第五章MATLAB基本应用领域课件

第五章

MATLAB基本应用领域5.1符号运算Mathworks公司1993年Maple符号计算工具箱（SymbolicToolbox）1.符号运算入门例：solve('a*x^2+b*x+c=0')还可以是：

x=solve('a*x^2+b*x+c')或者

y='a*x^2+b*x+c'x=solve(y)例：对于数学表达式

合并关于x的同类项symsxy;collect(x^2*y+y*x-x^2-2*x)例：三因式连乘积的展开式

symsx;collect((x^2+1)*(x+2)*(x-3))例：求导数

x=sym('x')diff(cos(x)^2)例：求导数

symsx;diff(cos(x^2))例：计算不定积分

symsx;int(x)例：计算定积分

symsxab;int(x^2,a,b)例：求矩阵行列式的值

symsabcd;p=[ab;cd];det(p)例：解一阶微分方程

symsay;dsolve('Dy=a*y')

例：解一阶微分方程

symsay;dsolve('Dy=a*y')

2.MATLAB符号运算的几个基本概念MATLAB数值运算的操作对象是数值，而MATLAB符号运算的操作对象是非数值的符号对象。（1）符号对象（sym类型）存储代表非数值的字符对象。符号对象可以是符号常量（符号形式的数）、符号变量、符号函数以及各种符号表达式等。（2）创建符号对象

格式1：S=sym(A)格式2：symss1s2s3例：

sym('a')

symsa（3）符号常量

例：对数值量1/8创建符号对象。a=sym(1/8)b=sym('1/8')（4）符号变量

例：a=sym('alpha')

symsalpha（5）符号表达式

符号表达式有两类：符号函数与符号方程。例：用sym和syms建立符号函数symsnxtpTwc;f1=n*x^n/xf2=sym(log(t)^2*t+p)f3=pi+atan(T*wc)f4=sym('w+sin(a*z)')例：用sym建立符号方程e1=sym('a*x^2+b*x+c=0')e2=sym('log(t)^2*t=p')e3=sym('sin(x)^2+cos(x)=0')e4=sym('Dy-y=x')（6）函数命令findsym()确定一个符号表达式中的自变量格式1

findsym(f,n)按数学习惯确定符号函数f中的n个自变量。格式2

findsym(e,n)按数学习惯确定符号方程e中的n个自变量。例：用函数命令findsym()确定符号函数f1,f2中的自变量。symskmnwyz;f=n*y^n+m*y+w;ans1=findsym(f,1)f2=m*y+n*log(z)+exp(k*y*z);ans2=findsym(f2,2)例：用函数命令findsym()确定符号方程e1,e2中的自变量。symsabcxpqtw;e1=sym('a*x^2+b*x+c=0');ans1=findsym(e1,1)e2=sym('2*(sin(p*t+q))=0');ans2=findsym(e2)（7）符号矩阵例：用函数命令sym()来创建符号矩阵m1=sym('[ab

bc

cd;de

ef

fg;hij]');clam1=class(m1)m2=sym('[112;2334]');clam2=class(m2)m3=sym('[ab;cd]*x=0');clam3=class(m3)3.MATLAB符号运算的基本内容（1）符号变量代换及其函数subs()

格式1：subs(S,old,new)

old是符号表达式S中的符号变量，而new可以是符号变量、符号常量、双精度数值与数值数组等。格式2：subs(S,new)

用new置换符号表达式S中的自变量。

例：

已知f=axn+by+k,符号变量替换：a=sint,b=lnw,k=ce-dt;符号常量替换：n=5,k=πk用数值数组替换：k=1:1:4。[解]symsabcdknxywt;f=a*x^n+b*y+kf2=subs(f,[abk],[sin(t)log(w)c*exp(-d*t)])f3=subs(f,[n,k],[5,pi])f4=subs(f,k,1:4)（2）MATLAB符号表达式的化简a.因式分解的函数命令factor()格式：factor(E)factor(sym(N’))—对于大于252的整数的分解例：已知f=x3+x2-x-1，试对其因式分解。symsx;f=x^3+x^2-x-1;f1=factor(f)例：已知试对其因式分解。symsabc;f=a^4*(b^2-c^2)+b^4*(c^2-a^2)+c^4*(a^2-b^2);f1=factor(f)例：已知c=12345678901234567890,试对其进行质因子分解。c=sym('12345678901234567890');factor(c)b.符号表达式展开函数expand()例：用以下MATLAB语句展开：symsxy;f=(x+y)^3;f1=expand(f)c.同类项合并函数collect()格式1.collect(E,v)

将符号表达式E中的v的同幂项系数合并。格式2.collect(E)

将符号表达式E中由函数findsym()确定的默认变量的系数合并。例：symsabcx;f=a*x*exp(-c*x)+b*exp(-c*x);f1=collect(f,exp(-c*x))例：

symsabnxy;f=x^2*y+y*x-a*x^2-b*x;f1=collect(f)

d.符号表达式化简函数simplify()与simple()

格式.

simplify(E)将符号表达式E运用多种恒等式变换进行综合化简。

例：进行综合化简。symsxncalphbeta;e10=sin(x)^2+cos(x)^2;e1=simplify(e10)e20=exp(c*log(alph+beta));e2=simplify(e20)函数simple（）调用格式为：格式1.simple(E)对符号表达式E尝试多种不同的简化算法，以得到符号表达式E的长度最短的简化形式。格式2.[R,HOW]=simple(E)功能同格式1，返回参数R为表达式的简化型，HOW为简化过程中使用的简化方法。例：symsxy;e1=log(x)+log(y)[R1,HOW1]=simple(e1)e2=2*cos(x)^2-sin(x)^2[R2,HOW2]=simple(e2)e3=cos(x)+j*sin(x)[R3,HOW3]=simple(e3)e4=x^3+3*x^2+3*x+1[R4,HOW4]=simple(e4)e5=cos(x)^2-sin(x)^2[R5,HOW5]=simple(e5)e.符合函数的运算与函数命令compose()

设z是y的函数z=f(y),而y又是x的函数y=φ(x),则z对x的函数:z=f(φ(x))叫做z对x的复合函数。求z对x的复合函数z=f(φ(x))的过程叫做复合函数运算。格式为：compose(f,g)

当f=f(x)和g=g(y)时，返回复合函数f((g(y)),即用g=g(y)代入f(x)中的x，且x为函数命令findsym（）确定的f的自变量，y为findsym（）确定的g的自变量。例：symsxtuy;f=log(x/t);g=u*cos(y);cfg=compose(f,g)f.反函数的运算与函数命令finverse()格式1.g=finverse(f)

求符号函数f的反函数g，符号函数表达式f有单变量x，函数g也是符号函数。格式2.g=finverse(f,v)

求符号函数的自变量为v的反函数g例：求函数y=ax+b的反函数。symsabxy=a*x+b;g=finverse(y)例：求函数的反函数。symsxy;f=x^2+y;g=finverse(f,x)4.MATLAB符号微积分运算（1）MATLAB符号极限运算命令limit()格式1.limit(F,x,a)

计算符号函数或符号表达式F当变量x→a条件下的极限值。例：试证明与相等。

clearsymsnx;y1=limit((1+(1/n))^n,n,inf)y2=limit(((2*x+3)/(2*x+1))^(x+1),x,inf)格式2.

limit(F,a)计算符号函数或符号表达式F中由命令findsym()返回的独立变量趋向于a时的极限值。例：试求clearsymsxma;limit(((x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a)),a)格式3.limit(F)计算符号函数或符号表达式F在x=0时的极限。例：试求clearsymsxc=limit(tan(2*x)/sin(5*x))格式4.limit(F,x,a,’right’)计算符号函数或符号表达式F在条件下的极限值。格式5.limit(F,x,a,’left’)计算符号函数或符号表达式F在条件下的极限值。（2）MATLAB符号微分运算函数diff()格式1.

diff(f,’v’,n)

对符号表达式或函数f指定的自变量v计算其n阶导数。格式2.

diff(f,n)功能是对符号表达式或函数f按findsym()命令确定的自变量计算其n阶导数。例：已知函数试求symsatx;f=[at^5;t*sin(x)log(x)];df=diff(f)dfdt2=diff(f,t,2)dfdxdt=diff(diff(f,x),t)

（3）MATLAB符号函数积分运算命令int()格式1.

int(S)

计算符号函数或表达式S对函数findsym()返回的符号变量的不定积分。如果S为常数，则积分针对x.格式2.

int(S,v)

计算符号函数或函数表达式S对指定的符号变量v的不定积分。格式3.

int(S,v,a,b)

计算符号函数或表达式S对指定的符号变量v从下限a到上限b的定积分。格式4.

int(S,a,b)

计算符号函或表达式S对函findsym()返回的符号变量从a到b的定积分。

例：已知导函数求原函数f(x)。symsanx;dfdx=[2*xx^n;1/xa^x];f=int(dfdx)

例：已知函数与求定积分symsabxl=int(sym('1'),x,a,b)symsabxI=int(x^2,a,b)

例：试计算定积分与

symswx;I1=int(2*sin(w)/w,w,0,inf)f=sin(x/2)^6;I2=int(f,x,0,pi)5．MATLAB符号代数方程求解命令solve()对方程所求出的所有解，一定要逐一带回到原方程进行校验。

格式：solve('eqn1','eqn2',...,'equN','v1','v2',...,'vN')例：解方程组在a=1，b=2，c=3时的x，y，z。symsxyzabc;a=1;b=2;c=3;eq1=y^2-z^2-x^2eq2=y+z-aeq3=x^2-b*x-c[x,y,z]=solve(eq1,eq2,eq3,'x','y','z')6.MATLAB符号微分方程求解

格式：S=dsolve('equn1','equn2',...,'初始条件部分','指定独立变量部分')特别规定当y为因变量时，用“Dny”表示“y的n阶导数”。初始条件与分别写成y(a)=b和Dy(c)=d等。独立变量若没有指定的话，则默认小写字母t为独立变量。例：求微分方程组的通解：symsxyt;[x,y]=dsolve('Dx+2*x+Dy+y=t','Dy+5*x+3*y=t^2','t')例：求微分方程组的通解以及满足所给初始条件的特解：求通解：symsxy;[x,y]=dsolve('Dx=y','Dy=-x','t')求特解：symsxyt;[x,y]=dsolve('Dx=y','Dy=-x','x(0)=0','y(0)=1','t')5.2多项式与内插设n阶多项式

p(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

1.多项式表示n阶的多项式p(x)长度为n+1的行向量p。元素为多项式的系数，并按x的幂降序排列，p=[anan-1…a1a0]

。函数poly2sym（p）可将多项式向量p表示成符号形式的多项式。2.多项式的根

roots(p)

计算方程p(x)=0的解。3.特征多项式如果多项式p的根存储在向量r中，那么poly(r)则可从根向量r中恢复多项式p。

矩阵的特征多项式：构造一个矩阵sI-A，并求出该矩阵的行列式，则可得出一个多项式C(s)

C(s)=det(sI-A)=sn+c1sn-1+…+cn-1s+cn

多项式C(s)称为矩阵A的特征多项式，系数ci,i=1,2,…,n称为矩阵的特征多项式的系数。c=poly(A)为求取矩阵A特征多项式系数的函数

4.多项式及多项式矩阵的求值多项式的求值函数polyval()格式：polyval(p,x)

其中x为标量，p=[anan-1…a1a0]为多项式系数降幂排列构成的向量，计算多项式p的自变量为x时，多项式的值。多项式矩阵的求值函数polyvalm()

格式：polyvalm(p,A)

其中A为一个给定矩阵，

p=[anan-1…a1a0]为多项式系数降幂排列构成的向量，命令B=polyvalm(p,A)返回的矩阵B是下面的矩阵多项式的值

B=anAn+an-1An-1+…+a1A+a0I5.多项式卷积和去卷积conv(p,q)

计算多项式p和q的乘积，也可以认为是p和q的卷积。[q,r]=deconv(c,b)

计算多项式c除b。q是商多项式，r是残数（余数）多项式。

6.多项式求导见课本P1667.多项式曲线拟合见课本P1668.部分分式展开见课本P1669.一维内插已知函数y=f(x)在若干点xi的函数值yi=f(xi),i=0,1,…,n

一个插值问题就是求一简单的函数p(x)满足

p(xi)=yi,i=0,1,…,n

则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数或插值原函数，x0,x1,…xn为插值点，p(xi)=yi式为插值条件。多项式内插见课本P167。例：正弦曲线的插值示例。x=0:2:10;y=sin(x);xi=0:0.25:10;yi=interp1(x,y,xi,*spline’);plot(x,y,'o',xi,yi)

5.3范函分析

1.函数在MATLAB中的表示例：functiony=g(x)y=(5.*-6.4)./((x-1.3).^2+0.002)+(9.*x)./(x.^3+0.03)-...(x-0.4)./((x-0.92).^2+0.005);2.数学函数的绘图用plot命令可以画出函数的图形：x=linspace(0,2);%生成向量xplot(x,g(x));%画g(x)图形grid;%画格栅title('Theg(x)function')%给出图标题或者使用fplot命令：fplot('g',[02]);%画g(x)图形grid;%画格栅title('Theg(x)function')%给出图标题3.函数极小值点和零值点（1）fmin命令

求单变量函数的最小值；格式：fmin(‘F’,x1,x2)

fmin(‘F’,x1,x2,options)

fmin(‘F’,x1,x2,options,p1,p2)

（2）fmins命令求多变量函数的最小值，同时它还要求有一个初始向量。格式：fmins(‘F’,x0)

fmins(‘F’,x0,options)（3）fzero命令求单变量函数的零点。格式：fzero('F',x)4.数值积分

常见的一元函数数值积分指令quad自适应辛普森积分sum等宽矩形法求定积分quadl自适应Lobatto积分trapz采用梯形法求定积分quad8牛顿8段积分fnint采用样条函数求不定积分格式：[y,n]=quad('F',a,b,TOL)

[y,n]=quad8（'F',a,b,TOL）

trapz（x,y）

例：用不同的方法来计算积分A．使用trapz命令。x1=linspace(0,1,5);x2=linspace(0,1,10);y1=exp(-x1.^2);y2=exp(-x2.^2);formatlong;intergal1=trapz(x1,y1),intergal2=trapz(x2,y2)B．使用quad命令。functiony=intergrand(x)y=exp(-x.^2)；integralStd=quad('intergrand',0,1)integralTol=quad('intergrand',0,1,0.000001)（2）双重定积分格式：

I=dblquad('F',x_m,x_M,y_m,y_M,TOL)

例：计算二重积分functiony=integrand2(x,y)y=exp(-x.^2-y.^2);

dblquad('integrand2',0,1,0,1)

TheMathWorks公司的网站上免费下载数值积分工具箱（NIT），用其中的函数quad2dggen()来求解（3）inline（）函数

例：求f=inline('1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2)','x')[y,n]=quad(f,-8,8)5.3线形代数1．MATLAB中的矩阵2．向量的范数和矩阵的范数（1）向量的范数是一个标量，用来衡量向量的长度。向量x=[x1,x2,…,xn],则它的p范数定义为

常用的范数p=2时，2范数/欧几里德范数/欧拉范数

函数为norm(x)或norm(x,2)p→∞时，∞范数/最大值范数

函数为norm（x，inf）p=1时，1范数

函数为norm（x，1）如果要求p范数，函数为norm（x，p）norm(x,-inf)

，求向量x的元素的绝对值的最小值。（2）矩阵的范数用来衡量矩阵大小

设A是一个n*n的方阵，则它的p范数定义为：常用的范数p=1时，1范数，即A的列向量之和的最大值，函数为norm(A,1)。p=2时，2范数，即为A矩阵的最大奇异值，函数为norm(A,2)或norm（A）。无穷范数，即A的行向量之和的最大值，函数为norm(A,inf)。3.线性代数方程求解线性方程为AX=B或XA=B：当A为方阵时，解为X=A\B或X=B/A。

当矩阵A非奇异时，线形方程有唯一解；当A奇异时，线形方程的解要么不存在，要么不唯一。当A为（m*n）维矩阵时，如果m>n，超定方程，最小二乘法来求解。如果n＞m，欠定方程组，通常有无穷组解。

例：

A=[111;123],b=[23]’

%则Ax=b为欠定方程

x=A\b数据建模数据建模的两大类方法：一类是插值方法，严格遵从数据；另一类是拟合方法，允许在数据点上有误差，但要求达到某种指标最小化。常用的两种误差指标：一种按照误差向量的∞范数定义，称为一致数据拟合。另一种按照误差向量的2范数定义，称为最小二乘数据拟合。4.矩阵求逆det(A)

求方阵A的行列式。rank(A)

求A的秩。inv(A)

求方阵A的逆矩阵。pinv(A)

求矩阵A的伪逆。

如果A是m×n的矩阵，则伪逆的大小为n×m。

对于非奇矩阵A来说，有pinv(A)=inv(A)。伪逆：如果A与X互为伪逆阵，则有AXA=A、XAX=X、且AX和XA是对称阵。例：A=[123;456;789];rank(A)X=pinv(A)A*X*AX*A*XA*XX*Atrace(A)

求矩阵A的迹，也就是对角线元素之和。[V,D]=eig(A)

返回方阵A的特征值和特征向量。

其中D为A的特征值构成的对角阵，每个特征值对应的V的列为属于该特征值的一个特征向量。

如果只有一个返回变量，则得到特征值构成的列向量。5.LU、QR分解

LU分解：令A=LU，

其中U是一个上三角矩阵，

L是一个带有单位对角线的下三角矩阵。

Ax=b→LUx=b→Ly=b①

Ux=y②若得到L、U两个三角阵后，

y=L\b,x=U\y,即x=U\(L\b)。正交阵：如果方阵A满足AA’=A’A=I。

QR分解：假设A是n阶方阵，那么A就可以分解成A=QR。

其中Q是一个正交矩阵，

R是一个大小和A相同的上三角矩阵。6.矩阵函数根据级数展开定义的

expm(A)

矩阵指数logm(A)

矩阵对数sqrtm(A)

矩阵开方funm(A,’funname’)

任意矩阵函数例如

7.特征值

见课本P1638.奇异值分解奇异值分解：矩阵A，

m*n阶，分解成A=USVT，其中U是m阶正交阵，V是个n阶正交阵，S为如下形式的m*n阶对角阵其对角线元素非负，且降序排列，即。奇异值分解的函数

[U,S,V]=svd(A)病态问题：矩阵中某个参数有一微小的变化将严重影响到原矩阵的参数。

例：

x1=1.220,x2=-0.3084,x3=2.298X1=1X2=1X3=1条件数：矩阵最大的奇异值σmax与最小的奇异值σmin的比值称为矩阵的条件数，记作cond{A}，计算条件数的函数cond(A)。条件数就反映了对参数数据误差的敏感性程度。条件数很大的数值问题即为病态问题。5.5数据分析与统计概率统计的用途气象预报、水文预报、地震预报以及产品的抽样验收研制新产品---进行试验设计和数据处理工程可靠性研究---估计出系统使用的可靠性及平均寿命自动控制原理---给出数学模型通信工程----提高系统的抗干扰性和分辨率

常用的概率统计软件SASMATLAB----StatisticToolbox

注意：MATLAB按列操作的特点，对于要进行数据分析的矩阵，每一列代表一个变量的多个采样值，即列数对应于变量数，行数代表对每个变量的采样点数。1.数据比较max

求随机变量的最大值元素。nanmax

求随机变量的忽略NaN的最大值元素。min

求随机变量的最小值元素。nanmin

求随机变量的忽略NaN的最小值元素。median

求随机变量的中值。nanmedian

求随机变量的忽略NaN的中值。mad

求随机变量的绝对差分平均值。sort

对随机变量有小到大升序排列。sortrows

对随机矩阵按首行进行行排序。range

求随机变量的值范围，即最大值与最小值的差。例：A=[431;862;-301]B=max(A)C=median(A)D=mad(A)E=sort(A)F=sortrows(A)G=range(A)2.简单数学期望和几种均值数学期望

当给定的一组样本值时

mean

求随机变量的算术平均值函数。nanmean

求随机变量的忽略NaN的平均值。geomean

求随机变量的几何平均，即例：A=[123;456;78NaN]B=mean(A)C=nanmean(A)D=geomean(A)例：

求E（x）和