隐式差分方程

隐式差分方程课件第1页，课件共14页，创作于2023年2月

与显式差分格式不同，隐式差分格式中包括了（n+1）时间层上二个或二个以上结点处的未知值（例如），使用隐式差分格式和使用显式差分格式求解完全不同。相对而言，使用隐式差分格式求解，每时间层包含有较多的计算工作量。从后面对差分格式的稳定性分析可知，隐式格式的优点在于，其稳定性要求对步长比的限制大为放宽，而这正是我们所期望的。第2页，课件共14页，创作于2023年2月2.3.1古典隐式格式现在对热传导方程推导其最简单的隐式差分逼近——古典隐式格式。由故式中左边如果仅保留二阶导数项，且以替代，则得差分格式或者（2.41）格式用图2.5表示，其截断误差阶为,与古典差分格式相同。

图2.5：第3页，课件共14页，创作于2023年2月为了求得第（n+1）时间层上的的值，必须通过解线性代数方程组。这是一个隐式差分格式，必须联合其初边值条件求解。格式（2.41）通常称为古典隐式格式。我们也可以通过直接用差分算子代替的方法，即代入微分方程，得到格式（2.41）。第4页，课件共14页，创作于2023年2月2.3.2Crank-Nicolson隐式格式Crank-Nicolson隐式差分格式是解热传导方程（2.26）的常用的差分格式，为了推导它，由式（2.24），有由得（2.42）两边仅保留前二项，用代替，则得差分格式（2.43）这是一个隐式差分格式，称为Crank-Nicolson差分格式，截断误差阶为，也可写为第5页，课件共14页，创作于2023年2月

（2.44）由于格式（2.44）中包括六个结点，故也可称为六点格式（如图2.6所示）。

图2.6

也可将代入微分方程（2.26），得到Crank-Nicolson格式。第6页，课件共14页，创作于2023年2月基于如同Crank-Nicolson格式一样的六个网格结点可获得另一精度较高的差分格式，如在前式（2.42）中仅保留直到的项，即有由式(2.19.3),可令则可得代入上式，则有如下差分格式：（2.45）它称为Douglas差分格式，具有截断误差阶。第7页，课件共14页，创作于2023年2月

例2.1解初边值问题

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应用（1）Crank-Nicolson差分格式，（2）Douglas差分格式解上述问题。对每一种情况，令（r的这个值对Douglas格式有最小的截断误差），由初值条件和边值条件通过上述二个格式的每一个逐层求出的值。一般而言，当由第n层去求第（n+1）层的解时，二个格式的每一个都需解一线性代数方程组，其系数是三对角阵，可用追赶法求解（见2.4）。已知上述定解问题的理论解，记为，有记分别为用高速数字计算机解出的Crank-Nicolson格式的解，而分别表示它们对精确解的误差，在，时间层n上，。它们的值由表2.2给出。第9页，课件共14页，创作于2023年2月0.9944979156300.0000110.0000000000260.4890261041920.000022-0.0000000000510.9781726347730.000040-0.0000000001010.9568217034190.000079-0.0000000001980.9155077721340.000151-0.0000000003790.6431468957930.000531-0.0000000003310.4136379295680.000683-0.0000000017120.1710963367780.000564-0.0000000014170.6292739564590.000194-0.0000000004850.0121088187400.000100-0.000000000257表2.2第10页，课件共14页，创作于2023年2月2.3.3加权六点隐式格式

前面，我们已经推导了热传导方程（2.26）的古典显示格式，古典显示格式及Crank-Nicolson格式等。实际上，它们都可以作为本节推导的加权六点隐式格式的特殊情形。由得即两边去掉高于二阶导数的项，且用代替，则得差分格式或者（2.46）这是一个六点差分格式（如图2.7所示），称为加权六点差分格式。第11页，课件共14页，创作于2023年2月

显然，当时，加权六点格式为古典显示格式；当时，加权六点格式为Crank-Nicolson隐式格式；当时，加权六点格式为古典隐式格式。加权六点格式亦可直接由差商代替导数得到图2.7：第12页，课件共14页，创作于2023年2月2.3.4系数依赖于x,t的一维热传导方程的一个隐式格式的推导

考虑方程（2.47）的差分逼近。已知由其Taylor展开式可得据此，可得（2.48）令代入式（2.48），则因此得差分方程（2.49.1）第13页，课件共14页，创作于2023年2月

格式（2.49.1）具有截断误差阶，可写成更方便的形式