.m,确定工字钢的型号RCRB1画受力图

牛牛文库文档分享542求支座反力P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.m

牛牛文库文档分享55在AC段：(0<x<1)3列剪力和弯矩方程：分AC和CB段P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.m逆时针

牛牛文库文档分享56在CB段：(1<x<5)4画Q－M图P=20KN,q=10KN/m,M=40KN.mCMPq

牛牛文库文档分享57

牛牛文库文档分享585

求最大WZ查附表，应选用20a工字钢，WZ＝237×103mm3

牛牛文库文档分享59掌握弯曲正应力的计算，强度条件和变形计算。重点内容梁的弯曲强度条件:弯曲变形时的刚度条件:重点内容梁的弯曲强度条件:作业课后题18,20

牛牛文库文档分享60§3-7提高梁强度的主要措施1.降低Mmax

：合理安排支座合理布置载荷

牛牛文库文档分享61合理布置支座FFFL/4

牛牛文库文档分享62合理布置支座

牛牛文库文档分享63合理布置载荷F

牛牛文库文档分享642.增大WZ：

合理设计截面合理放置截面

牛牛文库文档分享65合理设计截面由于h>b,所以Wz1>Wz2

牛牛文库文档分享66塑性材料，许用拉压应力相等，采用对中性轴对称的截面：工字，矩形。脆性材料，许用压力大于许用拉力，使中性轴偏于受拉一侧：T型

牛牛文库文档分享67采用等强度梁等截面梁在弯曲时各截面的弯矩是不相等的，如果以最大弯矩来确定截面尺寸，则除弯矩最大的截面外，其余截面的应力均低于弯矩最大的截面，这时材料就没有得到充分利用，为了减轻自重，并充分发挥单位材料的抗弯能力，可使梁截面沿轴线变化，以达到各截面上的最大正应力都近似相等，这种梁称为等强度梁。但等强度梁形状复杂，不便于制造，所以工程实际中往往制成与等强度梁相近的变截面梁。如一些建筑中的外伸梁，做成了由固定端向外伸端截面逐渐减小的形状，较好地体现了等强度梁的概念。而机械中的多数圆轴则制成了变截面的阶梯轴。

牛牛文库文档分享683、等强度梁

牛牛文库文档分享69

牛牛文库文档分享70§3-7梁的弯曲变形-刚度7-1吊重物时，梁弯曲变形

牛牛文库文档分享71化工厂管道，

牛牛文库文档分享72

1、挠度（Deflection）横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度.用f表示.二、基本概念f挠度C'CAB

w

x

牛牛文库文档分享732、转角

(slope)

横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角.用表示转角AC'CwB

xf挠度（

牛牛文库文档分享743、挠曲线

(Deflectioncurve)梁变形后的轴线称为挠曲线.式中,x

为梁变形前轴线上任一点的横坐标,f为该点的挠度.挠曲线挠曲线方程(Equationofdeflectioncurve)为wAB

x转角f挠度（C'C

牛牛文库文档分享754、挠度与转角的关系（Relationshipbetween

deflectionandslope)：wAB

x转角w挠度C'C挠曲线在小变形(θ很小)的情况下,转角等于挠度曲线上与该截面对应点的切线斜率θ很小

牛牛文库文档分享765、挠度和转角符号的规定（Signconventionfordeflectionandslope)挠度向上为正,向下为负.转角自x转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.

wAB

x转角f挠度C'C挠曲线

牛牛文库文档分享77挠曲线微分方程挠曲线可用y=f(x)表示，挠曲线曲率：数学定义曲率综合两式：曲率半径与M关系

牛牛文库文档分享78用积分法求弯曲变形（挠曲线方程）1.微分方程的积分C1、C2为积分常数，据边界条件确定积分法求弯曲变形挠曲线近似微分方程：

牛牛文库文档分享792.位移边界条件PABCPD支点位移条件：连续光滑条件：PABC（集中力、集中力偶作用处，截面变化处）

牛牛文库文档分享80解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分xyPLa二次积分四)积分法求梁的变形

牛牛文库文档分享81应用位移边界条件求积分常数PLaxy

牛牛文库文档分享82写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角PLaxyP51-例3-12

牛牛文库文档分享83例3求梁的转角方程和挠度方程，梁的EJ已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：

牛牛文库文档分享843）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：

牛牛文库文档分享854）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件

牛牛文库文档分享865）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：

牛牛文库文档分享87

积分法求梁变形

①适用于小变形、弹性材料、细长构件的平面弯曲②可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的变形③积分常数由挠曲线变形的边界条件确定④优点——使用范围广，精确；缺点——计算较繁

牛牛文库文档分享88设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，7-4三.用叠加法求梁的变形

牛牛文库文档分享89故由于梁的边界条件不变