电磁理论及其数学基础-课件

电磁理论及其数学基础电荷线密度:

电荷总量:库仑定律:图1、1点电荷间的作用力例1、1一个平行板真空二极管内的电荷体密度为其阴极板位于x=0,阳极板位于x=d,极间电压为

U0,假如U0=40V,d=1cm,横截面S=10

。求:(1)x=0和x=d区域内的总电荷量;(2)x=d

/2和x=d区域内的总电荷量))。2、电场强度电场强度(1、9)(1、10)(1、11)例1、2自由空间中一个长度为2l的均匀连续带电线段,所带电荷总量为q,求直线外任一点的电场强度。解:选择圆柱坐标系,其z轴与带电线段重合,坐标原点选择在线段中点,如图1、3所示。图1、3在均匀连续带电线段上取电荷元,线段上的电荷线密度,则电荷元在空间P点的电场强度为设矢径R与z轴间的夹角为θ,则经积分求得整个线段在P点处的电场强度由图1、3可知R与θ和r的关系为把这些关系代入上面的积分式中可得例1、3半径为a的均匀带电圆盘,电荷面密度为,计算轴线上一点的电场强度。解:由对称性可知,P点电场强度的x分量和y分量为0,只需求出它的z分量即可。选取坐标系如图1、4所示,则电荷元在P点的电场强度为它的z分量为图1、4取则讨论圆盘为无限大时,即a→∞,从以上结果得3、电流与电流密度电流(1、12)电流密度矢量(1、13)(1、14)(1、15)(1、16)(1、17)图1、5电流在空间的分布图1、6电流在几何面S上的分布式中,v=Δl/Δt为电荷运动的速度,则电流密度的大小为写成矢量形成式中,ρ是该处运动电荷的体电荷密度。例1、4一个半径为a的球内均匀分布总电荷量为Q的电荷,球体均匀角速度ω绕一个直径旋转,求球内的电流密度。解:首先推导电流密度与电荷运动的速度和体电荷密度之间的关系4、安培力定律和磁感应强度(1、25)图1、7两个直流回路的安培力(1、26)(1、27)图1、8Itdlt、B与dFt之间的关系(1、29)(1、30)(1、28)例1、5计算在真空或空气中长度为2l的直线电流的空间一点P的磁感应强度。图1、9解:与例1、2类似,同样z轴与通电导线重合,坐标原点选择在线段中点,在通电导线上取一个电流元Idz′,则电流元Idz′产生的磁感应强度为dB依照矢量关系只有分量,dB的大小为空间点P(r,φ,z)的磁感应强度的方向为的方向,大小为由图1、9可知,R与θ和r的关系为把这些关系代入上面的积分式中可得关于无限长直导线,则例1、6在真空中半径为a、电流为I的圆形线圈,计算轴线上一点的磁感应强度。解:依照电流的对称性,采纳柱坐标系如图1、10,设坐标原点在圆形线圈的圆心,z轴与线圈轴线重合。则电流元Idl′产生的磁感应强度为dB的大小为dB的方向如图1、10所示,dB含有er和ez分量,即因此写成矢量形式当z=0时,圆形线圈中心点的磁感应强度为由对称性可知,整个圆形线圈所产生的磁感应强度只有ez分量,因此只需要对dBz积分求出Bz即可。1、2标量和矢量1、标量和矢量人们把只有大小而无方向的物理量称为标量,如长度、质量、时间、电荷体电荷密度、电荷面电荷密度等都是标量;人们把既有大小又有方向的物理量称为矢量,如力、速度、加速度、电场强度、磁场强度等都是矢量。2、矢量的表示方法图1、11P(x,y,z)点处的矢量任意一个矢量A均可借助代表大小的模A和代表方向的单位矢量表示为A=A矢量在直角坐标系的表示法式中位置矢量r和距离矢量R3、矢量的代数运算(1)矢量相等A=B(1、40)Ax=BxAy=ByAz=Bz(1、41)则(1、43)(3)矢量的加法与减法(1、46)(1、47)(2)矢量与标量的乘积(1、42)(4)矢量的标量积与矢量积矢量A与矢量B的标量积CC=A·B=ABcosθ(1、48)C=A×B(1、49)矢量A与矢量B的矢量积CC=ABsinθ(0≤θ≤π)(1、50)在直角坐标系中,不难得出三个坐标单位矢量满足下面关系,即(1、51)(1、52)(1、53)(1、54)

(1、55)(1、56)4、矢性函数及其微分和积分假如一个矢量的模和方向都不发生变化,则这种矢量称为常矢量;假如某矢量是一个或者几个变量的函数,则称这个矢量为变量的矢性函数。假如矢量A随x、y、z和t而变化,则记为A(x,y,z,t)(1)矢性函数的导数在直角坐标系中,A(t)可表示为(1、58)则(1、59)(2)矢性函数的微分(1、60)在直角坐标系中(1、61)(3)矢性函数的积分关于矢性函数A(t),在t的某个区间上的不定积分记作∫A(t)dt=B(t)+C(C为任意常矢量)(1、62)在直角坐标系中,(1、63)(1、64)例1、7关于给定矢量:解:1、3标量场的梯度1、标量场及其等值面场中的物理量在各点不随时间发生变化,则这个场称为静态场;假如物理量在各点随时间发生变化,则称这个场为时变场。设在空间某区域存在一个静态标量场u=u(x,y,z),为了更清楚地描述标量场的分布规律,人们把标量场中数值相同的点连接起来形成一个面,这个面称为等值面,如图1、17所示。图1、17等值面示意图2标量场的梯度现在取一个等值面u,另取一个与u相差特别小的等值面u+Δu,如图1、18所示。人们把标量场在P点沿l方向的变化率定义为该点沿l方向的方向导数(1、66)图1、18u沿不同方向的变化率方向导数在一个特定的方向上取得最大值。如此就能够定义一个矢量来描述标量场的特性,这个矢量称为标量场u的梯度,用guadu来表示。如图1、18所示在直角坐标系中,(1、67)哈密顿算子(1、68)标量场的梯度(1、69)例1、9求函数在M(1,2,3)点处的梯度。解:例1、10设r和r′为空间点P(x,y,z)和点P′(x′,y′,z′)的矢径,R为这两点间的距离。求:1、4矢量场的散度和旋度1、矢量场的散度在分析和描绘矢量场的性质时,引入矢量穿过一个曲面S的通量是十分必要的。如图1、19所示,S为一个曲面,dS为在S面取的一个面元,为面元dS的垂线方向上的单位矢量,A(r)为穿过面元dS的矢量。图1、19面元矢量及通量面元矢量定义为(1、70)矢量A(r)穿过面元dS的通量定义为(1、71)(1、72)矢量场A(r)穿过闭合曲面S的通量一般用符号“∮”来表示,即(1、73)A(r)的散度(1、74)矢量场A(r)的散度在直角坐标系可表示为(1、75)(1、76)关于曲面S上各面元的通量相加起来即是矢量场A(r)穿过曲面S的通量,也称为A(r)对S的面积分。问a、b、c取何值时,A为无源场。解:A为无源场,上式假如始终得到满足,则2a+2=0,2b=0,2c=0。由此得,当a=-1,b=0,c=0时,A为无源场。2、高斯散度定理(1、77)(1、77)称为高斯散度定理,这个积分变换公式在电磁场理论中经常用到。3、矢量场的旋度矢量场A沿闭合曲线l的环量图1、20线元矢量及环流(1、78)在直角坐标系中,矢量场A的旋度为(1、79)利用哈密顿算符来表示矢量场A的旋度,则(1、80)写成行列式的形式(1、81)4、斯托克斯定理矢量场A沿空间任一闭合曲线l的环量等于该矢量场的旋度穿过以l作为边界的任一开放曲面S的通量,即(1、82)称为斯托克斯定理,这个定理也经常在电磁场理论中应用到。1、5矢量的恒等式亥姆霍兹定理四个重要的恒等式(1、83)(1、84)(1、85)(1、87)(1、88)亥姆霍兹定理假如在空间区域V内,矢量A的散度·A、旋度×A以及边界条件差不多给定,那么矢量场A在空间区域V内将被唯一地确定。这个定理称为矢量场的唯一性定理,能够在数学上得到严格的证明。亥姆霍兹定理对矢量场的唯一性定理做一补充,给出这些物理量之间的定量关系。亥姆霍兹定理指出:空间有限区域V内的任一矢量场F均能够表示为一个无源场F1和一个无旋场F2之和,即F=F1+F2。1、6坐标系1、直角坐标系直角坐标系是一种下交直线坐标系。图1、21直角坐标系图1、22直角坐标系中的长度元、面积元和体积元微分长度为矢量表达式为梯度、散度、旋度的表达式分别为拉普拉斯算子及表达式2、圆柱坐标系圆柱坐标系由r、、z三个坐标变量组成,它们的变化范围分别是0≤r≤∞、0≤≤2π、-∞≤z≤∞,在正方向的单位矢量分别为,如图1、23所示图1、23圆柱坐标系图1、24圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元从图1、24能够看出,圆柱坐标系中的长度元、面积元、体积元和面积元矢量分别为微分长度元为矢量表达式为3、球面坐标系球面坐标系也称为球坐标系,由r、θ、三个坐标变量组成,其变化范围分别是0≤r≤∞、0≤θ≤π、0≤≤2π,在正方向的单位矢量分别为,如图1、25所示图1、25球面坐标系图1、26球面坐标系中的长度元、面积元和体积元从图1、26能够看出,球面坐标系的长度元、面积元、体积元和面积元矢量分别为微分长度元为矢量表达式为例1、13试把矢量场用圆柱坐标系和球面坐标系表示出来。解:在球面坐标系中在圆柱坐标系中,有式(1、120)因此式中1、7贝塞尔函数1、贝塞尔方程与贝塞尔函数二阶线性齐次常微分方程称为贝塞尔方程。首先用级数法求解贝塞尔方程,得到两个特解称为第一类贝塞尔函数。阶贝塞尔函数,级数表达式为通过Jν(x)与J-ν(x)线性叠加得到第二类贝塞尔函数Nν(x),也称为诺伊曼函数,其定义为式(1、138),当ν=n(整数)时,利用洛必达法则,能够得到它的微分表达式(1、139)Jν(x)和Nν(x)都是贝塞尔方程式(1、139)的特解,使用它们能够组成通解。为了更深入地了解Jν(x)和Nν(x)随x变化的规律,图1、27中给出了自