（新教材）【人教A版】（数学） 优质课比赛一等奖

1.4.2

充要条件

充要条件(1)定义:若p⇒q且q⇒p,则记作p⇔q,此时p是q的充分必要条件,简称充要条件.(2)条件与结论的等价性:如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.(3)概括:如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.【思考】(1)符号“⇔”的含义是什么?提示:“⇔”表示“等价”,如“A与B等价”指的是“如果A,那么B”,同时有“如果B,那么A”,或者说“从A推出B”,同时可“从B推出A”.(2)命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类?提示:①充分必要条件(充要条件),即p⇒q且q⇒p.②充分不必要条件,即p⇒q且qp.③必要不充分条件,即pq且q⇒p.④既不充分又不必要条件,即pq且qp.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立. (

)(2)若pq和qp有一个成立,则p一定不是q的充要条件. (

)(3)若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的充要条件. (

)提示:(1)√.当p是q的充要条件时,p⇒q,且q⇒p,故说成q成立当且仅当p成立,这种说法正确.(2)√.若pq或qp,则p不是q的充分条件,或p不是q的必要条件,故此说法正确.(3)√.因为p⇔q,q⇔r,所以p⇔r,所以p是r的充要条件.2.“a+b<0”是“a<0,b<0”的

(

)A.充分而不必要条件B.充要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当a与b异号且负数绝对值大时,也有a+b<0,所以“a+b<0”

“a<0,b<0”,显然“a<0,b<0”⇒“a+b<0”,所以“a+b<0”是“a<0,b<0”的必要而不充分条件.3.点P(x,y)是第二象限的点的充要条件是 (

)A.x<0,y<0 B.x<0,y>0C.x>0,y>0 D.x>0,y<0【解析】选B.第二象限的点横坐标小于0,纵坐标大于0,所以点P(x,y)是第二象限的点的充要条件是x<0,y>0.类型一充要条件的判断【典例】1.“b2=ac”是“成立”的 (

)A.充分而不必要条件B.充要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】1.选C.b2=ac,如b=0,c=0时,b2=ac,而无意义.但⇒b2=ac,所以“b2=ac”是“

”的必要不充分条件.2.下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1)p:x≠0,q:x+|x|>0(2)p:关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解;q:a>0(3)p:ab>0,a,b∈R;q:|a+b|=|a|+|b|(4)p:c=0;q:y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点【解析】(1)因为由x≠0推不出x+|x|>0,如x=-1时,x+|x|=0,而x+|x|>0,所以pq,所以p不是q的充要条件(2)若关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,则a≠0,所以pq,所以p不是q的充要条件(3)因为a=0时,也有|a+b|=|a|+|b|,所以qp,所以p不是q的充要条件.(4)当c=0时,函数y=ax2+bx的图象经过原点;当y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点时,0=a×02+b×0+c,所以c=0,所以p⇔q,所以p是q的充要条件.【类题·通】从命题角度判断p是q的充分必要条件(1)原理:判断p是q的充分必要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.(2)方法:①若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;②若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;③若二者都成立,则p与q互为充要条件.【习练·破】下列各题中,哪些p是q的充要条件?(1)p:x2=3x+4;

q:x=.(2)p:a是自然数;

q:a是正数.(3)p:a=1;

q:a的倒数是其本身.(4)p:点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等;q:a=1或a=0.【解析】(1)当x=-1时,x2=3x+4,但是x==1。所以pq,所以p不是q的充要条件.(2)0是自然数,但是0不是正数,所以pq,所以p不是q的充要条件.(3)倒数是其本身的有±1,所以qp,所以p不是q的充要条件.(4)当a=1时,点P(1,1)到两坐标轴距离相等,当a=0时,点P(2,-2)到两坐标轴距离相等,当点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等时,|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.所以p⇔q,所以p是q的充要条件.【加练·固】下列各题中,哪些p是q的充要条件?(1)p:x=y;q:(2)p:∠1=∠2;q:∠1与∠2是对顶角.(3)p:反比例函数y=的图象在第二、四象限;q:m<5.(4)p:a>;q:a≥1.【解析】(1)当a=0时,pq,所以p不是q的充要条件.(2)对顶角相等,但相等的角不一定是对顶角,所以pq,所以p不是q的充要条件.(3)反比例函数y=的图象在第二、四象限⇔m-5<0⇔m<5,所以p是q的充要条件.(4)当a=-时,a>,所以pq,所以p不是q的充要条件.类型二充要条件的证明【典例】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 【思维·引】从充分性和必要性两个方面进行证明.【证明】设p:a+b+c=0;q:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,(1)充分性(p⇒q):因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1,(2)必要性(q⇒p):因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.【素养·探】在与充要条件的证明有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过命题真假的证明,判断充分、必要条件,提高分析、推理、论证的能力.将本例的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”,“a+b+c=0”改为“ac<0”,如何证明?【证明】设p:ac<0;

q:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,(1)充分性(p⇒q):因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,由根与系数关系可知这两个根的积为<0,所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根.(2)必要性(q⇒p):因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,由根与系数的关系可知这两个根的积为<0,所以ac<0.由(1)(2)可得,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.【类题·通】充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒:证明时一定要注意,分清充分性与必要性的证明方向.【习练·破】已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:xy>0是的充要条件.【证明】设p:xy>0;

q:.(1)充分性(p⇒q):由xy>0及x>y,得

(2)必要性(q⇒p):由,得<0,即<0,又由x>y,得y-x<0,所以xy>0.由(1)(2)可得,xy>0是的充要条件.【加练·固】求关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要件.【解析】①当a=0时,解得x=-1,满足条件;②当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号实根,则a<0;若方程有两个负的实根,则必须满足解得0<a≤.综上,若方程至少有一个负的实根,则a≤.反之,若a≤,则方程至少有一个负的实根.因此,关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤.类型三用集合观点解充分条件、必要条件问题【典例】1.已知p:点M(1-a,2a+6)在第四象限,q:a<1,则p是q的 (

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为点M(1-a,2a+6)在第四象限,所以解得a<-3.因为{a|a<-3}{a|a<1},所以p⇒q,qp,所以p是q的充分不必要条件.2.已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件,即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},故有解得m≤3.又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}.【素养·探】在用集合观点解充分条件、必要条件的问题中,经常利用核心素养中的直观想象,通过研究充分条件和必要条件与集合的关系,培养借助集合解决问题的能力.将本例2的“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).因为p是q的充分不必要条件,设p代表的集合为A,q代表的集合为B,所以AB.所以解不等式组得m>9或m≥9,所以m≥9,即实数m的取值范围是{m|m≥9}.【类题·通】从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B,