高中数学常用公式大全

整理范本整理范本高中数学常用公式大全1.元素与集合的关系xgAox电CAxgCAox电AUU2.德摩根公式C(AIB)二CAUCB;C(AUB)二CAICB.UUUUUU3•集合｛a,a,L,a｝的子集个数共有2“个；真子集有2“-1个；非空子集有2“-1个；非空12n的真子集有2“-2个.4.二次函数的解析式的三种形式⑴一般式f(x)=ax2+bx+c(a丰0)；⑵顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a丰0)；⑶零点式f(x)=a(x-x)(x-x)(a丰0).125•方程/(x)=0在(k,k?上有且只有一个实根，与f(k)f伙2)<0不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件•特别地，方程ax2+bx+c二0(a丰0)有且只有一个实根在(k,k?)内,等价于2af(k)f(k)<0，或f(k)=0且k<-】<，或f(k)=0且伫当<-】<k.2a12112a2222a26.闭区间上的二次函数的最值二次函数f(x)=ax2+bx+c(a丰0)在闭区间[p,q〕上的最值只能在x=-]处及区间的两端2a点处取得，具体如下：(可画图解决问题)maxmax⑴当a>0时，若x=-[g[p,q[则f(x)=f(—?),f(x)=｛f(p),f(q)｝；maxmaxTOC\o"1-5"\h\z2amin2amaxmaxminminx=-?qlf(x)={f(p),f(q)},f(x)={f(p),f(q)}.maxmaxminmin2a⑵当a<0时，若x=-]g[p,q[则f(x)=min{f(p),f(q)}，若x=-]g[p,q],则2amin2af(x)=max{f(p),f(q)}，f(x)=min{f(p),f(q)}.maxmin7•真值表

pq非pP或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假8.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（n-1）个小于不小于至多有n个至少有（n+1）个对所有x,成立存在某x,不成立p或q~>p且—>q对任何x,不成立存在某x,成立p且q或F四种命题的相互关系充要条件（1）充分条件：若pnq，则p是q充分条件.（2）必要条件：若qnp，则p是q必要条件.（3）充要条件：若pnq，且qnp，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.函数的单调性⑴设x-xwta,b]x丰x那么1212(x一x)[f(x)一f(x)]>0of(xi)_f(“2)>0of(x)在L,b]上是增函数；1212x-x12(x一x)[f(x)一f(x)]<0of(xi)_f(x2)<0of(x)在L,b]上是减函数.1212x一x12⑵设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)>0，则f(x)为增函数;如果f'(x)<0，则f(x)为减函数.如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是减函数;如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=f[g(x)]是增函数.13．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.14.两个函数图象的对称性⑴函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.⑵同底的指数和对数函数互为反函数，图像关于直线y=x对称。15.几个函数方程的周期(约定a>0)f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期15.几个函数方程的周期(约定a>0)16.分数指数幂m1(1)an=(a>0,m,ngN*，且n>1).n'amm1(2)a一n=——(a>0,m,ngN*，且n>1).man17．根式的性质Ia,an0(2)当n为奇数时，nan=a；当n为偶数时，nan=|al-a,a<018．有理指数幂的运算性质

⑴ar•as=ar+s(a>0,r,sgQ).⑵(ar)s=ars(a>0,r,sgQ).⑶(ab)r=arbr(a>0,b>0,rgQ).注：若a>0,p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数•上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.19.指数式与对数式的互化式logN=boab=N(a>0,a丰1,N>0)a20.对数的换底公式logNlogN=m(a>0，且a丰1,m>0，且m丰1,N>0).alogamn推论logbn=logb(a>0，且a>1,m,n>0，且m主1,n主1,N>0).amma21•对数的四则运算法则若a>0,aMl,M>0,N>0,则⑴log(MN)=logM+logN；aaa⑵logM=logM-logN；aNaa(3)logMn=nlogM(ngR).aa22.数列的同项公式与前n项的和的关系a=F「"1(数列｛a｝的前n项的和为s=a+a+L+a).TOC\o"1-5"\h\zn[s—s,n>2nn12nnn-123.等差数列的通项公式其前n项和公式为sna=a+(n—1)d=dn+a—23.等差数列的通项公式其前n项和公式为snn11n(a+a)n(n—1),d,11l=na+d=—n2+(a——d)n212212.24•等比数列的通项公式a=aqn—1=•qn(ngN*)-1q其前n其前n项的和公式为sna—aqTn,q丰11-qna,q=11a(1—qn)“，q丰na,q=11=<na,q=1125.同角三角函数的基本关系式sin29+cos29=1,tan0=sin》,cos0正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限和角与差角公式sin(a±P)=sinacosP土cosasinP；cos（a±P）=cosacosPmsinasinP；tana±tanPtan（a±P）=1mtanatanPasina+bcosa=\a2+b2sin（a+p）b（辅助角p所在象限由点ab）的象限决定，tan申=—）.a二倍角公式sin2a二sinacosa.cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.2tanatan2a=.1-tan2a三角函数的周期公式3>0)的周期函数y=sin（①x+p）,x€R及函数y=cos@x+p）,x€R（A,3,P为常数，且3>0)的周期2kT=——；①，函数y=tan@x+p）,x丰kK+2,keZ（a,3,P为常数，且Am0,3>0）的周期T2abc正弦定理===S=—S=—absinC=—bcsinA=—casinBsinAsinBsinC余弦定理a222=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC.222面积定理（〔）S=ah=—bh=ch（h、h、h分别表示a、b、c边上的高）.2a2b2cabc三角形内角和定理在厶ABC中，有A+B+C=兀C=兀一(A+B)sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)实数与向量的积的运算律设尢、卩为实数，那么⑴结合律：尢@a)=(和)a;⑵第一分配律：(尢+^)a=Xa+ya;⑶第二分配律：Ua+b)=^a+尢b.向量的数量积的运算律：(1)a•b=b•a(交换律)；⑵(九a)•b=九(a•b)=九a•b=a•(九b);(a+b)•c=a•c+b•c.平面向量基本定理如果e「e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数尢、尢，使得a=Xe+Xe.121122不共线的向量e「e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.向量平行的坐标表示设玄=(x,y),b=(x,y)，且b丰0,则aPb(b丰0)oxy-xy二0.11221221a与b的数量积(或内积)a•b=|a||b|cosO.a•b的几何意义数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积.平面向量的坐标运算⑴设a=(x,y),b=(x,y)，则a+b=(x+x,y+y).11221212⑵设a=(x,y),b=(x,y)，则a-b=(x-x,y-y).11221212uuuruuuruuur⑶设A(x,y),b(x,y)，则AB=OB—OA=(x-x,y—y).11222121设玄=(x，y),九eR,则九a=(九x,九y).⑸设a=(x,y),b=(x,y)，则a•b=(xx+yy).11221212两向量的夹角公式xx+yy.、.、cos9=上三匕2(a=(x,y),b=(x,y)).x2+y2-x2+y211221122

平面两点间的距离公式uurruuruurd=IAB1=AB-ABA,Bp)2+(y2-*2(AW，*,BW，打)•向量的平行与垂直<a=(X1,W，b=(X2,U)，且b丰°，则A||bOb=Xaoxy一xy=01221a丄b(a丰0)oa•b=0OXX+yy=01212三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为A（x,y）、B（x,y）、C（x,y）,则厶ABC的重心的坐标是112233x+x+x+xG(23y+y+y2）3)O2）3)O为AABC的垂心OuuuruuuruuuruuuruuuruuurOA-OB=OB-OC=OC-OA三角形四“心”向量形式的充要条件设0为^ABC所在平面上一点，角A,B,c所对边长分别为a,b，c,则uuuruuuruuur(1)0为AABC的外心oOA2=OB2=OC2.uuuruuuruuurrO为AABC的重心OOA+OB+OC=0uuuruuuruuurr(4)O为AABC的内心oaOA+bOB+cOC=0.常用不等式：⑴a,beRna2+b2>2ab(当且仅当a=b时取“二”号).⑵a,beR+n^2^>\：ab(当且仅当a=b时取“二”号).2(3)a3+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).⑷|a|—bJ|a+b\<|a|+|b|均值定理已知x，y都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值2\帀；（2）若和x+y是定值s，则当x二y时积xy有最大值-s2.449.一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）（a丰0,&=b2一4ac>0），如果a与ax2+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x<x<xo（x一x）（x一x）<0（x<x）；121212x<x,或x>xo(x一x)(x一x)>0(x<x)121212含有绝对值的不等式当a>0时，有|x<aox2<a2o-a<x<a.x>aox2>a2ox>a或x<一a.指数不等式与对数不等式当a>1时,af(x)>ag(x)of(x)>g(x);f(x)>0logf(x)>logg(x)o(g(x)>0aa、f(x)>g(x)当0<a<1时,af(x)>ag(x)of(x)<g(x);logf(x)>logg(x)o]g(x)>0aaf(x)<g(x)52..斜率公式k二厶一yi(P(x,y)、P(x,y)).x-x1112222153.直线的五种方程点斜式y-y二k(x-x)(直线l过点P(x,y)，且斜率为k).斜截式y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距).3)两点式y-yx-x4二4(y丰y)(P(x,y)、P(x,y)(x丰x)).y-yx-x12111222122121xy(4)截距式+丁=1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b丰0)ab(5)—般式Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0).54.两条直线的平行和垂直(1)若/:y=kx+b，/:y=kx+b111222①/111ok二k,b丰b121212;②1丄1okk=-l.1212⑵若1:Ax+By+C=01:Ax+By+C=0且A、A、1111222212B2都不为零,ABC①1||1O1=1丰1；12ABC222②1丄1oAA+BB二0；12121255．四种常用直线系方程⑴定点直线系方程：经过定点P(x°,y°)的直线系方程为y-y°二k(x-x°)(除直线x二x°)，其中k是待定的系数；经过定点P(x°,y°)的直线系方程为A(x-x°)+B(y-y°)二0，其中A,B是待定的系数．⑵共点直线系方程：经过两直线1:Ax+By+C二0,1:Ax+By+C二0的交点的直线系方11112222程为(Ax+By+C)+九(Ax+By+C)二0(除1)，其中尢是待定的系数.1112222⑶平行直线系方程：直线y=kx+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程•与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+九=0(九丰0)，尢是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0(Amo,BMO)垂直的直线系方程是Bx-Ay+九=0,尢是参变量.点到直线的距离|Ax+By+C|d二00(点P(x,y)，直线l:Ax+By+C=0).JA2+B200Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域设直线l:Ax+By+C=0，则Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域是：若B丰0，当B与Ax+By+C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax+By+C异号时，表示直线1的下方的区域•简言之，同号在上，异号在下.若B=0，当A与Ax+By+C同号时，表示直线1的右方的区域；当A与Ax+By+C异号时，表示直线1的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0或<0所表示的平面区域设曲线C:(Ax+By+C)(Ax+By+C)=0(AABB丰0)_则1112221212(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0或<0所表示的平面区域是：(Ax+By+C)(Ax+By+C)>0所表示的平面区域上下两部分；(Ax+By+C)(Ax+By+C)<0所表示的平面区域上下两部分.圆的四种方程圆的标准方程(x一a)2+(y一b)2二r2.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).60•点与圆的位置关系点P(xo，yo)与圆(x—a)2+(y—b)2二r2的位置关系有三种若d={(a-x°)2+(b-托)2，则d>ro点P在圆外;d=ro点P在圆上;d<ro点P在圆内.直线与圆的位置关系直线Ax+By+C=0与圆(x—a)2+(y—b)2二r2的位置关系有三种：d>ro相离oA<0；d=ro相切oA=0；d<ro相交oA>0.|Aa+Bb+C其中d=丨，.■vA2+B2两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O,O,半径分别为r，r，\°0|=d1212112d>r+ro外离o4条公切线；12d=r+ro外切o3条公切线；12|r-rI<d<r+ro相交o2条公切线；‘12’12d=|r-r|o内切o1条公切线；0<d<|r-[Io内含o无公切线.椭圆的标准方程及简单的几何性质64．椭圆的的内外部x2y2x2y2(〔)点p(x,y)在椭圆—+—=1(a>b>0)的内部o—+—<1.00a2b2a2b2x2y2x2y2(2)点p(x,y)在椭圆+~—=1(a>b>0)的外部o—+&>1.00a2b2a2b2双曲线的内外部TOC\o"1-5"\h\zx2y2x2y2⑴点p(x,y)在双曲线—一一=l(a>0,b>0)的内部Of—°>1.00a2b2a2b2x2y2x2y2⑵点P(x,y)在双曲线=1(a>0,b>0)的外部Of—°<1.00a2b2a2b2双曲线的方程与渐近线方程的关系x2y2x2y2b(1)若双曲线方程为—一一=1=渐近线方程：—一一=0Oy=+—x.a2b2a2b2abxyx2y2⑵若渐近线方程为y=+-xO±〒=0n双曲线可设为——一厂=九•aaba2b2⑶若双曲线与二一乙=1有公共渐近线，可设为二一二=入(九〉0，焦点在X轴上，a2-2a2-2九<0，焦点在y轴上).67.抛物线y2=2px的焦半径公式抛物线y2=2px(p>0)焦半径CF=x0+-p.2过焦点弦长|cd|=x++x+=x+x+P.12221268•抛物线y2=2px上的动点可设为P([,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y)，其中y2=2px.2pooooo69.抛物线的内外部⑴点P(x°,y°)在抛物线y2=2px(p>0)的内部oy2<2px(p>0).点P(x°，yo)在抛物线y2=2px(p>0)的外部oy2>2px(p>0).⑵点P(x°,y°)在抛物线y2=-2px(p>0)的内部oy2<-2px(p>0).点P(x°，yo)在抛物线y2=-2px(p>0)的外部Oy2>-2px(p>0).⑶点P(x°,y°)在抛物线x2=2py(p>0)的内部Ox2<2py(p>0).点P(x°，yo)在抛物线x2=2py(p>0)的外部Ox2>2py(p>0).(4)点P()在抛物线x2二2py(p>0)的内部ox2<2py(p>0).点P(x°,y°)在抛物线x2=—2py(p>0)的外部ox2>-2py(p>0).70•直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|=x—x)2+(y—y)2或AB二pl+k2x—x|：1+—|y—yI12Hk2I12(弦端点A(x,y),B(x,y)，由方程］消去y得到ax2+bx+c=0，A>0,a为直1122〔F(x,y)二0线AB的倾斜角，k为直线的斜率).71．证明直线与直线的平行的思考途径转化为判定共面二直线无交点；转化为二直线同与第三条直线平行；转化为线面平行；转化为线面垂直；转化为面面平行.72．证明直线与平面的平行的思考途径转化为直线与平面无公共点；转化为线线平行；转化为面面平行.73．证明平面与平面平行的思考途径转化为判定二平面无公共点；转化为线面平行；转化为线面垂直.74．证明直线与直线的垂直的思考途径转化为相交垂直；转化为线面垂直；转化为线与另一线的射影垂直；转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径转化为该直线与平面内任一直线垂直；转化为该直线与平面内相交二直线垂直；转化为该直线与平面的一条垂线平行；转化为该直线垂直于另一个平行平面；转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.75．证明平面与平面的垂直的思考途径

(1)转化为判断二面角是直二面角；(2)转化为线面垂直.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律⑴加法交换律：a+b=b+a.(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).⑶数乘分配律：Ua+b)=M+尢b.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bMO),a//bO存在实数尢使a=Xb.uuuruuuruuuruuuruuurP、A、B三点共线oAPIIABoAP=tABoOP=(1-1)OA+tOB.uuuruuruuuuruuurABIICDoAB、CD共线且AB、CD不共线oAB=tCD且AB、CD不共线.78•球的半径是R,则4其体积v=3兀R3,其表面积S=4兀R2.79.柱体、锥体的体积=1Sh(S是柱体的底面积、h是柱体的高).柱体3=-S