2021年高考数学考点50椭圆必刷题理【含答案】

考点50椭圆

1.已知圆（x+2）2+y2=36,定点七（2,°）,4是圆尸1上的一动点，线段的垂直平分线交半径

F/于P点，则P点的轨迹C的方程是

x2y2x2y2x2y2

---卜——1---1----1---1---冷=

A.43B.95C.34D.59

B

【解析】

由已知，得|PB|=RA|,所以|PB|+[PF]HPA|+FFM|FIA!=6

又|FIF2|=4,4<6,根据椭圆的定义，点P的轨迹是FI,Fz为焦点，以3为实轴长的椭圆,

所以2a=6,2c=4,所以b=v弓,

所以，点P的轨迹方程为：9+?=1•

故选：B.2.

x2y2

C:---1----1（Q>b>0）

已知椭圆。2b2和双曲线E：f-y2=i有相同的焦点&尸2,且离心率之积为1,P为两曲线

的一个交点，贝心尸产尸2的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形I）.不能确定

B

x2-y2=1的焦点坐标为（土、20）,离心率为々,

・•・一xJ2=l,a=2,c=J2

a，

x2y2

,•・椭圆’4+21,&=（\2。），22=（-\；2。），

卅01+忸41=4卅/il=3

,叫1-四2|=2,得［够|=1,朋|2=吐2『+忸/2|2,

•••△尸产产2为直角三角形，故选B.

22

yr%y」.

---1---1（Q>b>0）

3.倾斜角为4的直线经过椭圆a?b2右焦点死与椭圆交于AB两点，且Q=2丽，则该椭

圆的离心率为（）

修正坦坦

A.3B.2C.3D.2

A

【解析】

fx=C+~t

设直线的参数方程为《二，代入椭圆方程并化简得+在广仪-〃=0,所以

匕+J=-焉Qt:=-恙：,由于布=2成即J=-21代入上述韦达定理化简得8产=a：+此即

故故选乩

4.已知点P（王伊为）（x产士a）在椭圆C：（a>b>0）上，若点M为椭圆C的右顶点，且

P01PM（0为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是

A.（0,3）B.（0,1）C.（2,1）D.（0,2）

C

【解析】

由题意P。，PM,所以点P在以0M为直径的圆上，圆心为住.0），半径为％

所以圆的方程为：（x-°）:+y:=

与椭圆方程联立得：（1-3）犬二-ax+炉=0,此方程在区间（0.a）上有解，

由于a为此方程的一个根，目另一根在此区间内，所以对称轴要介于?与a之间，

所以：7<[:给]<a,结合小=b:+cz,解得：=<*<1,

根据离心率公式可得：f<e<l-

故选C.

汽2y222

「1：方-=l（a>0,b>0）r:—4--=1

5.已知双曲线ab的左右焦点分别为片产2,椭圆234的离心率为e,直线

M=e

MN过点G与双曲线交于M,N两点，若COS4FIMN=COS/F/2M,且I&M,则双曲线L的两条渐近线的

倾斜角分别为（）

A.30°,150°B.45,135°C.60°,120°D.15°,165°

C

A=2c,

由双曲线的定义可得|M乏|=IMF/-2a=2c-2a,

•••椭圆△：?+?=1的离心率为：6=等=：,

.•.需=e=]A\NF,|=4c\NFZ|=4c-2a

在AMg三中，由余弦定理的C0S4F_EM=士■斗•■L冷i_c蕾-.a;jQ=染_c

在△NFiFz中，由余弦定理可得:cos乙F_F：N=弋:;；：；之小=祟

・・・々巴川+&5汽=力

・・・cos"F.M+COSLF.RN=0,gR—+=0

▲.▲-2c2e（2c-ai：贮心

整理得2。二+3c2—lac=0,

设双曲线的离心率为G，.•・32/一7灯+2=0,解得气=2或：（舍）.

1・°¥=4/.3a二二b"即士=靠.

a-a

...双曲线的渐近线方程为），=±、⑦

,渐近线的倾斜角为60。,120。.

故选：C.

6.已知0尸2分别是椭圆的左，右焦点，现以尸2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点MN,若

过&的直线M&是圆尸2的切线，则椭圆的离心率为（）

.修

A.2B.2-遂C.2D.A/3-1

D

【解析】

如图所示:

由题意可得：耳

M1MF2,\MFZI=c.\MF.\=2a-c.\FJ:\=2c,

所以c：+(2a—c):=4c二，化为c二+2ac—2a:=0,

即e。+2e-2=O,ee(0.1),

解得e=丫弓一1,故选D.

7.已知椭圆C的中心在原点。，直线以+出了-郃=0与坐标轴的交点是椭圆C的两个顶点.

(I)求椭圆C的方程；

(2)若MN是椭圆C上的两点，且满足血・血=0,求|也|的最小值.

2

X2

—y=1不

(1)3；(2)邓.

(i)因为，：无+何-避=0与%釉交点为(居o),与y轴交点为(01)，

又直线,与坐标轴交点为椭圆C的顶点，

所以椭圆的顶点为(、8°),(0,1),

X2

—Fy2=1

故所求椭圆方程为3

(2)由题意知M.N是椭圆？+尸=1上的两点，S.OM1ON,故设MScose.qsinJ),

iV(-r:sin0,r2cosfi),其中q=|0M,r2=|0N|,

于是7：(W+sin汩)=1,百(=且+cos汩)=1,

从而尹］=:+l=:

又上+崂华+拿=2+去+*4(当且仅当"J时取等号)

所以|而x±24,即|丽I。>3,\MN\>vl.

3

故所求I而I的最小值为、区

8.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为尸1,目「Fy2l=2,点(1方)在椭圆，

上.

(I)求椭圆C的方程；

12*

(II)过&的直线1与椭圆C相交于A,B两点，且△4々B的面积为一厂，求以尸2为圆心与直线1相切的

圆的方程.

x2y2

---卜——1

.(1)43

(2)(x-l)2+y2=2.

xy,,

---1---=1(Q>b>0)

(1)设椭圆的方程为jb2,

由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为0(-1，°)/2(1，°),

I3In353

2a=(1+1)72+(-)72+(1-1)2+(产7=+=4

所以(2V222,

所以a=2,又c=1/2=4.1=3,

故椭圆的方程为？+3=1;

(2)设/"=ty-1代入3犬+4尸-12=0,得(3t，+4)尸一6ty-9=0

'6r

—t诉

一9y：l

力为=诉

--S=^F1F:\\y1-y:\=^^=^

所以产=L故所求直线方程为x±y+1=0,

而F(L0倒直线x±y+l=。的距离为d==、％

所以圆F二的方程为：(x-1尸+y==2.

9.已知圆C：(x+1)2+>2=36与定点M(l,0),动圆/过M点且与圆C相切.

(1)求动圆圆心/的轨迹芯的方程；

(2)若过定点N(0,2)的直线1交轨迹E于不同的两点4、B,求弦长|力用的最大值.

x2y2

一+—=1K

(1)98⑵4、,2

(1)设圆/的半径为「，题意可知，点/满足：

|/C|=6-r,\IM\=r,

所以，|/C|+|/M|=6,

由椭圆定义知点M的轨迹为以C/为焦点的椭圆，且a=3,c=l

x2y2

L---1---=1

进而b=2”，故轨迹E方程为：98.

(2)当直线/斜率不存在时，4(。，2M)，8(0,-2衣)或4(0,-2衣)，8(0,2衣)，

此时弦长M8|=4艰.

当直线,斜率存在时，设’的方程为：y=kx+2,

(y=履+2

由3上y1消去y得：(8+9k，)/+36履-36=0,

I-H------=1

,98

由4=(36%)。+144(8+94)>0恒成立,

设月Oi，yJ、B(x:,yz^>可得:

30K-26

X1X»»=.

B+9fc271-9k2

1^1==1==4—・康=出零严

令8+9k==t,则t>8,

|四=回雷晅=472卜|-©-3*+1—，

\AB\<40

综上，弦长MB|的最大值为4V2.

10.已知中心在坐标原点0的椭圆C经过点A("E),且点F(G,0)为其右焦点。

(1)求椭圆C的方程；

22

6BOD=—K

(2)是否存在直线，与椭圆C交于B,D两点，满足5,且原点到直线，的距离为依？若存在,

求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

x2

—+V2=1

(1)4(2)不存在

x2y2,

---1--=l(a>fe>0).

(1)设椭圆C的方程为。2b2，则左焦点为F(一\区0),

在直角三角形4F广中，可求|月户|=巳.・.2a=MF|+MF，|=4=a=2,

故椭圆C的方程为彳+尸=1.

(2)假设存在符合题意的直线b其方程为F=依+771,由原点到1的距离为、好得：

2，)・

V114T-KL*-=y/3=?n=3(1+k

联立方程[丁丁'-1,得(1+4k2)x2+Bkmx4-4(?n2-1)=0.

ly=fcx+m

贝以\+小“：="'：；；「,」=16(M-2)>0=k;>2.

设B(x-yJ,D(x=,y=),

z

贝“OB•OD—xxx2+儿比=(1+4二)工二工二+ink(x_+x:)+m="=y,

解得h=1w(2,+s).

当斜率不存在时，1的方程为x=±、存，易求得丽-0D=Y*^.

综上，不存在符合条件的直线.…

d+—=l[a>b>0)迈

11.已知椭圆«2b2的离心率为2,左、右焦点分别是0、&以%为圆心、以3为半径的

圆与以七为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线了=/*-1)(k力0)与椭圆。交于4晒点，点”是椭圆。的右顶点.直线力时与直线8时分别与丁轴交

于点P，Q,试问以线段PQ为直径的圆是否过%轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

%2

2

一+V=1r-

(1)4；(2)(士闻).

【解析】

(1)由题意知2a=4,贝g=2.又a二-c，=b，，可得b=1,

椭圆c的方程为？+y二=1.

(2)以线段为直径的圆过x轴上的定点.

y=k(x-1),

由(工2+得(1+4k二)炉—824+4H-4=0.

设4(X"儿),B(x:,y:),则有/+小=总p=第/.

又•:点财是椭圆C的右顶点，••点M(2Q).

由题意可知直线4M的方程为)，=/+(x-2),故点P(0,-R).

直线的方程为y=>(x-2),故点Q(0.一壬).

*2--以一・

若以线段PQ为直径的圆过%轴上的定点N(x°0),则等价于疝•QN=0恒成立.

又•:无=（%，/）,而=（右，/），丽•丽=瑞+丹♦/瑞+—=。恒成立.

X|-3*2--Xj-1Xj--|.X|--J^*2--J

又：（/-2）（x:-2）=x1x=-2（八+M）+4=云-2高+4=福，

4k二一48k23k2

）'1）2=k（心-l）k（x2-1）=—（*i+x二）+1]=h（]+4公一]+仙二+D=一1十二

一址2

•,­X；+3?；?.]=*6+弋詈*=*5-3=0.解得X。=士齐•

…3c2

故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点（土、您0）.

491

299299

r（x+I）4-y=—?（x-I）4-y--r

12.如图，已知圆匕的方程为8,圆尸2的方程为8,若动圆M与圆匕内切，与

圆『2外切.

（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；

（2）过直线尤=2上的点Q作圆。：/+y2=2的两条切线，设切点分别是M,N,若直线MN与轨迹C交于E,

\EF\_

F两点，求|MN|的取值范围.

⑴>⑵［争）

【解析】

（1）设动圆时的半径为r,...动圆M与圆F：内切，与圆FJ卜切，

I=-^-r,且|M5l=f+r.

于是，|M&|+\MFZ\=2收>|耳后|=2,所以动圆圆心M的轨迹是以FE为焦点，长轴长为2隹的椭圆.

从而，a=>f!,c=I,所以b=1.

故动圆圆心M的轨迹C的方程为?+尸=1.

（2）设直线x=2上任意一点Q的坐标是（2.t）,切点M.N坐标分别是（4,力），（心,以）；则经过M点的切线斜

率”竦,方程是3+），力，=2,经过N点的切线方程是.=2,又两条切线MQ,NQ相交于Q（2©.

则有£：+二2，所以经过MN两点的直线।的方程是2x+4=2,

①当t=o时，有M(L1),JV(l-l),E(l,f),则|EF|=、％MB|=2,

所以捻

(2x+ty=2

②当tHO时，联立k,.…整理得(t=+8)犬-16x+8-2M=0;

(—+V=1

设E.F坐标分别为(如)5),(x6.y6),则,5

_9Y产，

卜56=r-4-s

2

所以|EF|=J1+(4)=-VV5+^)-4X5A-6=写手，故1MM=

所以曷=不沫皋令产+4=-则x＞"贝犷⑴=卜黄+"L

又令〃=je(O,»贝ijh(u)=-32M+6"+1,ite(0.”令JT(〃)=—96〃二+6,

令-96出+6=0,解可得"。=；,故心)=-32〃3+6〃+1在(0.；)上单调递增，目有伏〃)6(1,京)，而

旦上挺_斫以更＜见＜].

应刈一H+&八百y尸"以2lAfaVl

综合①，②可得黑＜1,所以黑的取值范围为俘.1).

修

13.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为2,过左焦点F且垂直于碉的直线交椭圆C于PQ两

点，且|PQ|=2媳.

(I)求C的方程：

(II)若直线1是圆/+/=8上的点(2,2)处的切线，点M是直线/上任一点，过点M作椭圆C的切线M4MB,

切点分别为4B,设切线的斜率都存在.求证：直线/B过定点，并求出该定点的坐标.

x2y2

—十—=1

(1)84.(2)直线4B恒过定点(2,1).

【解析⑴由已知，设椭圆c的方程为捺+M=l(a>b>0),

fl-O-

因为|PQI=2v%不妨设点P(-c、②)，代入椭圆方程得，三+奈=1,

又因为e=：=:,所以=+言=1,b=c,所以炉=4,a:=2b:=8,

所以C的方程为？+:=L

(H)依题设，得直线[的方程为)，-2=-2),即r+y-4=0,

设Mg,8(*,%),

由切线MA的斜率存在，设其方程为y-0=k(x-戈J,

(y-yi=fc(x-xj

联立x2.y2i得，(2k2+1)r+4k-kx.)x+20'.-kx)2-8=0,

--r-=11

\e4

t

由相切得」=164仇一仁尸一8(2公+1)[(八一kx1y-4]=0,

2:z

化简得。入一履1A=8公+4,SP(xl-8)k-2xlyik+y1-4=0,

L

因为方程只有一解，所以k=苦=笔=一,，所以切线的方程为y-yi=-77(x-x1),

即”+2yly=8,同理，切线MB的方程为x：：x+2%)，=8,

又因为两切线都经过点Mgj。)，所以底.；：器;二〉所以直线月B的方程为@+2比)，=8,又

X。+比=4,所以直线AB的方程可化为x0x+2(4-Xo)y=8,

即x0(x-2y)+8)，-8=0,令国；,；ZQ得j,

所以直线4B恒过定点(2.1).

x2

14.设乙,22分别是椭圆a7+y=1的左、右焦点，过&且斜率不为零的动直线/与椭圆。交于4,B

两点.

(I)求△4A4的周长；

(H)若存在直线/,使得直线AB,与直线”-一］分别交于RQ,A三个不同的点，且满足

P,Q,〃到x轴的距离依次成等比数列，求该直线/的方程.

【解析】

⑴因为椭圆的长轴长2a=2、2，焦距2c=2.

又由椭圆的定义得1+旧玛|=2a

所以△AFJZ的周长为用且|+\AF:|+|F.F：|=2V2+2

8)由题意得/不垂直两坐标轴，故设/的方程为J=k(x+l)(k工0)

于是直线/与直线x=-3点Q的纵坐标为*=;

设4(*1.%),B(x2,y2),显然x—1,

所以直线修的方程为.忏丸(一1)

故直线乏力与直线X=-狡点尸的纵坐标为“=萨1

一.1.^*IJ

同理，点R的纵坐标为*=萨I

因为尸，°,出到x轴的距离依次成等比数列，所以环•队|=%|二

即，x卦=?

整理得9|x/；：+(a”+xz)+1|=忧/二一(x一+x：)+1].(*)

联立y=k(x+g椭圆方程,消去_v得(1+2k:)x:+4k2x+2k2-2=0

所以A+X

2—l+2lr29

代入(*玳简得|8公一1|=9

解得k=±3

经检蛉，直线，的方程为y=±f(x+i).

x2y2

---F—=1_11_3e

15.设椭圆。23(。＞&)的右焦点为F,右顶点为4已知西+须一两，其中。为原点，e为椭

圆的离心率.

(I)求椭圆的方程；

(II)设过点4的直线/与椭圆交于点B(B不在久轴上)，垂直于，的直线与，交于点M,与V轴交于点“，若

BFLHF,且4M04=4M4。，求直线的除斗率.

x2y2、后水

---1---=1k=----k=——

⑴43；(2)4或4.

11_3c11_3c

(I)设F(c,O),由1。尸|\0A\\FA\,即c+aa(a-c),

可得Cj2-c2=3c2,又Cf2-c2=b2=3,

x2y2

22---1----1

所以c=1,因此。=4,所以椭圆的方程为43.

(II)设B(小，为)，直线的斜率为k(kHO),则直线/的方程为y=Mx-2),

~+T=L消去)，，整理得(4H+3)产-16k：x+16H-12=0,

y=k(x-2),

解得x=2或无=笫嚎

由题意得〃=磊从而m=温，

设H(O')，由⑴知F(LO),有而=(一L)%),乔=(左［悬)，

+54K十3

由8F_L7fF,得萨•乔=0,

所以岸+套=°，解得以=4，

因此直线MH的方程为)，=一),+嚏，

1,9一标,

{>=消去y,得心,=笔去，

在4%40中,zJVfO4=zJVMO=|AM|=因。|,

即(XM—2尸+)应=》京+)京，化简得1h=1,即募言=1，

解得k=一广或2=?,

44

所以直线/的斜率为k=-乎或k=乎

22

yxa

C1:—+—=K>b>0)

16.已知点尸是椭圆ab和抛物线2=4y的公共焦点，a/2是椭圆的长轴的两个端

点，点M是与02在第二象限的交点，且因"=@

(I)求椭圆G的方程：

(II)点N为直线切=-2上的动点，过点N作抛物线C2的两条切线，切点分别为4B,直线4B交椭圆6

于P，Q两点，设的面积为Si,的面积为52,求邑-52的最大值.

y2,2G

----1------1-----

(1)43(2)3

【解析】

(1)易知c=g=L所以焦点F(OJ),椭圆的另一焦点为尸(0T)

由抛物线定义知：=yM+?=>y«=1-i=p

从而=4x2xM=-乎0%<0),

由两点间距离公式可得|MF'I=：

又由椭圆定义得：2a=\MF|+4产==+：=a=2,

.\b2=«--c-=3,

故所求椭圆方程为：9+9=1

43

3)由对称性，不妨设N(Xb-2),(x0>0),

再设A(x=¥),B(x「,亨)，

由y=3导P=三=5=暂,%、,=

Jv：y=£x-于①

G,v：y=9一三-②

一*，+4

由①②解得-4

),丫=必

所以有：X]+x：=2X()③

=-8④

由点斜式得Jr：)，=乎*一个⑤

③④代入⑤得:

叠5：)'=5》+2

y=­x+2

联立｛一1消去y得(3/2+16)炉+24x=0,

匕+匚=1

43

又设P(X“JQ(X”4)，

则PQI=小评•期-g=焉，

叫4

N到Ua之间的距离为d=告U,

三.

51-S：==•|PQ|,d--x0=y-

3

_4那_2/

当且仅当々一亍时，⑸f)M(u-亍.

22

XV,.

---1---=l(a>h>0)

17.已知椭圆。2b2的左、右顶点分别为4E,左焦点为吃点p为椭圆。上任一点，若直线

04与PB的斜率之积为-4,且椭圆C经过点

(1)求椭圆的方程；

(2)若PB，P4交直线》=-1于M,N两点，过左焦点F作以MN为直径的圆的切线.问切线长是否为定值，若是,

请求出定值；若不是，请说明理由.

x2y2

—=1

⑴43.

3

(2)过左焦点尸作以MN为直径的圆的切线长为定值2.过程见解析.

【解析】

(1)设p点坐标为P(XoJb),由题意知出一a.0),0),且杀+造=1

贝心心.%£=含.含=&=(—/).器=一±=一：

即3a二=4长①

又因为椭圆经过点(L》

故5+・=1②

a*O4-

由①②可知，&2=3,a2=4

故椭圆的标准方程为？+?=

43L

(2)可知力(一2。),8(2,0)设/<=k(kHO)

由k•kPB=一％得”占=一程

所以直线PB的方程为「=一表(x-2),令x=-1,贝I]),=/故M(-1,/

直线PA方程为y=/戈+2),令犬=-1,则)，=匕故N(-Lk)

如图，因为)%)%=卜*=：>0,

故以MN为直径的圆在琏由同侧.

设尸有圆的一条切线，切点为T,连结MT.MT

可知"TNS/FMT

故黑=黑，贝力尸汁=•1^1=1*11^1=；

1|X*«|41c4

故|FT|=：

故过左焦点F作以MN为直径的圆的切线长为定值；

pll2^^+乙1

18.已知日3J是椭圆C：a2b2(a>b>0)与抛物线生产=2px(p>0)的一个公共点，且椭圆与

抛物线具有一个相同的焦点F.

(1)求椭圆C及抛物线E的方程；

(2)设过F且互相垂直的两动直线’』2,4与椭圆C交于4B两点，％与抛物线E交于C,D两点，求四边形

4CBD面积的最小值.

(1)y2=4%；(2)8

【解析】(1)：•P信”地物线E:y==2px(p>0)一点

・•・P=2,即抛物线E的方程为y：=4x,F(l,O)

・•・a2—b*=1

又「pg手)在椭圆C：捺+舌=1上

二盘+白=1，结合a：—b：=1知b：=3(负舍)，a2=4,

二椭圆C的方程为"+手=1,抛物线E的方程为y：=4x.

(2)由题可知直线1工斜率存在,设直线L的方程y=k(x-1),A(x,.y1).B(x;.y;),C(x3.yJ),D(x4.y4)

①当k=00寸，AB=4,直线1二的方程x=1,CD=4,故SACBD=]AB-CD=8

,(y=k(x-1)

②当kHO0寸，直线l的方程为y=-qx-l),由-上好，得(3+4k「)x，-8k：x+4k：-12=0.

::K--1--=1

j-7・XiXc=、

3+4k21-3+4k2

由弦长公式知AB=VI诉氏-x=|=v(l+k=)[(x,+x;)=-4Xix;]=号署.

同理可得CD=4(k-+1).

24俨+1)2

1112(M+1)

2

SACBD=2，,CD=2-4(fc+l)=

4k2+34k2+3.

_24t2_24_24

ACBD=不1=FT=fl.

_-----y-I2j+4

令土=公+1/£(1,+8),贝I」tt2V),当16(1,+8)时，

1/I\24

-e(0,1),--2j2+4<3S4CBD>§=8

综上所述：四边形4CBD面积的最小值为8.

1

19.已知动点M到定点F(-1,0)和定直线x=-4的距离之比为5,设动点M的轨迹为曲线C.

(1)曲线C的方程；

(2)过点F作斜率不为0的直线，与曲线C交于两点4B,设直线P4PB的斜率分别是求卜1+与的值.

x2y2

—+—=1

⑴43；(2)见解析.

【解析】

(1)设MQ,)，)则依题意有、,：丁-=三,

整理得F+?=L即为曲线C的方程.

(H)设直线厂:x=ty-l(t工0),则-l,y-).3(0,2-Ly"

由DJ12联立得：(3产+4)尸-6ty-9=0

.6(一9

%+为=诉，必先=诉

:总+k、=4+4=f-3+切=-**=即/+上=0.

20.已知抛物线Cfy2=2P双x>0)与

椭圆C/2+2y2=m2(m>。)的一个交点为P(l,t),点F

3

「\PF\=-

是Ci的焦点，且2.

(1)求好与02的方程；

(2)设。为坐标原点，在第一象限内，椭圆,2上是否存在点4使过。作。4的垂线交抛物线G于B,直线4B交

y轴于E,且z04E=zE0B?若存在，求出点4的坐标和A40B的面积；若不存在，说明理由.

(1)Cl：/=+2y2=5,⑵见解析

【解析】

(1)由抛物线定义：田用=1+7=所以P=LQ的方程为产=2x,将P(Lt玳入q：)，二=2x得£二=2,

即t=士心,将p(l,±V2)代入Q：炉+2y:=m:,得加=5,故Q方程为x=+2y:=5.即

222

C1：y=2x,C2*x+2y=5.

(2)由题意：直线tM的斜率存在且不为0,设。力的方程为y=kx(k±0),由于OA1。％贝|OB的方程为

)'=由f-；二；5得K+2kk=5..-.V=二.士.

由［丫三「得色=2x,得x=0(舍)或x=2k:.

:

在第一象限内，若满足N04E=40B的点,4存在，财c>0,此时也：--.kl-^-),B(2k,-2k)f

设直线AB与理由交于点D,由于4tME=^.EOB.^AOB=30E=90°,

所以4。工£)="0D/D0B=Z.OBD,故月D=0D=BD,即D为线段中点，

因此即售7=2%解得小=；,月(2号)，

4(2陷)

故存在适合题意的—21此时、421

_卫_/

4B-y--#_4嫄_4遣9嫄

此时44B方程为'27即'714,

点。到4B的距离网=府匚=；所以%。8=拨,=孽：

x2y2,

---F—=l（a>b>0）

21.已知椭圆C：a2b2的左、右焦点分别为Fi,F2,P在椭圆上（异于椭圆C的左、右顶点）,

过右焦点4作/尸/%的外角平分线L的垂线GQ,交小点Q,且1。（21=2（。为坐标原点），椭圆的四个顶点

围成的平行四边形的面积为4G.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线I：乂=小了+4（血6/?）与椭圆（；交于4,B两点，点4关于党的对称点为才，直线交碍由于。，求

当三角形4DB的面积最大时，直线/的方程.

x2y2

---1=1t—/—

（1）43.（2）3%+2、/21y-12=0或3%-2y21y-12=0

【解析】

（1）由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4x=4、疗，得ab=2事.

延长鸟Q交直线于点R,因为EQ为NF_PF二的外角平分线的垂线，所以山坛|=|PR|,Q为的中点,

所以|OQ|==叵当”!=9屿1=0，

所以a=2,b=>/3,

所以椭圆C的方程为7+7=1.

（x=my+4

（2潸直线厢椭圆的方程联立得3+仁=i,消去x,

得(3m，+4)y2+24?ny+36=0,

所以』=(24?n)2-4x36(3?nz+4)=144(?n:-4)>0,即7n，>4.

设前人,月)，8(如,口),则),由根与系数的关系，

ZB.-24m36

将以+%=即,力先=而？

直线的斜率k=左土四=二坦，

孙-X]47fl

所以直线4B的方程为y+%=电(x-xJ,

M-x।

今Y—0得/._不及+小门_(人力+小O+JJE0+4；_二皿g-4

'-D~yi+yz-yi+yz一兑

故h=1,所以点D到直线!的距离d=^=3，

所以5“s=：|明-d=(九+工/—4”必=18-黑3

令”标二%>0),则邑皿,=18•舟=融三春=¥，

当且仅当次=与即产=?=加-4,即加=4>4,m=±守寸，三角形4即的面积最大，

I333

所以直线/的方程为3x+2VTly-12=0或3x-2、，2T)，-12=0.

E-^+—=l(a>b>0)迈

22.已知点以0,-2),椭圆a2b2的离心率为2,F是椭圆E的右焦点，直线力尸的斜率为

空

亍，°为坐标原点.

(1)求椭圆E的方程；

(H)设过点4的动直线/与椭圆E相交于HQ两点.当△OPQ的面积最大时，求直线，的方程.

【解析】

2维r-

(1)设汽c,0),由条件知，c=3，得c=R3.

£近

又"=2,

所以£7=2,分=出一/=1.

故E的方程为彳+y=L

(2)当/lx轴时不合题意，故设/：y=ix-2,P(xi,yi),28,义).

将y=h-2代入彳+y=l消去y整理得(1+4轮-16H+12=0.

3

当/=16(4工一3)>0,即两寸,

16k

X+力=

11+4fc-

12

1-1+4h

+1•Ji/-3

甲0=.4+1帆—刈=4/+1.

2

又点。到直线p。的距离占"巨._____

1帅.7

所以AOP。的面积果。0=2网尸0尸4/+1.

4

_4/~~4

设巾"-3=1,则M,S^OPQ=r+4='''t.

4亚

因为t+~i>4,当且仅当0,即k=±2时等号成立，目满足/>0.

所以当AOP。的面积最大时,I的方程为y=T-X-碱y=-三X-2.

23.过圆。：，+y2=4上一动点P作碉的垂线，交硼于点D,点M满足的=2PM

(1)求点”的轨迹方程；

(II)设点”的轨迹为曲线E,过点尸(避，0)的直线/交曲线E于4,B两点，过?(、/5,0)且与/垂直的直线「交圆

。于C,0两点，求四边形4CBD面积的取值范围.

x2

--FV2=1

(1)4,；(2)[2,4).

【解析】

<1）设点M的坐标为（x，y）,点p的坐标为（XoJo），

因为PD=2PM,所以X=x0,y=

因为点P（x（）Jb电圆x二+y2=4上,所以戈0，+乂,二=4.

把Xo=x,y0=2）代入，得r+4y==4,即?+），二=1,

所以点M的轨迹方程为9+）4=1.

（2）若直线/与x轴重合，则直线/'与x轴垂直，则/：y=0,f:x=3则MB|=4,|CD|=2,于是四边

形4CBD的面积5=：|4B|•\CD\=4.

若直线/与x轴不重合，设直线［的方程为x=my+v1I,

贝山'：y=

设A（x「yJ，

联立］?+厂