《函数模型及其应用》

函数模型及其应用一、几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数模型y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠1，α≠1)分段函数模型f(x)＝二、应用函数模型解决问题的基本过程2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有1个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(

)A．y＝2x

B．y＝2x－1C．y＝2x D．y＝2x＋1【解析】分裂一次后由1个变成2个，分裂两次后2×2＝22个，……，分裂x次后y＝2x个．【答案】

C3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(

)A．300只 B．400只C．600只 D．700只【解析】将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.【答案】

A预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中问题1问题2问题3问题4(1)据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(

)A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)(2)渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．①写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；②求鱼群年增长量的最大值．【解析】

(1)由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．2．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数模型后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费．【思路探究】由收费标准可知，水费与用水量之间存在两种不同对应关系，所以应分类讨论，建立分段函数模型．1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起．已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地．(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．【解】

(1)①汽车由A地到B地行驶th所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)．它的图象如图(1)所示．(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？1．有关对数函数的应用题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．2．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基数，p为增长率，x为时间)的形式．本题中为了达到比较理想的睡眠环境声强I的取值范围是什么？1．解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系，分析函数的性质，从而解决问题．解决问题时要注意自变量的取值范围．2．(1)解应用题的一般思路可表示如下：

(2)解应用题的一般步骤：①读：阅读并理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础；②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键；③解：求解数学模型，得到数学结论，既要充分注意数学模型中字母的实际意义，也要注意巧思妙解，优化过程；④答：将数学结论还原为实际问题的结论．拟合函数模型的建立与应用

(12分)某企业常年生产一种出口产品，自2010年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2010年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出2010～2013年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2014年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2014年的年产量为多少？∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化.8分(3)根据所建的函数模型，预计2014年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2014年的年产量为7万件.12分函数拟合与预测的一般步骤是：(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．[类题尝试](2014·安徽师大附中期中)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)