杆件的拉伸与压缩课件

杆件的拉伸与压缩1ChapterEightTensionandCompression28.1拉压杆的应力8.2拉压杆的变形和位移8.3拉压杆的超静定问题本章内容小结本章基本要求背景材料综合训练3背景材料4背景材料5背景材料6

正确理解和应用杆件拉压正应力公式和变形公式，能熟练地进行拉压问题的强度和刚度分析。

能正确计算简单桁架结点的位移。

正确理解和应用求解拉压超静定问题的主要环节，能进行简单的装配应力和热应力问题的计算。本章基本要求

了解圣维南原理，了解应力集中现象。78.1.1横截面上的应力8.1拉压杆的应力拉压杆的平截面假设利用平截面假设，能得到横截面上正应力分布的规律吗？1.横截面上正应力公式各点轴向位移相同各点应变相同各点应力相同重要公式AFN=s82.正应力公式的应用◆

强度校核◆

许用荷载计算◆

截面尺寸设计AFN=s根据平截面假设，能得到横截面上有关切应力的结论吗？结论

在拉压杆的横截面上切应力为零。9分析①号杆和②号杆的受力不同，故应先分析哪一根杆件更危险。分别以

AB

和

CD作为平衡分析对象，在分析中，两根杆件的轴力转化为刚性梁的外力。0.75m30°①②ABCDF0.6mE3m3.2m例

设

AB、CD均为刚体,F

=

39kN

,①、②两杆

[]

=160MPa

,直径均为

25mm,试校核此结构的强度。10分析危险杆件②号杆更危险，故只需校核②号杆的强度。故结构安全0.75m30°①②ABCDF0.6mE3m3.2m0.75m②ABF3m0.6mN13.2mDN20.75m30°ABCDF3m0.6mE3.2mN10.75m30°①②ABCDF0.6mE3m3.2m例

设

AB、CD均为刚体,F

=

39kN

,①、②两杆

[]

=160MPa

,直径均为

25mm,试校核此结构的强度。11轴力分析与上题相同。取d1=16mm取d2=25mm①号杆：②号杆：直径确定0.75m30°①②ABCDF0.6mE3m3.2m例

设

AB、CD均为刚体,F

=

39kN

,①、②两杆

[]

=

160MPa

,

试求两杆所需直径。12分析①号杆：0.75m30°①②ABCDF0.6mE3m3.2m0.75m②ABF3m0.6mN13.2mD例

设

AB、CD均为刚体,①号杆直径为25mm，②号杆直径为35mm，两杆[]

=160MPa,试求许用荷载[F]。13分析①号杆：0.75m②ABF3m0.6mN13.2mD例

设

AB、CD均为刚体,①号杆直径为25mm，②号杆直径为35mm，两杆[]

=160MPa,试求许用荷载[F]。14分析②号杆：分析①号杆：故有0.75m②ABF3m0.6mN13.2mDN20.75m30°ABCDF3m0.6mE3.2mN10.75m30°①②ABCDF0.6mE3m3.2m例

设

AB、CD均为刚体,①号杆直径为25mm，②号杆直径为35mm，两杆[]

=160MPa,试求许用荷载[F]。153.75m30°①②ABCD0.6mE3.2m分析与讨论载荷可在AB

上水平移动在校核强度时应如何考虑荷载？与上面的例子相比较，所确定的两杆直径有何变化？与上面的例子相比较，所确定的许用荷载有何变化？F注意在荷载有作用位置或角度变化的情况下，应在对构件的最不利位置上考察强度。16bLAa例

如图的结构中荷载可在刚性梁上移动。结构中距离

b不可改动。求在满足强度要求下，使拉杆用料最省的角度

。分析由于荷载的位置是变化的，不同的位置在斜撑中所引起的轴力是不同的。因此，从安全性角度考虑，应选择荷载对斜撑强度的

最不利位置

进行分析。bLAaFbLAaFbLAaF

过小bLAaFbLAaF

过大bLAaF

过小或过大所用的材料都不是最省的，故应在满足强度的前提下建立斜撑体积关于

的函数关系，再取其极小值。拉杆体积长度（与有关）横截面积轴力（与有关）17例

如图的结构中荷载可在刚性梁上移动。结构中距离

b不可改动。求在满足强度要求下，使拉杆用料最省的角度

。bLAaF考虑横梁的平衡bLAaFN拉杆中的轴力bLAaFN拉杆横截面上的正应力拉杆的重量使拉杆重量最小的角度bLAF45°18数学工具箱函数在x0

处取极值的必要条件是。若，则函数取极小值。若，则函数取极大值。若，则函数取驻值。xyx0yx0xyx019两杆各自的长度（与有关）轴力（与有关）结构最经济例

在如图的桁架中，水平杆

CB的长度是预先定下的，斜角则可以变化。两杆由同一材料制成，且

[t]=[

c]。不考虑杆CB可能存在的失稳问题

，要使结构最经济，角度

应为多少？分析两杆总体积为最小总体积两杆各自的横截面积两杆各自的长度（与有关）轴力（与有关）许用应力将总体积表示为

的函数ACF12LB20由结点B的平衡可得ACF12LBABCF12LABCF12LN2N1ACF12LB例

在如图的桁架中，水平杆

CB的长度是预先定下的，斜角则可以变化。两杆由同一材料制成，且

[t]=[

c]。不考虑杆CB可能存在的失稳问题

，要使结构最经济，角度

应为多少？21由结点B的平衡可得ACF12LB例

在如图的桁架中，水平杆

CB的长度是预先定下的，斜角则可以变化。两杆由同一材料制成，且

[t]=[

c]。不考虑杆CB可能存在的失稳问题

，要使结构最经济，角度

应为多少？22使V

取极值的

应满足ACF12LB例

在如图的桁架中，水平杆

CB的长度是预先定下的，斜角则可以变化。两杆由同一材料制成，且

[t]=[

c]。不考虑杆CB可能存在的失稳问题

，要使结构最经济，角度

应为多少？23近代科学与技术随着经济的发展，随着人类文明的进步，也随着环境的日益恶化和资源的日益减少，人们对工程结构具有最优性质的要求越来越广泛和迫切。结构优化设计StructuralOptimumDesign24近代科学与技术结构优化设计设计变量最优解搜索直接方法数值方法最优解有限元目标函数约束条件25适用范围适用范围3.正应力公式适用范围正应力公式的必要条件轴向力作用在轴线（横截面形心的连线）上。正应力公式与材料性质无关。塑性材料脆性材料26正应力公式不适用的情况截面尺寸变化大的区域集中力作用的端面附近截面尺寸突变的区域含有孔、槽的区域274.应力集中

(stressconcentration)由于构件外形的突然变化，或存在着孔、槽，会引起该区域内横截面上某些局部应力的急剧增大。这种现象称为应力集中。用脆性材料制成的构件对应力集中更为敏感。28应力集中的例子29应力集中的例子30应力集中的例子31应力集中的例子3233应力集中现象削弱了构件的强度，工程中一般需采取措施来降低应力集中的程度。分析与讨论为什么脆性材料构件中的应力集中比塑性材料中的应力集中更危险？345.圣维南原理(Saint-Venantprinciple)hh/

4hh/

2hh应力变形h4h2h35hh如果作用在物体某些边界上的小面积上的力系用静力等效的力系代换，那么这一代换在物体内部相应产生的应力变化将随着与这块小面积的距离的增加而迅速地衰减。不受影响5.圣维南原理(Saint-Venantprinciple)36力学家与力学史AdhémarJeanClaudeBarrédeSaint-Venant

(1797-1886)

Saint-Venant

，法国力学家。他在柱体扭转、弯曲等方面有重要贡献。他于1855年首次提出圣维南原理，后由他的学生Boussinesq

把这一思想加以推广。这一原理在提出后的一百多年里人们一直在寻求其严格的证明。人们发现，在某些情况下这一定理并不正确。378.1.2斜截面上的应力错在何处？38斜截面上的总内力仍然等于F，斜截面的面积斜截面上的应力矢量值斜截面上的切应力斜截面上的正应力8.1.2斜截面上的应力FFp各斜截面上的应力39例拉杆由两块板材粘接而成。板材的[]

为20MPa

，[]为

12MPa

；粘接层的

[

]

为10MPa

，[]为6MPa

。要使结构不致于破坏，荷载F最大允许为多少？60°F

b=20h=40考虑板材强度：考虑粘接层强度：40例拉杆由两块板材粘接而成。板材的[]

为20MPa

，[]为

12MPa

；粘接层的

[

]

为10MPa

，[]为6MPa

。要使结构不致于破坏，荷载F最大允许为多少？考虑板材强度：考虑粘接层强度：60°F

b=20h=404160°F

b=20h=40故取42例

如图厚度为

t

的两块板由胶粘接，板自身强度较大。胶层许用应力如上所示

。为使轴向拉伸荷载为最大，合理的粘接角应为多少度(0

45°)？求此情况下的许用荷载。FFb合理的角度应使胶层的拉伸强度和剪切强度都得到充分的利用，因此应使胶层的正应力和切应力之比与相应许用应力之比相等。438.2拉压杆的变形和位移8.2.1拉压杆的变形计算公式x

处的位移轴向应变微元长度的伸长量线弹性杆微元长度的伸长量xdxAxdxxdxA

x

处的伸长量44xdxxdxA8.2拉压杆的变形和位移8.2.1拉压杆的变形计算公式x

处的位移轴向应变微元长度的伸长量线弹性杆微元长度的伸长量

x

处的伸长量45

x

处的伸长量等截面二力杆重要公式xE

AxFLd0Nòx)()(L=DE

ALFLN=D

EA：

抗拉刚度(tensionstiffness)xdxxdxA拉压杆刚度要求：或46先求

CD杆轴力由强度要求确定面积由刚度要求确定面积例

如图的结构中，若CD杆总伸长不得超过0.65mm，试根据强度和刚度要求确定t。故应取tb

=

3t

[

]=70MPa

E=70GPa故取

mm。P

=

6kN0.6m0.8m0.1mABCD0.8mABCNDP

=

6kN0.6m0.1m0.1mABCP

=

6kN0.6m0.8mDN47例

在如图的结构中已知弹性模量E，求变截面杆的伸长量。h2h1bLF分析

由于如图的结构不属于两端受力的二力杆，所以不能应用公式计算伸长量，只能用公式。分析

由于如图的结构不属于等截面的二力杆，所以不能应用公式计算伸长量，只能用公式。由于构件是变截面的，因此应建立横截面积关于坐标的函数关系。48例

在如图的结构中已知弹性模量E，求变截面杆的伸长量。建立如图的坐标系横截面高度横截面面积杆的伸长量h2h1bLFh2h1bLFxy49A45°aEAEAPA8.2.2简单桁架结点位移计算P在小变形情况下，可以用切线代替圆弧。AAACABKSAA

点在变形后的真实位置斜杆缩短量A

点在变形后的近似位置横杆伸长量50简单桁架结点位移计算的注意点◆应先计算轴力，并用以确定各杆是伸长或是缩短。◆

参与分析的杆件应一端是固定的，另一端是可移动的。◆在可移动端沿杆长方向画出伸长量或缩短量，再过这个已伸长（缩短）点作杆件的垂线。◆如果该杆既未伸长也未缩短（轴力为零），则应在结点原处作杆件的垂线。5145°FaAEA动脑又动笔计算A

点横向和竖向位移。F0误差分析RAABCKSA52例

如图的横梁为刚体，横截面积为80平方亳米的钢索绕过无摩擦的滑轮，设P为20kN，钢索E=30GPa，试求钢索横截面上的应力和C点的铅垂位移。分析由于滑轮无摩擦，故

BE

段与

ED

段钢索轴力相同，据此，考虑横梁的平衡即可求出钢索的轴力和应力。根据钢索的总伸长量及横梁位移情况可决定

B、D

点的竖向位移，并据此算出

C点的竖向位移。

BE

段与

ED

段钢索不是独立伸长的，而是钢索的总伸长按一定比例分配到两段。400400CP60°800E400400ABD400400ABDEP400400CP60°800E400400ABD53钢索上拉力钢索横截面应力考虑横梁平衡例

如图的横梁为刚体，横截面积为80平方亳米的钢索绕过无摩擦的滑轮，设P为20kN，钢索E=30GPa，试求钢索横截面上的应力和C点的铅垂位移。400400CP60°800E400400ABDP60°800400400CENNABD54钢索上拉力钢索横截面应力考虑横梁平衡例

如图的横梁为刚体，横截面积为80平方亳米的钢索绕过无摩擦的滑轮，设P为20kN，钢索E=30GPa，试求钢索横截面上的应力和C点的铅垂位移。P60°800400400CENNABD55P60°800400400CENNABD400400CP60°800E400400ABD400400ABDEP400400ABDEPBDC钢索总伸长DBDB几何关系C点位移为561.静定

(staticallydeterminate)和超静定

(statically

indeterminate)8.3拉压杆的超静定问题静定问题：利用平衡条件即可确定结构的全部支反力或各构件中的内力。超静定问题：单靠平衡条件不足以确定结构的全部支反力或各构件中的内力。E1A1PLE1A1PLE2A2E1A1E1A1PLN1N1N2E1A1E1A1E2A257平衡条件物理条件求解超静定问题必须考虑的因素2.拉压超静定问题的解法PLE1A1E1A1E2A2N2PLN1N1E1A1E1A1E2A2N2PLN1N1E1A1E1A1E2A2N2LN1N1E1A1E1A1E2A2N1LN1E1A1E1A1E2A2N1LE1A1E1A1E2A2N2N2内力与变形应满足材料的本构关系。LLLL三杆的变形可以这样彼此无关吗？几何条件各构件的变形应彼此协调以保证结构的完好。几何条件又称为协调条件。L所有外力与内力应满足力平衡和力矩平衡条件。58平衡条件物理条件几何条件例

求如图结构中的轴力。PLE1A1E1A1E2A2N2PLN1N1E1A1E1A1E2A2N2PLN1N1E1A1E1A1E2A2式中L

l1

l2PLE1A1E1A1E2A259δABCL2FL2EAF力使BC段产生的变形量小于

时，AB段无轴力产生。δNCABCL2FL2EA如果δNANCABCL2FL2EA例

如图，弹性杆与刚性壁间有间隙

，求

AB段的轴力。，求解轴力构成超静定问题。F力使BC段产生的变形量恰好为

时，分析60δNANCABCL2FL2EA例

如图，弹性杆与刚性壁间有间隙

，求

AB段的轴力。平衡条件物理条件协调条件故有如果，AB段无轴力产生。如果，则有：61例

两根材料不同(

E1>E2)但截面尺寸相同的杆件，两端固定连接于刚性板上。要使两杆都只产生拉伸变形，拉力F的偏心距

e应为多大？分析

要使杆件只产生拉伸变形，两杆拉力的作用线应分别沿着两杆的轴线。两杆轴力的求解构成超静定问题。E1FFeE2bbE1FFE2F1F2F1F2bbbbE1FFeE2F1F2E1FFE2F1F2F1F2bb以刚性板为自由体，外力F

和两杆轴力构成平衡力系。据此可以求出偏心距e

。62平衡条件物理条件协调条件E1FFE2F1F2F1F2bb考虑刚性板平衡，bbE1FFeE2F1F2O对O

取矩。例

两根材料不同(

E1>E2)但截面尺寸相同的杆件，两端固定连接于刚性板上。要使两杆都只产生拉伸变形，拉力F的偏心距

e应为多大？63分析与讨论下列情况的协调条件如何表述？ab1212①Faa②①Faa②1264分析与讨论a123aaFA假定1号杆受拉下列情况的平衡条件和协调条件如何表述？AAAAAAAAA平衡条件协调条件AFN3N2N165分析与讨论a123aaFA假定1号杆受压下列情况的平衡条件和协调条件如何表述？平衡条件协调条件AFN3N2N1AAAAAAAAAAA66分析与讨论下列情况的平衡条件和协调条件如何表述？平衡条件协调条件AFN3N2N1AA注意

建立协调方程时，杆件的伸长或缩短应该与轴力的拉或压相对应。a123aaFA假定1号杆受压673.装配应力

(assemblestress)在加工精确的情况下，两竖杆内部无应力。在加工有误差的情况下强制安装，则两竖杆内部将产生应力。装配应力装配应力构成超静定问题。平衡条件物理条件几何条件求解方法：LbaLbaLba68例

图中两杆的材料和横截面积相同，求两杆中的装配应力。协调条件平衡条件物理条件LbaEAEAEALbaEA

2

1EALbaEAδ2

2

1EALbaEAδ2N1N269装配应力的利用：过盈配合预应力钢筋混凝土混凝土构件采用预应力的处理有什么好处？分析与讨论混凝土和钢筋各有何种预应力？70为什么组装自行车时，总是要用专用工具将幅条上紧？分析与讨论不上紧幅条，将会产生什么后果？71分析与讨论72①FaaaL②例如图的结构中，横梁是刚性的。两杆的弹性模量均为E

，横截面积均为A

。求两杆中的应力。物理条件协调条件Faaa①F②平衡条件（拉）（拉）荷载所引起的的轴力与应力73①F②例如图的结构中，横梁是刚性的。两杆的弹性模量均为E

，横截面积均为A

。求两杆中的应力。如果杆件许用应力为[]，结构的许用荷载为多少？分析与讨论这个结构中，两根杆件的强度都得到了充分利用吗？（拉）（拉）随着外荷载的增加，两根杆中哪一根先达到许用应力？74①aaaL②例如图的结构中，横梁是刚性的。两杆的弹性模量均为E

，横截面积均为A

。求两杆中的应力。①②①②①②平衡条件物理条件（拉）（压）装配的轴力与应力aa①aaaL②①②①②aaa几何条件75①aaaL②①②①②aaa①aaaL②①②①②Faaa例如图的结构中，横梁是刚性的。两杆的弹性模量均为E

，横截面积均为A

。求两杆中的应力。荷载引起的的应力装配引起的应力两根杆件的总应力分析与讨论这个结构的承载能力发生了什么变化？如何使结构的承载能力提高得最多？76①FaaaL②总应力例

如图的结构中，两根杆件许用应力均为

[]

。为使结构的承载能力得到提高，可以把

①

号杆稍为加工得比原长

L

短

。求使得结构承载能力达到最大的

。并求其相应的许用荷载。要使结构的承载能力提高得最多，应使两根杆件的应力同时达到许用应力。许用荷载承载能力提高了16.7%。774.热应力

(thermalstress)自由热膨胀在力和热双重作用下杆件的轴向应变在自由热膨胀条件下，杆件中有应变但无应力。杆件的轴向应变：材料的线热膨胀系数；

T：温度升高量。78约束产生热应力4.热应力

(thermalstress)受约束杆件在温度均匀升高情况下的热应力受约束杆件在温度沿轴向非均匀升