模电复变数电大物近7年试卷函数第二章

第一节

解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、小结与思考一、复变函数的导数与微分1.导数的定义:设函数w

=f

(z)定义于区域D,z0

为D

中的一点,点z0

+Dz

不出D

的范围,如果极限

lim

f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

存在,那末就称f

(z)在z0可导.这个极限值称为f

(z)在z0的导数,=

lim

f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

.Dzfi

00dz记作

f

¢(z

)

=

dwz=z0DzDzfi

0Dz在定义中应注意:z0

+Dz

fi

z0

(即Dz

fi

0)的方式是任意的.即z0

+Dz在区域D内以任意方式趋于z0时,比值f

(z0

+Dz)-f

(z0

)都趋于同一个数.Dz如果函数f

(z)在区域D

内处处可导,我们就称f

(z)在区域内D

可导.例1求f

(z)=z2的导数.f

¢(z)

=

lim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)Dz(z

+

Dz)2

-

z2Dzfi

0解Dz=

limDzfi

0Dzfi

0=

lim(2z

+

Dz)

=

2z.(z2

)

=

2z例2讨论f

(z)=Im

z的可导性.Df

=

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

=

Im(

z

+

Dz)

-

Im

zDz

Dz=

Im

z

+

Im

Dz

-

Im

z解DzDzDz=

Im

Dz=

Im(Dx

+

iDy)Dx

+

iDy

Dx

+

iDyDy=

,当点沿平行于实轴的方向(Dy

=0)而使Dz

fi

0时,Dzfi

0

Dzlim

Df

=

lim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

=

limDzfi

0=

0,Dy=0Dz

Dxfi

0

Dx

+

iDyDy当点沿平行于虚轴的方向(Dx

=0)而使Dz

fi

0时,Dzfi

0

Dzlim

Df

=

lim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

=

limDzfi

0Dx=0Dz

Dyfi

0

Dx

+

iDyi=

1,Dy当点沿不同的方向使Dz

fi

0时,极限值不同,故f

(z)=Im

z在复平面上处处不可导.例3问f

(z)=x

+2

yi是否可导？Dzlim

Df

=

lim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)Dzfi

0

DzDzfi

0解Dz=

lim

(

x

+

Dx)

+

2(

y

+

Dy)i

-

x

-

2

yiDzfi

0Dx

+

Dyi=

lim

Dx

+

2DyiDzfi

0设z

+Dz沿着平行于x

轴的直线趋向于z，yoz

Dy

=

0xyoz

Dy

=

0xDx

+

DyiDzfi

0lim

Dx

+

2Dyi

=

lim

Dx

=

1,Dxfi

0

Dx设z

+Dz沿着平行于y

轴的直线趋向于z，Dx

=

0limDzfi

0Dx

+

Dyi

DyiDx

+

2Dyi

2Dyi=

lim

=

2,Dyfi

0所以f

(z)=x

+2

yi的导数不存在.2.可导与连续:函数f(z)在z0

处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0

处连续不一定在z0

处可导.证根据在z0

可导的定义,"

e

>

0,

$d

>

0,使得当0

<|

Dz

|<d

时,0-

f

¢(z

)

<

e,00Dzf

(z

)f

(

z

+

Dz)

-有令r(Dz)=0-

f

¢(z

)00Dz-

f

(z

)f

(z

+

Dz)Dzfi

0则

lim

r(Dz)

=

0,f

(

z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

=

f

(z0

)Dz

+

r(Dz)Dz,因为Dzfi

0所以

lim

f

(z0

+

Dz)

=

f

(z0),即f

(z)在z0

连续.[证毕]3.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:(c)

=0,

其中c为复常数.(zn

)

=nzn-1

,

其中n为正整数.(3)

[f

(z)

–

g(z)]

=

f

¢(z)

–

g¢(z).(4)

[f

(z)g(z)]

=

f

¢(z)g(z)

+

f

(z)g¢(z).(

g(z)

„

0)

f

(z)

=

f

¢(z)g(z)

-

f

(z)g¢(z)

.

g(z)

g2

(z)(5)(6)

{f

[g(z)]}=f

¢(w)g¢(z).

其中w

=g(z)且j¢(w)„0两个互为反函数的单值函数,,

其中w

=f

(z)与z

=j

(w)是j¢(w)1(7)

f

¢(z)

=4.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.设函数w

=

f

(

z)在

z0

可导,

则Dzfi

0Dw

=

f

(z0

+

Dz)

-

f

(z0

)

=

f

¢(z0

)

Dz

+

r(Dz)Dz,式中

lim

r(Dz)

=

0,

r(Dz)Dz

是

Dz

的高阶无穷小,

f

¢(

z0

)

Dz

是函数

w

=

f

(

z)

的改变量Dw

的线性部分.f

(z0

)

Dz

称为函数

w=

f

(

z)在点

z0

的微分,记作

dw

=

f

¢(

z0

)

Dz.定义如果函数在z0

的微分存在,则称函数f

(z)在z0

可微.特别地,

当

f

(

z)

=

z

时,dw

=

dz

=

f

(z0

)

Dz

=

Dz,dw

=f

(z0

)

Dz

=f

(z0

)

dz,即z=z00dzf

¢(

z

)

=

dw函数w

=f

(z)在z0

可导与在z0

可微是等价的.如果函数f

(z)在区域D内处处可微,则称f

(z)在区域D内可微.二、解析函数的概念1.

解析函数的定义如果函数f

(z)在z0

及z0

的邻域内处处可导,那末称f

(z)在z0

解析.如果函数

f

(z)在区域D内每一点解析,

则称f

(

z)在区域D内解析.

或称

f

(

z)是区域D

内的一个解析函数(全纯函数或正则函数).2.

奇点的定义如果函数

f

(z)

在

z0

不解析,

那末称

z0

为f

(z)的奇点.根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.例4h(z)=z

2的解析性.研究函数f

(z)=z2

,g(z)=x

+2

yi

和解由本节例1和例3知:f

(z)=z2

在复平面内是解析的;g(z)=x

+2

yi

处处不解析;下面讨论h(z)=z

2

的解析性,

0

0

DzDz2h(z

+

Dz)

-

h(z

)

z

+

Dz

2

-

z=

0

0

Dz=

(z0

+

Dz)(z0

+

Dz)

-

z0z000

Dz=

z

+

Dz

+

z

Dz

,0(1)

z

=

0,lim

h(z0

+

Dz)

-

h(z0

)

=

0.Dzfi

0Dz(2)

z0

„

0,令z0

+Dz

沿直线y

-y0

=k(x

-x0

)趋于z0

,Dz

Dx

+

iDyDx1

+

i

Dy1

-

i

DyDz

=

Dx

-

iDy

=

Dx

=

1

-

ik1

+

ik由于k

的任意性,Dz

=1

-ki

不趋于一个确定的值.Dz

1

+

kilim

h(z0

+Dz)-h(z0

)不存在.Dzfi

0Dz因此h(z)=z

2

仅在z

=0

处可导,而在其他点都不可导,根据定义,它在复平面内处处不解析.例5z研究函数w

=1

的解析性.解z因为w

=1

在复平面内除z

=0

处处可导,dzz2dw

=

-

1

,且所以w在复平面内除z

=0

外处处解析,z

=0

为它的奇点.例6研究函数f

(z)=z

Re(z)的可导性与解析性.解(1)

z

=

0,lim

f

(0

+

Dz)

-

f

(0)

=

lim

Dz

Re(Dz)

=

0,Dzfi

0Dz

DzDzfi

0故f

(z)=z

Re(z)在z

=0

处可导.(2)

z

„

0,f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

=

(z

+

Dz)

Re(z

+

Dz)

-

z

Re(z)Dz

Dz=

z

[Re(z

+

Dz)

-

Re(z)]

+

Re(z

+

Dz)Dz令Dz

=Dx

+iDy

,f

(

z

+

Dz)

-

f

(z)

=

z

DxDz

Dx

+

iDy+

x

+

Dx

,因为

lim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

=

x,Dx=0Dyfi

0Dzlim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

=

z

+

x,Dxfi

0Dy=0Dz所以

lim

f

(z

+

Dz)

-

f

(z)

不存在.Dzfi

0Dz即当

z

„

0

时,

f

(

z)

不可导,因此f

(z)仅在z=0

处可导,而在其他点都不可导,根据定义,它在复平面内处处不解析.课堂练习研究函数w

=1

的解析性.z处处不可导,处处不解析.答案定理在区域D

内解析的两个函数f

(z)与