高中数学131-二项式定理课件

1.3.1二项式定理(1)1.在n=1,2,3时，写出并研究(a+b)n的展开式.(a+b)1=

,(a+b)2=

,(a+b)3=

,a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3结合左边的次数分析：展开式中的项数、次数(a、b各自次数）每一项的系数规律提出问题：次数:各项的次数等于二项式的次数项数:次数+1(a+b)2＝

(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：a2

，ab

，b2

这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b对(a+b)2展开式的分析每个都不取b的情况有1种，即

,则a2前的系数为恰有1个取b的情况有

种，则ab前的系数为恰有2个取b的情况有种，则b2前的系数为(a+b)2=a2+2ab+b2

＝a2+ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+a2b+ab2+b32.在n=4时，猜测(a+b)的展开式.4(a+b)4＝

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？问题：1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)．各项前的系数代表着什么？3)．你能分析说明各项前的系数吗？a4a3ba2b2ab3b4各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数3)．你能分析说明各项前的系数吗？a4a3ba2b2ab3b4每个都不取b的情况有1种，即则a4前的系数为恰有1个取b的情况有种，则a3b前的系数为恰有2个取b的情况有种，则a2b2前的系数为恰有3个取b的情况有种，则ab3前的系数为恰有4个取b的情况有种，则b4前的系数为则(a+b)4＝

a4

＋

a3b＋

a2b2＋

ab3＋b4一二三四问题：4个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个，从每个容器中取一个球，有多少不同的结果？4个红球0个黑球3个红球1个黑球2个红球2个黑球1个红球3个黑球0个红球4个黑球C40C41C42C43C44一二三四a4a3ba2b2ab3b4都不取b取一个b

取两个b

取三个b

取四个b

项系数C40C41C42C43C44(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4=C4a4+C4a3b+C4a2b2+C4ab3+C4b401234结果：发现规律：对于(a+b)n=的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个括号中取b(其余括号中取a)的组合数.那么，我们能不能写出(a+b)n的展开式？

将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？

归纳提高

(a+b)n=一般地，对于nN*有二项式定理

这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的

，其中（r=0,1,2,……,n）叫做

，

叫做二项展开式的通项，用Tr+1

表示，该项是指展开式的第

项，展开式共有_____个项.展开式二项式系数r+1n+12.系数规律：3.指数规律：（1）各项的次数均为n；（2）字母a按降幂排列,次数由n递减到0

字母b按升幂排列,次数由0递增到n1.项数规律：展开式共有n+1个项二项式定理

二项式定理

4.二项式系数可写成组合数的形式,组合数的下标为二项式的次数,组合数的上标由0递增到n5.

展开式中的第r+1项，即通项

Tr+1=__________；6.

二项式系数为______；项的系数为二项式系数与数字系数的积课堂练习特别地:

1、把b用-b代替

(a-b)n=Cnan-Cnan-1b+…

+(-1)rCnan-rbr

+…

+(-1)nCnbn01rn对定理的再认识2、令a=1，b=x3、在上式中，令x=1，则有：解:（1）例1.

用二项式定理展开下列各式：例2、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项解:解:第四项系数为280.例4.求近似值（精确到0.001）（1）(1.002)6；（2）(0.997)3（3）今天星期三，再过22001天是星期几？分析：（1）(1.002)6=（1+0.002)6

（2）(0.997)3=(1-0.003)3

（3）22001=（7+1）667类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项.课堂练习4.(1)求的展开式常数项解:(2)求展开式的中间两项

解:展开式共有10项,中间两项是第5、6项。思考：化简：

1＋2Cn+4Cn＋8Cn+…+2nCn123n1-2Cn+4Cn-8Cn+…+（-2)nCn123n例5求展开式中的有理项解:令原式的有理项为:112x例7计算并求值解(1):将原式变形例7计算并求值解:(2)原式例8:求

的展开式中项的系数.解的通项是的通项是的通项是由题意知解得所以的系数为:

注意：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算例99192除以100的余数是＿＿＿＿＿由此可见，除后两项外均能被100整除所以9192除以100的余数是81整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数，1、已知的展开式中x3的系数为，则常数a的值是_______

2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（）

A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________课堂练习4、已知(1+

)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.5、已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.6、若展开式中前三项系数成等差

数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；1.3.1二项式定理(2)1.二项式定理：2.通项规律：3.二项式系数：第(r+1)项

运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式子,从而能解决些问题.这节课我们来做一些练习.4.特殊地：注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念令以x=1得已知求:(1)

；

(2)；

(3);(4)（一）赋值法的应用:分析:取通项来分析,常数项即项.（二）求特定项:解：根据二项式定理，取a＝3x2，b＝－∴的通项公式是∴的展开式中第9项为常数项。由题意可知，故存在常数项且为第9项，常数项常数项即项.

求(x

＋2)10

（x

2－1）展开式中含x

10项的系数为＿＿＿＿.(高考题)179能力训练5:

在(x2+3x+2)5

的展开式中,x的系数为多少？240能力训练5:(x2+3x+2)5展开式中x的系数为_____.方法1

(x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5

方法2

(x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5

方法3

(x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5

方法4

(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5

，…….妙!小结(5)二项式定理简单应用.(1)二项式定理：(2)二项展开式的通项:(注意，它是第k+1项)(3)区别二项式系数，项的系数(4)掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项2.求(1+x+x2)(1－x)10展开式中含x

项的系数3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数4.9192除以100的余数是＿＿＿＿.5.若(x+1)n=x

n+…+ax3+bx2+…+1(n∈N*)，且a:b=3:1，那么n=_____（95上海高考）

4.9192除以100