2021考研数学（二）真题答案

2021考研数学试卷答案速查（数学二）

一、选择题

(1)(C)(2)(D)(3)(C)(4)(A)(5)(D)

(6)(C)(7)(B)(8)(B)(9)(D)(10)(C)

二、填空题

,、12

(11)(12)(13)1

In33

712C2cos^x+C3sin^x

(14)—cos—(15)y=CjC*+e2

2兀

(16)—5

三、解答题

1+£e'dt^\x\x-ex+1

⑴）【解析】原式已吧（2分）

(e'-l)sinx

qin—'+lsinxferdt

limsne+1+.―211——（4分）

I。(e*—1)sinx-。(eA-1)sinx

X+o(x“)+1-1+X+~)['e'2dt

=limJ+lim^---（-7-分）

x->0x~X

—；炉+心2）

+lime*'(9分)

=lim2

XA->0

（10分）

-2

2x+x2

x<02

x<0

(1+X)3'

（18）【解析】/'（%）=<0,x=0,f"(x)=<.(4分)

2

2x+x2x>0

x>0(1+4'

(1+4'

凹区间：（一8,-1）2（0,+8）；凸区间：（-1,0）（6分）

limf(x)=lim—―=8,垂直渐近线：x=-l.（7分）

x+lx"1+x

../（x）..X211.「//、1X2-X-X21/c八、

hm----=hm-------=I,hm[f（x）-x]=hvm----------=-l,（9分）

X->+8XXf+8+元）Xf+8L」+81+x

f（x）r~x2r2*/\iv—f+x+J

lvim----=lim-------=-1,vlimIf（x）+xI=lim------------=1,（11分）

00

37xSFx（l+x）a-XT-001+x

斜渐近线：y=%—1和y=—X+1.（12分）

121

（19）【解析】等式左右两边对x求导，华=,x-l,（2分）

/（X）=_X2_X2

63

长度s-J：11+f2（x）dx=J：J1+g"—dx=i\2

1

H--X5公（5分）

2

9（111--I（19-]22

=rf±*2+上x2心=上三+%2=三.°分）

林22广13儿3

面积A=J；21f（x"l+f2（x）dx=J：fl2>

2M-x2-x2dx（10分）

3

二万『42.2"1卜=/、3425

-x2+x

3J——乃.（12分）

3厂（949

（20）【解析】（1）求解微分方程：y'--y=~-,（1分）

XX

Jxr66=C?+1,（4分）

则：y=e匕J，dx+C=x

且y（g）=10,故：y（x）=；f+i,（犬＞0）.（6分）

（2）设p点的坐标为：（x,y）,法线：Y-y=——（X-x）,

y'（x）

过p点的法线方程为：Y-y=一一!（X-x）,（8分）

2x

X=o时，y轴上的截距：/0=y=」T+y='7+!x6+],（9分）

2x2x3

9

令/［二一2+2炉=0,得驻点：x=l,唯一的极值点为最值点，（11分）

1x

4

则/〃最小时，p的坐标为（12分）

(21)【解析】Jjxydxdy=,厂cose.rsin6/dr=Icossinr,dr

1o

D".

(6分)

=1J：cosesin夕cos220dO=1『sin2夕cos220d0(9分)

JT

=---Fcos?2。4cos26=----cos326=—.(12分)

16Jo48048

(22)【解析】

2-2-10

\AE-A\=-12-20=(2-/?)[(2-2)2-1]=(2-/?)(2-3)(2-1)=0(2分)

-1-aA-b

(1)当Z?=l时,4=4=1,4=3,A相似于对角矩阵，则r(E—A)=l,a=l(4分)

-10、'T-10、

(E-A)=-1-10f000

、T—a0,、000/

-10、'11-2、

(3E—A)=-110-»01-1

、TT2J、000；

(、

令可逆矩阵2=(',。2，。3)，使得pTAP=A=1.(7分)

、3,

(2)当力=3时，4=4=3,4=1,A相似于对角矩阵，则厂(3E—A)=l,。=一1(9

分)

-10、1-10、rn0

(3E—A)10000,4=1,庆=0

—CI0,000J1

0-12、-1\

(E-A)=001i，A1

oj

-2,001

7

’3、

令可逆矩阵尸=（4,乩,网），使得P-AP=A=3.（12分）

2021研究生入学考试考研数学试卷(数学二)

一'选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，

只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纲指定位置上.

1.J。'(e''是/的

(A)低阶无穷小(B)等价阶无穷小(C)高阶无穷小(D)同阶但非等价无穷

小

【分析】本题考查无穷小阶的判定，考生需熟练掌握常见的等价无穷小公式以及变限积分求

导。

【答案】(C)

【解析】作商并取极限：

「J；(e"T)d，(产〜臼2/

lim----------------=lim-----------------=lim――=(),

x->0JQ.r->0x->0元。

故分子是分母的高阶无穷小.选Co

ev-l

-------xw0n

2./(x)=x'在x=0处

1,x=0

(A)连续且取得极大值(B)连续且取得极小值

(C)可导且导数为零(D)可导且导数不为零

【分析】本题考查连续、可导的判定，考生需熟练掌握连续、可导的定义式，以及极值存在

的充分条件.

【答案】(D)

【解析】八0)=1而)⑴—/⑼=lim」——=lim'一一=1而三」;可导自

X->0XA->0XXT。XXT°X2

然连续;选D

3.有一圆柱体，底面半径与高随时间的变化率分别为2cm/s,-3cm/5,当底面半径为

10cm,高为5c机时，圆体的体积与表面积随时间的变化速率为

(A)125Ttem31s,4Qncm2/s(B)1ISncrn,/s,-40ncm2/s

(C)—IOOHCAH3/5,407icm2/s(D)—lOOnc/n3/s,—40ncm2/s

【分析】本题考查导数的物理应用，考生需要熟练掌握基本的求导公式、圆柱体的体积、表

面积公式。

【答案】(C)

【解析】设体积及表面积分别为

V=7tr2h,S=2nrh+2nr2,

且有*嗒7

所以当/■=l(),/i=5时，有

dV<.dr2%dS.(.drdhodr)

dtIdtdt)dtIdtdtdt)

【典型错误】计算圆柱体的表面积时，容易忽略上、下底面的面积.

4.函数/(幻=办一人111%(4>())有2个零点，则2的取值范围是

a

<(1、

(A)(e,+oo)(B)(0,e)(C)0,—(D)—,+oo

【分析】本题考查函数零点的个数，需结合函数的单调性以及极值.

【答案】(A)

【解析】设/(x)=or—〃山羽/'(工)=。一上b=0,得驻点x=h—。

xa

又山11/(%)>0,山11/(%)>0只需/昌<。即摩)=6-6。2<0,所以ln)>l,故

x”aaaa

b

—>e.

a

5.设函数/(x)=sec%在x=0处的2次泰勒多项式为l+ov+h/,则

(A)a=1,Z?=—■-(B)a=\,b=^-(C)a=0,b=—■-(D)a=0,b=—

2222

【分析】本题考查在x=0处的泰勒展开式，考生需熟练掌握常用的泰勒展开式.

【答案】(D)

【解析】因为secx为偶函数，所以。=0。

rnI../^(x)—1—CIX—hx2r/日

另由----5-------=0可得

XT。X

「f(x)-l-ax-bx2「secx-1-1-cosx,1,

lim---------z-------=lim---------b7=lim—z-------b=—b,

DX1。X1。XCOSX2

所以

2

6.设函数f(x,y)可微，且/(x+l,e*)=x(x+l)2,/(x,x2)=2x2]nx,则()

(A)dx+dy(B)dx-dy

(C)dy(D)一dy

【分析】本题考查多元函数求偏导，并且是复合函数中的抽象函数求偏导，考生需熟练掌握

利用链式法求复合函数的偏导数.

【答案】(C)

【解析】由/(x+1,e*)=(x+Ine*,/(x,/)=/In/可知/(x,y)=/Iny；

Y~2

因此工'(1,0)=2幻"心=0,/；(l,0)=—=1,

y(i.o)

=Odx+Idy=dy.

7.设函数/(x)在区间［0,1］上连续，则J；/(x)dx=

(A)(B)limt/fM1

I2〃J2〃I2n)n

©lim巧传平⑴)的次/目2

"f8H\2n)n"―合12鹿"

【分析】本题考查数列求和求极限，并结合定积分定义.

【答案】(B)

(解析］用特值法，令/(%)=1,则『/(x)dx=1；

JO

n2k_11111

选项(A),=/!•—=-,排除；同理，选项(B)为“」=1；

—M2n2nIn2n

12

选项(C)为2〃」=2,排除；选项(D)为2〃2=4排除；所以选择(B).

nn

1人—］攵

方法二:将区间［0,1］〃等分，每一块长度均为其中第女块小区间为——，一，取区间的

nnn

〃一1

中点为短=9-，由定义积分定义可知：

2n

lim力/(盘)工=lim£/(与平=£/(X)"，

"f8MnI2〃)nJo

故选B.

2k-l\1

A选项:

"T8M2n

D选项:lim£/=2f2f(x)dx.

〃T0°M\2n)nJo

22

8.二次型f(x„x2,x3)=(X,+X2)+(X2+X3)一(七-X1)2的正惯性指数和负惯性指数分

别为

(A)2,0(B)1,-1(C)2,1(D)1,2

【分析】本题考查二次型的正负惯性指数，考生需熟练掌握如何判定可逆的线性变换，并求

二次型的标准形.

【答案】(B)

【解析】二次型/(内,々,％3)=知+8%2+4七+5不，从而二次型矩阵

’01r

A=121，求其特征值日后一4|=(/1+1)(/1—3)/1=0,特征值分别为0,—1,3,故正负

J1oj

惯性指数分别为1,-1.

【典型错误】将原题看成已经完成配方的标准形，未判定是否为可逆的线性变换.

9.设3阶矩阵4=(%02，。3)，6=(月，河,用)，若向量组可以由向量组

片,耳,£3线性表示，则

(A)Ax=0的解均为&=0的解(B)4彳=0的解均为5々=0的解

(C)Br=0的解均为Ar=0的解(D)57%=0的解均为47'彳=0的解

【分析】本题考查向量组的线性表示，方程组解的关系，考生需熟练掌握线性表示对应的方

程组形式、秩的关系.

【答案】(D)

【解析】因为向量组a?,4可以由向量组用，尸2,同线性表示，所以存在三阶矩阵P，

使得A=BP,故*=

设存在向量a使得5丁。=0,那么

ATa=PTSra=0,

所以5Tx=0的解均为ATX=0的解.

101、

10.已知矩阵A2-11,若三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使得PAQ为

(T2-5J

对角矩阵，则尸、Q分别取

(\00、(\0n100I00、

(A)010013(B)2-10010

00b00-32100

(100、(\o010012—3、

(C)2-10,'013(D)01002

2

1一3JI00b13101J

【分析】本题考查初等矩阵的应用：左行右列，结合矩阵乘法运算.

【答案】(C)

【解析】此题涉及矩阵的标准形，考纲并不涉及这个知识点，因此可采取特值法.将选项代入,C

选项成立：

二'填空题：11〜16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题里指定位

置上.

11.[卜13_tdr=________.

J-co

【分析】本题考查反常积分的计算，结合定积分的凑微分法，考生需熟练掌握常用的凑微分

公式.

1•+002广内2c2■I

【解析】原式=2fx3-vdx=[3"d(-x2)=-3-?—.

。Jn

Jln30In3

12.设函数y=y(x)由参数方程1x=2e'+f+l则到=__________

y=4(r-l)e,+r-dr1。

【分析】本题考查参数方程求导，考生需熟练掌握参数方程求一阶导、二阶导.

2

【答案】-

3

_dy/dt_4e'+4(t-l)e'+2t4fe'+2f3

【解析】—;——=2z,所以

drdLv/dr2e‘+12e'+l

d⑵)/df2

dr/df3

f=0

13.设函数z=z(x,y)由方程(x+l)z+Inz-arctan(2Ay)=1确定则

dz

豕-------------,

3(0,2)

【答案】1

【分析】本题考查多元函数求偏导，考生需熟练掌握隐函数求导法则.

【解析】由题可知z(0,2)=l,由隐函数的求导法则:

z.2)

dz=_《1+4丁/

1。

dx(0,2)F；(x+D+l—0

z(0.2)

71

14.已知函数/⑺寸或sin；dy,则尸

7

【分析】本题考查变限积分求导，结合二重积分交换积分次序，定积分计算.

【解析】由于二重积分中的积分限均包含变量，，由此交换积分次序可得

sin—dro

y

“2y

所以根据二重积分求导有广⑺=[sin-dr,即:

Jit

7T

兀2x471兀2、712

fsin-xdx=——cos——cos——cos—=——cos——©

712711222兀

15.求解微分方程V"-y=0的通解

【分析】本题考查高阶常系数齐次线性微分方程求解，考生需熟练掌握常系数齐次线性方程

的通解结构.

【解析】特征方程为万—1=0,g|J(/l-l)(22+2+l)=0,解得

2._-l±V3_1+6.

4=1,4,3=-"3-=~2±^1°

cos冬+Gsin

故通解为丁=。户'+屋5'(。2

Xx2x

1X2-1

16.求多项式/(x)=中/项的系数为—

21x1

2-1x

【答案】-5

xx12x

上1X2-1

【解析】/(x)=2~生成(一1严321)4%3=—4/；

x1

2-11X

Xx12.v

1r2-1

/（九）=2，生成（一1）'⑵

2-11x

最终Y项的系数为—5。

三'解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.请将答案写在答题纸指定位置上.

.X,2\

1+[edri

17.求极限lim—%---------------.

iseA-1sinx

\/

【答案】-

2

cinx-e*+1fedf

【解析】原式=、iim迎一

io（e-1）sinx-oe-1

2

1.sinx-x-ex-x-1-eA"

=lim------------lim-----------+lim--

.v->0JA->0厂xf0e”

1319

-r-x

=1-11611-^——lim2^—+*1

x—°X~x->0厂

一5.

18.设函数/(x)=土且，求函数/(%)的凹凸区间及渐近线.

【分析】本题考查导数的应用：凹凸性和渐近线，考生需熟练掌握曲线凹凸性的判定，以及

渐近线的求解步骤.

【答案】凹区间为(Y0,—1),(0,80),凸区间为(一1,0)；渐近线为X=—1,y=x—l和

y=-x+l.

2x+x2八

»，x<0,,2

2

(1+X)a,X<0,

(1+x)3

【解析】f'(x)=-0,x=0,/"(x)=,

2

2x+x_——r,X>0.

------7，%〉。；(1+4

(l+x)2

所以其凹区间为(TO,—1),(0,+8),凸区间为(一1,0)。

x\x\

lim/(x)=lim—口=oo,有垂直渐近线x=-1.

XT-1A->-I14-X

222

..f(x)..X1[.「，/、1rX-X-X1

hm----=lim-------=1,limf(x)-x\=lim----------=-1；

Xf+8xx—+8x(l+X)xf+8—+ooi+x

2—22

v/(x)[.-x].「//、ivx+x4-x1

lim----=lim--------=-1,limI/(x)+x\=lim------------=1；

xfyxx->7%(l+x)XT-"30a-00l+x

有斜渐近线y=%—1和y=—％+1.

19.设函数/(x)满足J竽〃=：f-x+c,L为曲线y=/(x)(4效k9).记L的长度为

s,L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为A,求s和A.

425兀

【答案】s=—，A=

39

【解析】等式左右两边对x求导：阜=\一1,=-/

833

(x1

-x2+-X2

=f:(2222

1」、

面积A=J；2肺(%)，1+/气外心=£

2兀-x一肾+—X2dx

322

3425

71-x—x-+x------71.

"33J

93749

【典型错误】弧微分中的根号计算式需重新配方，才能去掉根号，简化定积分的计算.

20.y=y(x)(x>0)是微分方程冲6y=-6满足y(G)=10的解.

⑴求y(x)；

(2)设〃为曲线y(x)上的一点，记p处法线在y轴上的截距为Ip.I。最小时，求〃的

坐标.

14

【答案】(1)武幻=］尤6+1：(2)(1,-)

【解析】(1)该一阶线性微分方程可化为标准形式：y'--y=--,则

XX

f-dLr.6£

y=exj——e*dx+C=Cx6+1；

又)，(8)=10,故y(x)=gf+i(x>0)。

(2)设〃点的坐标为(x,y),法线方程为Y—y=-一J—(X—x)=-一、(X—幻。

y(x)2x

X=()时，y轴上的截距

4d.+k.十户。

令/=-三+2%5=0,得驻点％=1,由实际问题可知此唯一的极值点为最小值点,

x

4

此时〃的坐标为(1,§).

21.设O由曲线,+力2=/一,2(*瞰y0)与X轴围城，求JJx)drd)，.

【答案】—

48

【解析】JJxydxdy=JJrcos，•厂sin。，rdr(6分)

D■